专题01“将军饮马”模型解决最值问题-【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列（通用版）

【实战精例1】      （2019•广西）如图，为的直径，、是的切线，切点分别为点、，点为线段上的一个动点，连接，，，已知，，当的值最小时，则的值为　　

A． B． C． D．

【实战精例2】      （滨州·中考真题）如图，等边的边长为6，是边上的中线，是上的动点，是边上一点，若，的最小值为　　．

一、平移及其性质

1. 在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移；
2. 平移包含两大要素；平移方向以及平移距离；
3. 平移不改变图形的形状和大小

二、“将军饮马”模型

问题：如图，在定直线l上找一动点P，使点P到两定点A和B的距离之和最小，即PA+PB最小。

【简析1】             如图，作出定点B关于定直线l的对称点C，连接AC与定直线l的交点Q即为所要寻找的点，且最小值等于AC。

类型一：“两定一动“--和最小

【经典剖析1】      （2021秋•官渡区期末）如图，已知点、分别是等边三角形中、边的中点，，点是线段上的动点，则的最小值为　　

A．3 B．6 C．9 D．12

【经典剖析2】      如图，直线分别与轴、轴交于点和点，点，分别为线段，的中点，点为上一动点，当值最小时，点的坐标为　　

A． B． C． D．

【经典剖析3】      已知、两点，在轴上存在点使得的值最小，则点的坐标为　　

A． B． C． D．

【经典剖析4】      如图，边长为的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是　　

A． B． C． D．

类型二：两定一动“--差最大--定点同侧

类型三：“两定一动“--差最大

【经典剖析1】      （2019秋•龙口市期末）如图，已知点，，点为轴上一点，当最大值时，点的坐标为 　　．

类型四：“两动一定“--最短距离

【经典剖析1】      如图，四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，则的度数为　　

A． B． C． D．

【经典剖析2】      如图，，点是它内部一点，，点，分别是，上的两个动点，则周长的最小值为　　

A． B． C． D．

类型五：“两动两定“--最短距离

【经典剖析1】      （2021春•江岸区校级月考）如图所示，，，，．点、分别是、上动点，则的最小值是 　　．

类型六：“两定点一定长①”

【类型七】“两定点一定长②”

【经典剖析1】      如图，在矩形中， ， ，为的中点，若为边上的两个动点，且，若想使得四边形的周长最小，则的长度应为__________.

【经典剖析2】      如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______．

类型一：“两定一动“--和最小

【例题1】           如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（　　）

A．5﹣4 B．﹣1 C．6﹣2 D．

【例题2】           如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是　　

A．5 B．6 C．7 D．8

【例题3】           （2021秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，在轴上确定点，使得的周长最小，则点的坐标是　　

A． B． C． D．

【例题4】           （2021秋•重庆期末）如图，在中，，，是的两条中线，，是上的一个动点，则的最小值是　　

A． B． C． D．

【例题5】           （2020秋•自贡期末）如图，在中，，，面积是24；的中垂线分别交，的边于，；若点是边的中点，点是线段上的一动点，则周长的最小值为　　

A．8 B．9 C．10 D．11

【例题6】           （2018秋•滨江区期末）直角坐标系中，点坐标为，动点的坐标为，的最小值是　　

A． B． C． D．

类型二：“两定一动“--差最大

类型三：“两动一定“--最短距离

【例题1】           如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）

A．140° B．100° C．50° D．40°

类型四：“两动两定“--最短距离

【例题1】           如图，∠MON＝30°，A在OM上，OA＝2，D在ON上，OD＝4，C是OM上任意一点，B是ON上任意一点，则折线ABCD的最短长度为　　．

【例题2】           如图，在∠MON的边OM,ON上分别有点A,D，且∠MON＝30º，OA＝10，OD＝6，B，C两点分别是边OM,ON上的动点，则AC＋BC＋BD的最小值为              .

类型五：“两定点一定长①”

【例题1】           如图，在长方形ABCD中，O为对角线AC的中点，P是AB上任意一点，Q是OC上任意一点，已知：AC＝2，BC＝1．

（1）求折线OPQB的长的最小值；

（2）当折线OPQB的长最小时，试确定Q的位置．

【例题2】           如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（　　）

A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）

【例题3】           正方形ABCD，AB＝4，E是CD中点，BF＝3CF，点M，N为线段BD上的动点，MN＝，求四边形EMNF周长的最小值　　．

【例题4】           如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，点E，F是线段AC的三等分点，点P是线段BC上的动点，点Q是线段AC上的动点，若AC＝3，则四边形EPQF周长的最小值是　　．

【变式1】           如图，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于　　．

【变式2】           （2021秋•虎林市校级期末）如图，等边三角形，的高，点为上一动点，为边的中点，则的最小值 　　．

【变式3】           （2021秋•天门期末）如图，在中，，，，是的角平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是 　　．

【变式4】           如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当的周长最小时，的度数为 　　．

【变式5】           （2021秋•高邑县期末）如图，等腰三角形的面积为80，底边，腰的垂直平分线交，于点，，若为边中点，为线段上一动点，则的周长最小值为 　　．

【变式6】           （2021秋•青山区期末）如图，等腰的底边的长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点，，若为边的中点，为线段上一动点，则周长的最小值为 　　．

【变式7】           （2021秋•蜀山区期末）在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，点为轴上一点，当最小时，则点的坐标为 　　．

【变式8】           （2021秋•大石桥市期末）已知的面积是12，，是边上的中线，，分别是，上的动点，则的最小值为 　　．

【变式9】           （2021秋•西峰区期末）如图，在等边中，为边的中点，垂直平分，是上的动点．若，则的最小值为 　　．

【变式10】       （2021秋•鸡冠区校级期末）如图，在中，，，，为上的两个动点，且，则的最小值是 　　

【变式11】       （2021秋•隆昌市校级期末）如图，已知点、点分别是等边三角形中、边的中点，，点是线段上的动点，则的最小值为 　　．

【变式12】       （2021秋•安庆期末）如图，在四边形中，，，在、上分别取一点、，使的周长最小，则　　．

【变式13】       （2021•临沂模拟）已知，如图，正方形的边长是8，在上，且，是边上的一动点，则的最小值是 　　．

【变式14】       （2020秋•黔东南州期末）如图，在边长为4，面积为的等边中，点、分别是、边的中点，点是边上的动点，求的最小值 　　．

【变式15】       （2021秋•如皋市月考）如图，等边的边长为6，是高，是边上一动点，是上一动点，则的最小值为 　　．

【变式16】       （2021秋•融水县期中）如图，中，，，，，垂直平分，点为直线上一动点，则周长的最小值为 　　．

【变式17】       （2021秋•龙口市期中）如图，点、分别是等边中，边的中点，，点是线段上的动点，则的最小值为 　　．

【变式18】       （2021•成都模拟）如图，正方形的边长为2，是的中点，为上一动点，则的最小值为　　．

【变式19】       （2021春•海淀区校级期中）已知，，在轴找一点，使的值最小，则点的坐标为　　．

【变式20】       （2020秋•东城区期末）如图，等腰直角中，，，为的中点，，若为上一个动点，则的最小值为　　．

【变式21】       （2019秋•龙口市期末）如图，已知点，，点为轴上一点，当最大值时，点的坐标为 　　．

【变式22】       （2019秋•岳西县期末）已知，，点为轴上一点，当最小时，点的坐标为 　　．

【拓展训练1】      如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝（　　）

A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°

【拓展训练2】      如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝　　度．

【拓展训练3】      如图，已知直线y＝x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，⊙C的圆心坐标为 （2，0），半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是　　．

【拓展训练4】      如图，长为1的线段AB在x轴上移动C（0，1）、D（0，2），则AC+BD的最小值是　　．

【拓展训练5】      在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为AD边的中点．如图，若E、F为边AB上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF的周长最小时，则求AF的长为　　．

【拓展训练6】      如图所示，凸四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝90°，∠D＝60°，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，求△BMN的周长的最小值.

【拓展训练7】      如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连接BM、BN，当BM＋BN最小时，∠MBN＝            度.

【拓展训练8】      （2021秋•龙口市期末）如图，钝角三角形的面积是20，最长边，平分，点，分别是，上的动点，则的最小值为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【拓展训练9】      （2021秋•罗庄区期末）如图，中，，，的面积9．点、、分别是三边、、上的动点，则周长的最小值为　　

A．5 B．6 C．8 D．10

【拓展训练10】  （2021秋•郑州期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线上有，两个动点，且，已知，点，，当周长最小时，点的坐标为　　

A． B． C． D．

【拓展训练11】  （2021•雨花区一模）如图，正方形的边长为4，点，点分别是边，边上的动点，且，与相交于点．若点为边的中点，点为边上任意一点，则的最小值等于　　

A． B．5 C． D．

【拓展训练12】  （2021秋•环江县期末）如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点，若，，，则周长的最小值是 　　．

【拓展训练13】  （2020秋•沙坪坝区校级月考）如图所示，在正方形中，，点为射线上一动点，连接，取其中点，连接，将线段沿翻折得到线段，连接，，，则的最小值为 　　．

【拓展训练14】  （2021秋•硚口区期末）在等腰中，，点和点分别为和边上的点，，与相交于点．

（1）当时，

①如图1，求证：；

②如图1，求的度数；

③如图2，若，作，垂足为点，连接，求证：．

（2）当时，如图3，若取得最小值，直接写出的值．

【拓展训练15】  （2021秋•龙凤区校级期末）如图，已知抛物线的图象与轴交于和，与轴交于点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点是直线下方抛物线上的一点，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点，使得的周长最小，请求出点的坐标和点的坐标；

（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点，使得为等腰三角形？如果有，请直接写出点的坐标；如果没有，请说明理由．

【拓展训练16】  （2021秋•九龙坡区期中）如图1，在中，，点为边上一点，连接．

（1）如图1，以为边作等腰三角形，，连接，且满足条件，，，求证：．

（2）如图2，，过点作直线交于点，点为直线上一点，，连接，当最小时，直接写出的度数．