高中数学8.6 空间直线、平面的垂直同步练习题

这是一份高中数学8.6 空间直线、平面的垂直同步练习题，共6页。

1.[2022·山东日照高一期末]一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条( )
A．相交 B．异面
C．相交或异面 D．平行
2．[2022·福建福州高一期末]在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，E、F分别为AB，BC的中点，则直线EF与A1D所成角的余弦值为( )
A．0 B． eq \f(1,2)
C． eq \f(\r(2),2) D． eq \f(\r(3),2)
3．如图，在三棱柱ABC ­ A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝ eq \r(2) ，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________．
4．如图，在正三棱柱ABC ­ A′B′C′中，D为棱AC的中点，AB＝BB′＝2，求证BD⊥AC′.
5.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为( )
A.0° B．45°
C．60° D．90°
6．[2022·河北唐山高一期末]在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则异面直线B1E与C1D所成角的余弦值为( )
A． eq \f(\r(10),10) B．－ eq \f(\r(10),10)
C． eq \f(\r(10),4) D．－ eq \f(\r(10),4)
7．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________．
8．如图，A是△BCD所在平面外一点，E，F分别是BC，AD的中点，若AC⊥BD，AC＝BD, 求EF与BD所成的角．
9．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝ eq \r(2) .求证：AD⊥BC.
10．如图所示，在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中．
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
11.已知两异面直线a，b所成的角为17°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为9°，那么这样的直线l有________条．
12．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP 翻转至△DA′P 处，若M为线段A′C的中点，求异面直线BM与PA′所成角的正切值．
答案：
1．解析：如图所示，a，b，c三条直线平行，a与d异面，而b与d异面，c与d相交，故选C.
答案：C
2．解析：由题意，如图，因为A1B1∥DC且A1B1＝DC，故平行四边形A1B1CD，故A1D∥B1C，根据中位线的性质有EF∥AC，故直线EF与A1D所成角为∠ACB1.易得正△AB1C，直线EF与A1D所成角为∠ACB1＝60°，故余弦值为 eq \f(1,2) ，故选B.
答案：B
3．解析：依题意，得BC∥B1C1，故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角．连接A1B，在△A1BC中，BC＝A1C＝A1B＝ eq \r(2) ，故∠A1CB＝60°，即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.
答案：60°
4.
解析：设CC′中点为E，连结DE，BE，
∴BD＝ eq \r(3) ，DE＝ eq \r(2) ，BE＝ eq \r(5) ，
∴BD2＋DE2＝BE2，
∴BD⊥DE.
又DE∥AC′，
∴BD⊥AC′.
5．解析：还原正方体，如图，AM∥EF，直线AM与BN所成的角即EF与BN所成的角，因为EF⊥BN，所以直线AM与BN所成的角为90°.故选D.
答案：D
6．解析：平移C1D到B1A，再连接AE，则∠AB1E或其补角为异面直线B1E与C1D所成的角，
设正方体的棱长为2，易得C1D＝B1A＝2 eq \r(2) ，AE＝3，B1E＝ eq \r(5) ，
由余弦定理得cs ∠AB1E＝ eq \f(AB eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋B1E2－AE2,2·AB1·B1E) ＝ eq \f(8＋5－9,4\r(10)) ＝ eq \f(\r(10),10) ，故选A.
答案：A
7．解析：取AD的中点P，连接PM，PN，
则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，
∴∠MPN＝90°，
PN＝ eq \f(1,2) AC＝4，PM＝ eq \f(1,2) BD＝3，
∴MN＝5.
答案：5
8．解析：设CD中点为M，连结ME，MF，
∴EM∥BD，
FM∥AC.
又AC⊥BD，
∴EM⊥FM，
AC＝BD，
EM＝FM，
△EMF为等腰直角三角形，
∠FEM即为EF与BD所成的角为45°.
9．证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH.
因为E是AB的中点，且AD＝2，
所以EH∥AD，EH＝1.同理FH∥BC，FH＝1.
所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角．
因为EF＝ eq \r(2) ，所以EH2＋FH2＝EF2，
所以△EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，
所以∠EHF＝90°，即AD与BC所成的角是90°，
所以AD⊥BC.
10．解析：(1)如图所示，连接AC，AB1.
由六面体ABCD ­ A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，
∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．
在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)如图所示，连接BD.由(1)知AC∥A1C1，
∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．
∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.
又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，
∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°.
11．解析：可将a，b通过平移相交于点P，如图所示，
则∠BPE＝17°，∠EPD＝163°，则∠BPE的角平分线与直线a，b所成的角均为8.5°，∠EPD的角平分线与直线a，b所成的角均为81.5°，因为8.5°<9°<81.5°，所以与直线a，b所成的角均为9°的直线l有且只有2条(直线c，d).
答案：2
12．解析：设A′D中点N，连结MN , PN，
∵MN綊 eq \f(1,2) CD，
PB綊 eq \f(1,2) CD，
∴MN綊PB，
∴MNPB为平行四边形，
∴BM∥PN，
△PA′N中∠PA′N＝90°，
A′N＝1，A′P＝2，
∴tan ∠A′PN＝ eq \f(1,2) ，
所以BM与PA′所成的角的正切值为 eq \f(1,2) .