第2章 相交线与平行线（基础篇）-【挑战满分】七年级数学下册阶段性复习精选精练（北师大版）

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第2章 相交线与平行线（基础篇）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，与是直线和被直线所截形成的（ ）

A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．不能确定
2．如图，直线AB与CD相交于点O，若，则等于（ ）

A．40° B．60° C．70° D．80°
3．已知，则的补角的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，分别在上，且∥，要使∥，只需再有下列条件中的（ ）即可．

A． B． C． D．
5．如图，，平分，若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
6．如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝( )

A．∠1＋∠2 B．∠2－∠1
C．180°－∠1＋∠2 D．180°－∠2＋∠1
7．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF，若∠ABE＝25°，则∠EFC'的度数为（　　）

A．122.5° B．130° C．135° D．140°
8．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的，第二次拐的，第三次拐的，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（ ）


A． B． C． D．
9．将一直角三角尺与两边平行的纸条按如图所示放置，下列结论：

①∠1=∠2；②∠3=∠4;③∠2+∠4=90°；④∠4+∠5=180°.正确的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
10．已知直线，将一块含30°角的直角三角板按如图方式放置（），点在直线上，若，则的度数为（　　）


A．25° B．30° C．35° D．55°
二、填空题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）
11．如图，∠1=120°，∠2=45°，若使b∥c，则可将直线b绕点A逆时针旋转_________度.

12．如图，已知，直线分别与相交于两点，现把一块含角的直角三角中尺按如图所示的位置摆放．若，则___________．

13．如图，已知∠1＝∠2，∠B＝35°，则∠3＝________°.

14．如图，直线，，，则的度数是___________度.

15．如图，直线，BC平分，，则的大小是________．

16．一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，若∠CDE＝40°，则∠BAF的大小为____．

17．如图，OA∥CB，OC∥AB．若∠1＝50°，则∠2的大小为_____度．

18．将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图所示的方式叠放在一起，若∠1＝30°，则∠2的大小为_____．

19．如图，中，，，，．点是线段上的一个动点，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共84分）
20．（8分）如图，平面上有三个点A、B、C．

（1）根据下列语句按要求画图．
①画射线AB，用圆规在线段AB的延长线上截取BD＝AB（保留作图痕迹）；
②连接CA、CD、CB；
③过点C画CE⊥AD，垂足为点E；
④过点D画DF∥AC，交CB的延长线于点F．
（2）①在线段CA、CE、CD中，线段_________最短，依据是_________．
②用刻度尺或圆规检验DF与AC的大小关系为_________．
21．（8分）如图，已知，平分，平分，求证．
证明：∵平分（已知），
∴ （ ），
同理 ，
∴ ，
又∵（已知）
∴ （ ），
∴．

22．（8分）如图，点在直线上，平分，⊥．
（1）已知，求的大小；
（2）若，请通过计算判断是否平分．






23．（8分）已知：如图，AB∥CD， ．求证：BF∥ED．








24．（10分）在五边形ABCDE中，∠A=135°，AE⊥ED，AB∥CD，∠B=∠D，试求∠C的度数.






25．（10分）直线EF、GH之间有一个直角三角形ABC，其中∠BAC = 90°，∠ABC =．

（1）如图1，点A在直线EF上，B、C在直线GH上，若∠=60°，∠FAC =30°．求证：EF∥GH;
（2）将三角形ABC如图2放置，直线EF∥GH，点C 、B分别在直线EF、GH上，且BC平分∠ABH，直线CD平分∠FCA交直线GH于D．在取不同数值时，∠BCD的大小是否发生变化？若不变求其值，若变化指出其变化范围．






26．（10分）如图，已知∠AOB＝140°，∠COE与∠EOD互余，OE平分∠AOD．
（1）若∠COE＝40°，求∠DOE和∠BOD；
（2）设∠COE＝α，∠BOD＝β，试探究α与β之间的数量关系．






27．（10分）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
（1）小明遇到了下面的问题：如图，点P在、内部，探究，，的关系．小明过点P作的平行线，可得到，，之间的数量关系是：________________.
（2）如图2，若，点P在AC、BD外部，，，的数量关系如何？
为此，小明进行了下面不完整的推理证明.请将这个证明过程补充完整，并在括号内填上依据．过点P作．
∴（________________________________）
∵，
∴（________________________________）
∴，
∵，
∴________________.（________________）
（3）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．如图3，在小学中我们已知道，三角形ABC中，．试构造平行线说明理由.


28．（12分）探究：如图1直线AB、BC、AC两两相交，交点分别为点A、B、C，点D在线段AB上过点D作交AC于点E，过点E作交BC于点F．若，求∠DEF的度数．
请将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式）
解：，
_____________．（_____________）
，
∴_________．（_______________）
．（等量代换）
，
___________．
应用：如图2，直线AB、BC、AC两两相交，交点分别为点A、B、C，点D在线段AB的延长线上，过点D作交AC于点E，过点E作交BC于点F．若，求的度数并说明理由



参考答案
1．C
【分析】
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的内部，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
【详解】
解：如图，

与是直线和被直线所截形成的同旁内角．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了同旁内角的概念，同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．
2．A
【分析】
根据对顶角的性质，可得∠1的度数．
【详解】
解：由对顶角相等，得
∠1=∠2，又∠1+∠2=80°，
∴∠1=40°．
故选：A．
【点拨】本题考查的是对顶角，掌握对顶角相等这一性质是解决此题关键．
3．C
【分析】
两个角的和为 则这两个角互补，利用补角的含义直接列式计算即可.
【详解】
解： ，
的补角
故选C
【点拨】本题考查的是互为补角的含义，掌握“两个角的和为 则这两个角互补”是解本题的关键.
4．B
【详解】
∵EF∥AB，∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）．∵∠1=∠DFE，
∴∠2=∠DFE（等量代换），∴DF∥BC（内错角相等，两直线平行）．
所以只需满足下列条件中的∠1=∠DFE．故选B．
5．B
【分析】
根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得答案．
【详解】
∵，
∴，
∵平分，
∴，
故选B．
【点拨】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
6．D
【分析】
先根据AB∥CD得出∠BCD=∠1，再由CD∥EF得出∠DCE=180°-∠2，再把两式相加即可得出结论．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠1，
∵CD∥EF，
∴∠DCE=180°-∠2，
∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=180°-∠2+∠1．
故选D．
【点拨】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．
7．A
【分析】
由折叠的性质知：∠EBC′、∠BC′F都是直角，因此BE∥C′F，那么∠EFC′和∠BEF互补，欲求∠EFC′的度数，需先求出∠BEF的度数；根据折叠的性质知∠BEF＝∠DEF，而∠AEB的度数可在Rt△ABE中求得，由此可求出∠BEF的度数，即可得解．
【详解】
解：Rt△ABE中，∠ABE＝25°，
∴∠AEB＝ 65°；
由折叠的性质知：∠BEF＝∠DEF；
而∠BED＝180°﹣∠AEB＝115°，
∴∠BEF＝ 57.5°；
∵∠EBC′＝∠D＝∠BC′F＝∠C＝90°，
∴BE∥C′F，

∴∠EFC′＝180°﹣∠BEF＝122.5°．
故选：A．
【点拨】本题主要考查折叠的性质及平行线的性质，掌握折叠的性质及平行线的性质是解题的关键．
8．D
【分析】
过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，由题意可得，进而可得，然后问题可求解．
【详解】
解：过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，如图所示：


∵第三次拐的，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，
∴直线BD与第三次拐弯的道路也平行，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故选D．
【点拨】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9．D
【分析】
根据两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，及直角三角板的特殊性解答．
【详解】
解：∵纸条的两边平行，
∴①∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）；②∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）；④∠4＋∠5＝180°（两直线平行，同旁内角互补）；
又∵直角三角板的直角为90°，
∴③∠2＋∠4＝90°，
故选：D．
【点拨】本题考查平行线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
10．C
【分析】
作直线a∥m，根据平行线的性质即可得到∠4的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到结论．
【详解】
解：作直线a∥m，

∵直线m∥n，
∴直线a∥m∥n，
∴∠3=∠2，∠4=∠1=25°，
又∵三角板中，∠ABC=30°，
则∠ACB=60°，
∴∠2=∠3=60°-25°=35°，
故选：C．
【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
11．15
【分析】
先根据邻补角的定义得到（如下图）∠3=60°，根据平行线的判定当b与a的夹角为45°时，b∥c，由此得到直线b绕点A逆时针旋转60°-45°=15°．
【详解】
解：如图：

∵∠1=120°，
∴∠3=60°，
∵∠2=45°，
∴当∠3=∠2=45°时，b∥c，
∴直线b绕点A逆时针旋转60°-45°=15°．
故答案为：15．
【点拨】本题考查的是平行线的判定定理，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键．
12．
【分析】
根据平行线的性质可得∠BDC的度数，然后根据角的和差即可得．
【详解】
如图，∵，
∴，
∵，
∴．

故答案为20°
【点拨】本题考查了平行线的性质、角的和差，属于基础题型，熟记各定义与性质是解题关键．
13．35
【详解】
分析：
根据“平行线的判定和性质”结合“已知条件”分析解答即可.
详解：
∵∠1=∠2，
∴AB∥CE，
∴∠3=∠B=35°.
故答案为35.
点睛：熟记“平行线的判定方法和性质”是解答本题的关键.
14．
【分析】
首先过点A作AB∥a，由a∥b，可得AB∥a∥b，然后利用两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，同位角相等，即可求得答案．
【详解】
解：过点A作AB∥a，
∵a∥b，
∴AB∥a∥b，
∴∠2+∠4=180°，
∵∠2=140°，
∴∠4=40°，
∵∠1=65°，
∴∠3=∠1+∠4=65°+40°=105°（两直线平行同位角相等）．

【点拨】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，同位角相等定理的应用．
15．72°
【分析】
由可得，，由BC平分，可求得，根据对顶角相等即可求得．
【详解】

，，
BC平分，
，
，
，
故答案为：
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角相等，掌握以上知识点是解题的关键．
16．10°
【分析】
先根据∠CDE＝40°，得出∠CED＝50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF＝50°，最后根据∠BAC＝60°，即可得出∠BAF的大小．
【详解】
由图可得，∠CDE＝40°，∠C＝90°，
∴∠CED＝50°，
又∵DE∥AF，
∴∠CAF＝50°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝60°﹣50°＝10°，
故答案为：10°．
【点拨】本题考查了平行线的性质．
17．130
【分析】
根据两直线平行，同位角相等可得∠O＝50°，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2的度数．
【详解】
解：∵OCAB，∠1＝50°，
∴∠O＝50°，
∵OACB，
∴∠2＝130°．
故答案为：130．
【点拨】本题考查平行线的性质，熟练运用平行线的性质是解题的关键.
18．15°
【分析】
由题意得a∥b，则∠3=∠1＝30°，再由等腰直角三角形可得∠4＝45°，最后运用角的和差即可解答．
【详解】
解：如图：
由题意得：a∥b
∴∠3=∠1＝30°
∵等腰直角三角形
∴∠4＝45°
∴∠2=∠4-∠3＝15°
故答案为15°．

【点拨】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质以及角的和差等知识点，其灵活运用平行线的性质是解答本题的关键．
19．
【分析】
当CP⊥AB时，CP的值最小，利用面积法求解即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，AB=13，
当CP⊥AB时，CP的值最小，
此时：△ABC的面积=•AB•CP=•AC•BC，
∴13CP=5×12，
∴PC=，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．
20．（1）见解析；（2）①；垂线段最短；②相等
【分析】
（1）根据题意作图即可；
（2）根据垂线段最短以及圆规进行检验即可．
【详解】
（1）如图所示，即为所求；

（2）①根据垂线段最短可知，在线段CA、CE、CD中，线段CE最短；
②用圆规检验DF=AC．
【点拨】本题主要考查了画平行线，画垂线，画线段，垂线段最短等等，熟知相关知识是解题的关键．
21．∠ABC；角平分线的定义；∠BCD；(∠ABC+∠BCD)；180°；两直线平行，同旁内角互补
【分析】
由平行线的性质可得到∠BAC+∠ACD=180°，再结合角平分线的定义可求得∠1+∠2=90°，可得出结论，据此填空即可．
【详解】
证明：∵BE平分∠ABC（已知），
∴∠2=∠ABC（角平分线的定义），
同理∠1=∠BCD，
∴∠1+∠2=(∠ABC+∠BCD)，
又∵AB∥CD（已知）
∴∠ABC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补 ），
∴∠1+∠2=90°．
故答案为：∠ABC；角平分线的定义；∠BCD；(∠ABC+∠BCD)；180°；两直线平行，同旁内角互补．
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
22．（1）；（2）平分
【分析】
（1）根据OC平分∠BOD，可以得到∠BOC=∠DOC=26°，根据OE⊥OC，可以得到∠EOC=90°，再根据∠EOC+∠BOC+∠AOE=180°，即可求解；
（2）根据OC平分∠BOD，可以得到∠BOC=∠DOC=α，根据OE⊥OC，可以得到∠EOC=90°，从而得到∠AOE=90°-α，∠AOD=180°-2α，即可判断求解.
【详解】
解：（1）∵OC平分∠BOD，∠DOC=26°，
∴∠BOC=∠DOC=26°，
∵OE⊥OC，
∴∠EOC=90°，
又∵∠EOC+∠BOC+∠AOE=180°，
∴∠AOE=180°-∠EOC-∠BOC=64°；
（2）平分，理由如下：
∵OC平分∠BOD，∠BOC=α，
∴∠BOD=2∠BOC=2α
∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-2α，
∵∵OE⊥OC，
∴∠EOC=90°，
又∵∠EOC+∠BOC+∠AOE=180°，
∴∠AOE=180°-∠EOC-∠BOC=90°-α；
∴∠AOD=2∠AOE，
∴平分.
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质与判定，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
23．证明见解析．
【分析】
根据ABCD可以得到∠B+∠CGB=180°，再根据可得∠CGB=∠D，最后根据平行线的判定定理即可证明BFED．
【详解】
证明：∵ABCD（已知），
∴∠B+∠CGB=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵（已知），
∴∠CGB=∠D（同角的补角相等）．
∴BFED（同位角相等，两直线平行）．
【点拨】本题考查平行线的性质和判定定理，熟练掌握以上知识点是解题关键．
24．45°
【详解】
延长BA、DE相交于点F
∵AE⊥ED
∴∠AEF=90°
∵∠BAE=∠F+∠AEF
∠BAE=135°
∴∠F=45°
∵AB∥CD
∴∠F+∠D=180°,∠B+∠C=180°
∴ ∠D=180°-∠F=180°-45°=135°
∵∠B=∠D
∴∠B=135°
∵∠B+∠C=180°
∴∠C=45°
25．（1）证明见解析；（2）不变，45°．
【分析】
（1）要想求得两条直线平行，我们先要确定题中的内错角相等，即证明∠EAB=∠ABC，由题知∠ABC=60º，∠FAC=30º，所以∠EAB=∠ABC=180°-∠BAC-∠FAC=180°-90°-30°=60º，所以EF∥GH．
（2）过点A作AM平行EF和GH，本题利用平行线间的同旁内角互补，∠A=90º，求得∠FCA+∠ABH=270º，在利用已知条件中的两个角平分线，得到∠FCD+∠CBH=135º，再利用两直线平行，内错角相等，可知∠CBH=∠ECB，即∠FCD+∠ECB =135º，所以可以求得∠BCD的度数．
【详解】
解：（1）先要确定题中的内错角相等，即证明∠EAB=∠ABC，
∵∠EAB=180°-∠BAC-∠FAC， ∠BAC = 90°， ∠FAC =30°
∴∠EAB=60°，
又∵∠ABC =60°，
∴∠EAB=∠ABC ，
∴ EF∥GH；
（2）经过点A作AM∥GH，又EF∥GH，

∴AM∥EF∥GH，
∴∠FCA+∠CAM=180°，∠MAB+∠ABH=180°，∠CBH=∠ECB ，
又∵∠CAM+∠MAB=∠BAC = 90°，
∴∠FCA+∠ABH=270°，
又∵BC平分∠ABH，CD平分∠FCA，
∴∠FCD+∠CBH=135° ，又∠CBH=∠ECB，即∠FCD+∠ECB =135°，
∴∠BCD=180°-（∠FCD+∠ECB） =180°-135°=45° ．
考点：1．平角定义；2．平行线性质与平行公理推论的应用．
26．（1），；（2）．
【分析】
（1）根据互余的性质求出，根据角平分线的性质求出，结合图形计算即可；
（2）根据互余的性质用表示，根据角平分线的性质求出，结合图形列式计算即可．
【详解】
解：
（1）∵与互余，，
∴，
∵OE平分，
∴，
∴，
∴，；
（2）∵，且与互余，
∴，
∵OE平分，
∴，
∴，
解得：．
【点拨】本题考查了余角及角平分线的性质，角的计算，理解两个性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
27．（1）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）由两直线平行内错角相等可得，，之间的数量关系；（2）过点P作，易知，根据两直线平行内错角相等可得，等量代换可得结论；（3）过点A作直线，由两直线平行内错角相等可得，，由平角的定义知，等量代换即可.
【详解】
解：（1）如图，过点P作．

∴
∵
∴
∴
∵，
∴
所以，，之间的数量关系是：
（2）过点P作．
∴（两直线平行，内错角相等）
∵，
∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条件直线也平行）
∴，
∵，
∴．（等量代换）
（3）过点A作直线，
∵.
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，
∴（等量代换）

【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，通过构造平行线将角进行拆分或合并是解题的关键.
28．探究：∠EFC；两直线平行，内错角相等；∠EFC；两直线平行，同位角相等；50°；应用：，见解析．
【分析】
探究：根据平行线的性质填写证明过程即可；
应用：根据探究的方法利用平行线的性质求角度即可．
【详解】
探究：，
．（_两直线平行，内错角相等）
，
∴．（两直线平行，同位角相等_）
．（等量代换）
，
．
应用：，
∴∠ABC=∠ADE=65°.(两直线平行,同位角相等)
∵EF∥AB，
∴∠ADE+∠DEF=180°.(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠DEF=180°−65°=115°.