数学8.5 空间直线、平面的平行巩固练习

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A．a∥b，b⊂α⇒a∥α
B．a∥α，b⊂α⇒a∥b
C．a∥α，a∥b⇒b∥α
D．a⊄α，a∥b，b⊂α⇒a∥α
2．如图，在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )
A.MN∥PD B．MN∥PA
C．MN∥AD D．以上均有可能
3．如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是________．
4．如图，在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为AE的中点．
求证：CE∥平面BDF.
5．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
6．(多选)如图所示，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满足MN∥平面ABC的是( )
7．设m、n是平面α外的两条直线，给出以下三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α.
以其中两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________．(用序号表示)
8.
如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.
求证：四边形BCFE是梯形．
9．如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF＝EF.
(1)证明：AF∥平面BDG；
(2)证明：AB∥EF.
10．[2022·福建漳州高一期末]如图，长方体ABCD ­ A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，且BB1＝2B1C1＝4.
(1)求长方体ABCD ­ A1B1C1D1外接球的表面积；
(2)若E、F分别为棱BB1、B1C1上的点，且B1E＝2B1F＝1，求证：EF∥平面ACD1.
11.[2022·河北沧州高一期末]在正三棱柱ABC ­ A1B1C1中，AA1＝3，过A1B且与AC1平行的平面交直线CC1于点P，则CP＝________．
12．如图，在正三棱柱A1B1C1 ­ ABC中，O为AB1与A1B的交点，M为BC1的中点， eq \(EF,\s\up6(→)) ＝2 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝2FC1．
(1)证明：OM∥平面A1B1C1；
(2)若G为线段FC上一动点，在平面AA1B1B上是否存在一点N，使得NG∥平面A1OE恒成立？若存在，请找出点N位置并证明NG∥平面A1OE；若不存在，请说明理由．
答案：
1．解析：对于A，还可能是a⊂α，A错误；对于B，a，b的位置关系不确定，B错误；对于C，还可能是b⊂α，C错误；对于D，由线面平行的判定定理知D正确．故选ABC.
答案：ABC
2．解析：因为MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，所以MN∥PA.故选B.
答案：B
3．解析：由a∥b，且a∥α，知b∥α或b⊂α.
答案：b∥α或b⊂α
4．证明：连接AC交BD于O ，连接FO，
因为F为AE的中点，又O为AC的中点，
则FO是△ACE的中位线，所FO∥CE，
又因为FO⊂平面BDF，且CE⊄平面BDF，
所以CE∥平面BDF.
5．解析：因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD.因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.故选A.
答案：A
6．解析：对于A，如图所示，点E，F为正方体的两个顶点，则MN∥EF∥AC，
所以N、M、C、A四点共面，
同理可证AM∥BC，即B、C、M、A四点共面，
∴MN⊂平面ABC，故A错误；
对于B，如图所示，D为正方体的一个顶点，则AC∥MD，BC∥ND，
AC⊂平面ABC，DM⊄平面ABC，所以DM∥平面ABC，同理可证DN∥平面ABC，
又MD∩ND＝D，MD、ND⊂平面DMN，
∴平面ABC∥平面DMN，
又MN⊂平面DMN，
∴MN∥平面ABC，故B正确；
选项C，如图所示，G为正方体的一个顶点，则平面ABC∥平面GMN，
∵MN⊂平面GMN，
∴MN∥平面ABC，故C正确；
对于D，连接CN，则AB∥CN，
∴A，B，C，N四点共面，
∴MN∩平面ABC＝N，与MN∥平面ABC相矛盾，故D错误．
答案：BC
7．解析：设过m的平面β与α交于l.因为m∥α，所以m∥l，因为m∥n，所以n∥l，因为n⊄α，l⊂α，所以n∥α.
答案：①②⇒③(或①③⇒②)
8．证明：因为四边形ABCD为矩形，
所以BC∥AD，
因为AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
因为平面BCFE∩平面PAD＝EF，
所以BC∥EF.
因为AD＝BC，AD≠EF，
所以BC≠EF，
所以四边形BCFE是梯形．
9．证明：(1)连接AC交BD于O，连接OG.
因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC、BD互相平分．
又G为FC的中点，所以OG为三角形ACF的中位线，所以AF∥OG.
因为OG⊂平面BDG，AF⊄平面BDG，所以AF∥平面BDG.
(2)因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD.
因为CD⊂平面CDEF，AB⊄平面CDEF，所以AB∥平面CDEF.
因为AB⊂平面ABEF，平面CDEF∩平面ABEF＝EF.
所以AB∥EF.
10．解析：(1)设长方体ABCD ­ A1B1C1D1的外接球的半径为R，
则2R＝ eq \r(AB2＋BC2＋AA eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ＝ eq \r(22＋22＋42) ＝2 eq \r(6) ，∴R＝ eq \r(6) .
因此，长方体ABCD ­ A1B1C1D1外接球的表面积S＝4πR2＝24π.
(2)证明：连接BC1，
∵B1E＝2B1F＝1，BB1＝2B1C1＝4，∴ eq \f(B1E,B1B) ＝ eq \f(B1F,B1C1) ＝ eq \f(1,4) ，∴EF∥BC1，
因为AB∥C1D1且AB＝C1D1，则四边形ABC1D1为平行四边形，所以，BC1∥AD1，
∴EF∥AD1，∵EF⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，因此，EF∥平面ACD1.
11．解析：延长CC1至点P，使得C1P＝CC1，连接A1P，
则四边形AA1PC1是平行四边形，所以A1P∥AC1，连接PB，
因为A1P⊂平面A1BP，AC1⊄平面A1BP，
所以AC1∥平面A1BP，
则平面A1BP即为所求，此时CP＝2AA1＝6.
答案：6
12．解析：证明：(1)由题意得，O为AB1的中点，∵M为BC1的中点，∴OM为△A1BC1的中位线，∴OM∥A1C1，
∵A1C1⊂平面A1B1C1，OM⊄平面A1B1C1，∴OM∥平面A1B1C1.
(2)存在点N，当N在AB1延长线上，且AB1＝2B1N时满足条件；理由如下：
如图，延长AB1，使得AB1＝2B1N.
∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1A＝CC1，,∠A1AE＝∠CC1F，,AE＝C1F，)) ∴△A1AE≌△CC1F，
∴∠A1EA＝∠CFC1，∴∠CFE＝∠A1EF，∴A1E∥CF.
∵A1E⊂平面A1OE，CF⊄平面A1OE，∴CF∥平面A1OE.
由 eq \(EF,\s\up6(→)) ＝2 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝2FC1及AB1＝2B1N得 eq \f(AO,AN) ＝ eq \f(AE,AF) ＝ eq \f(1,3) ，∴△AEO∽△AFN，∴EO∥FN.
∵EO⊂平面A1OE，FN⊄平面A1OE，∴FN∥平面A1OE.
又∵FN，CF⊂平面FCN且FN∩CF＝F，∴平面A1OE∥平面FCN.
∵NG⊂平面FCN，∴NG∥平面A1OE.