专题05“倍长中线”模型解决全等与相似等几何问题-【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列（通用版 ）

这是一份专题05“倍长中线”模型解决全等与相似等几何问题-【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列（通用版 ），文件包含专题05“倍长中线”模型解决全等与相似等几何问题解析版docx、专题05“倍长中线”模型解决全等与相似等几何问题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共123页， 欢迎下载使用。




课前热身


【经典剖析1】 （2020•德州）问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小红证明的判定定理是：　　；
（2）的取值范围是　　；
方法运用：
（3）如图2，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：．
（4）如图3，在矩形中，，在上取一点，以为斜边作，且，点是的中点，连接，，求证：．







一、知识回顾——与线段“中点”相关知识点及辅助线作法
1、倍长中线 2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
3、三角形的中位线 4、三线合一 5、平行四边形对角线互相平分
二、倍长中线的定义
倍长中线：延长底边的中线，使所延长部分与中线相等.一般情况下，倍长中线后，往往需要连接相应的顶点，构造全等三角形，则全等三角形对应角、对应边都对应相等。
三、倍长中线在几何中的作用
在平面几何题证明中，用倍长中线法作辅助线一般都是题目条件有中线时考虑用这种方法，此法常用于平面几何构造全等三角形或平行四边，然后利用中线的性质进而证明对应边之间的关系。
四、倍长中线的类型
1、倍长中线型：题目中存在中点、三角形的中线，需要证明线段之间的关系，直接倍长中线.
2、类倍长中线型：题目中存在中点，不存在三角形的中线，但是存在与中点有关的线段（类中线），当需要证明线段之间的关系时，我们将与中点有关的线段延长一倍，称为类倍长中线.


五、倍长中线的题型
题型1：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半（三角形三边关系）
小结：涉及三角形中线的问题，我们一般可采用倍中线法，把分居中线两旁的两条线和两个角综合到一个三角形中加以解决.
题型2：倍长中线后，证线段的倍数关系
小结：有些几何题在利用“倍长中线”证完一次全等三角形后，还需要再证一次全等三角形，既“二次全等”.
在证二次全等时，难点通常会体现在倒角上，常见的倒角的方法有：
（1）“8”字型；
（2）平行线型；
（3）180°（平角、三角形内角和）；
（4）360°（周角、四边形内角和）；
（5）小旗子（三角形外角和）；
（6）90°（互余角）.
题型3：倍长中线后，利用相似三角形的性质证线段的倍数关系
小结：倍长中线后，根据全等三角形的对应关系，找到相似三角形，然后根据相似三角形的性质，最后根据线段的比例关系求出线段之间的数量关系.
六、解题过程中常用的知识点
1、证明全等三角形的方法：SSS、SAS、AAS、ASA、HL
2、三角形的三边关系：
（1）任意两边之和大于第三边；
（2）任意两边之差小于第三边；
3、平行线的性质：
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）两直线平行，内错角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补；









中点模型，提到中点，我们需要想到关于中点的以下知识点：①三角形中线平分三角形面积，等分点等分面积；②等腰三角形“三线合一”的性质；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④三角形中位线平行且等于第三边的一半. 这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点，今天重点在结合四点的基础上探究另外一种中点模型，我们简称“平中对模型”，即“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型，与倍长中线法相通。



















【例题1】 （2021秋•肥西县期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例题2】 （2021秋•新城区校级期中）已知是的边上的中线，，，则中线的取值范围是　　
A． B． C． D．以上都不对
【例题3】 （2020•江西模拟）如图，点、、分别是三边的中点，则下列判断错误的是　　

A．四边形一定是平行四边形 B．若平分，则四边形是正方形
C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是矩形
【例题4】 （2022•南岗区模拟）如图，点是的斜边的中点，点、分别在边、上，且，连接、，若，，则线段的长为 　　．

【例题5】 （2021秋•木兰县期末）如图，在中，，于点，点在上，且，是的中点，连接并延长，在的延长线上有一点，连接，且，，则　　．


【例题6】 （2021秋•九台区期末）如图，中，，，是的中点，的取值范围为 　　．

【例题7】 （2021秋•淅川县期中）是的边上的中线，，，则中线的取值范围是 　　．
【例题8】 （2021秋•东莞市期中）在中，已知，，是边上的中线，则取值范围是　　．
【例题9】 （2019秋•镇海区期末）如图，在中，，为的中点，连结，作交于点．若，，则　　．














【例题10】 （2021秋•齐河县期末）（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，与的延长线交于点、点是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．


【例题11】 （2021秋•沙坪坝区校级期末）中，，以为边，在右侧作等边．
（1）如图1，连接与交于点，，，求的面积；
（2）如图2，为延长线上一点，连接、，为的中点，连接、，，证明：．





【例题12】 （2021秋•南充期末）如图，是的中线，为上一点，为延长线上一点，且．
求证：．

【例题13】 （2021秋•东城区期末）如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，．
（1）用等式表示与的数量关系，并证明；
（2）当时，
①直接写出的度数为 　　；
②若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明．













【例题14】 （2021秋•南召县期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：

（1）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是　　．
（2）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知，点是的中点，点在线段上，，若，，直接写出线段的长．











【例题15】 （2021秋•通榆县期末）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到的理由是　　．
． ． ． ．
（2）求得的取值范围是　　．
． ． ． ．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：．












【变式1】 （2021•扬州模拟）我们定义：如图1，在中，把点绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．我们称△是的“旋补交差三角形”，连接、，我们将、所在直线的相交而成的角称之为 “旋补交差角”， 点到中点间的距离成为“旋转中距”．如图1，即为 “旋补交差角”， 即为 “旋补中距”．
（1）若已知图1中的长度等于4，当，则 “旋补交差角” 　　，“旋补中距” 长度　　；
（2）若图1中的度数发生改变，则 “旋补交差角”度数是否发生改变？请证明你的结论，并直接判断 “旋补中距”是否也发生改变；
（3）已知图2中△是 “旋补交差三角形”， 的长度等于4，长度等于6，问是否存在最小值？如果存在，请求出具体的值，如果不存在，请说明理由．










【变式2】 （2020秋•石狮市期末）如图，在中，，，于点，点是的中点，连接．
（1）若，，求的长；
（2）求证：；
（3）求证：．

【变式3】 （2020秋•津南区期末）（1）如图1，在中，，，平分．求证：；
（2）如图2，在中，点在边上，中线与相交于点，．求证：．

【变式4】 （2021秋•香坊区校级期中）如图1，在中，，、在边上，连接、，；
（1）求证：；
（2）如图2，为上一点，连接、，若，，求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，为上一点，连接，，为中点，连接，若，，求的长．



【变式5】 （2021春•历下区期中）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图，
①延长到，使得；
②连接，通过三角形全等把、、转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是　　；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明．













【变式6】 （2020•建昌县模拟）如图，在和中，，，，绕点旋转．
（1）如图1，若连接，，则与的关系为 　　；
（2）如图2，若连接，，取中点，连接，探究与的关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当旋转到如图3的位置时，点落在延长线上，若，，请直接写出线段的长．


【变式7】 （2020秋•岫岩县期中）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点是的中点，点在上，且．
求证：．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长到点，使，连接；
②如图2，分别过点、作，，垂足分别为点，．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．

【变式8】 （2020春•双流区校级期末）（1）如图1，在中，，，为边上的中线．延长到点，使，连接（或将绕着点逆时针旋转得到，把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是　　．
（2）如图2，在中，，为的中点，、分别在边、上，且，若，，求的长．
（3）如图3，四边形中，，，为中点，、分别边、上，且，若，，求长．

【变式9】 （2020秋•饶平县校级期中）（1）如图，是的中线，，则的取值范围是　　
． ． ． ．
（2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图，是的中线，交于，交于，且，求证：．








【变式10】 （2019秋•新吴区期中）（1）阅读理解：
如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断．中线的取值范围是　　；
（2）问题解决：如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，以为顶点作，使得角的两边分别交，于、两点，连接，且，试探索与之间的数量关系，并加以证明．















【变式11】 （2019春•秦淮区期中）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使得，再连接（或将绕点逆时针旋转得到，把、、集中在中，利用三角形的三边关系可得，则．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（1）问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接．
①求证：；②若，探索线段、、之间的等量关系，并加以证明；
（2）问题拓展：如图3，在平行四边形中，，是的中点，作，垂足在线段上，联结、，那么下列结论①；②；③；④．其中一定成立是　　（填序号）．











【变式12】 （2019秋•舞阳县期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程．
（1）求证：
证明：延长到点，使
在和中（已作）　　　　　　 （）
　　
（2）探究得出的取值范围是　　；
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．











【变式13】 （2018秋•宜兴市期中）【初步探索】
（1）如图1，是的中线，探究与的大小关系．
小明同学探究此问题的方法是：延长至点，使，连接，先证明，可得出结论，他的结论应是　　
【灵活运用】
（2）如图2，是的中线，、分别在、上，且，求证：．
【拓展延伸】
（3）如图3，为的角平分线，直线于点．点为上一点（与点不重合），周长记为，周长记为，比较与的数量关系并证明．
















【变式14】 （2017春•濮阳期末）（1）阅读理解：

如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围是　　
（提醒：解决此问题可以用如下方法；延长到点使，再连接（或将绕着点顺时针旋转180得到．把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断．
（2）问题解决：如图②，在中是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；
（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个70角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．















【变式15】 （2016秋•章贡区期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再连接，（或将绕点逆时针旋转得到，把、、集中在中，利用三角形的三边关系可得，则．
感悟解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（1）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接．
①求证：；
②若，探索线段、、之间的等量关系，并加以证明
（2）问题拓展：如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段、、之间的数量关系，并加以证明．








【变式16】 （2016春•灌云县期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长到，使得，再连接（或将绕点逆时针旋转得到，把、、集中在中，利用三角形的三边关系可得，则．

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形或全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）问题解决：
受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接．
①求证：；②若，探索线段、、之间的等量关系，并加以证明；
（3）问题拓展：
如图3，在四边形中，，，，以为顶点作为角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段、、之间的数量关系，并加以证明．








【变式17】 （2015春•宝安区期末）某校数学课外兴趣小组活动时，老师提出如下问题：
【探究】如图1，中，若，，点是的中点，试探究边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程．
（1）求证：
证明：延长到点，使
在和中（已作）　对顶角相等　（中点定义）
　　
（2）探究得出的取值范围是　　；
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，是的中线，交于，交于，且．
求证：．












【拓展训练1】 （2020•自贡）如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点，是的中点，连接、．若，则长为　　

A．2 B． C． D．

【拓展训练2】 （2021秋•河东区期末）如图，点，分别为的边，上的点，连接并延长至，使，连接．若，，，则的长等于　　

A．1 B．2 C．3 D．5









【拓展训练3】 （2021秋•锦州期末）如图，在正方形中，为的中点，为的中点，和相交于点，延长交于点，下列结论：
①；
②；
③；
④．
其中结论正确的是　　

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【拓展训练4】 （2021春•营口期末）矩形与如图放置，点，，共线，点，，共线，连接，取的中点，连接．若，，则　　

A． B．2 C． D．
【拓展训练5】 （2019春•滨湖区期末）矩形与矩形如图放置，点、、共线，点、、共线，连接，取的中点，连接．若，，则　　

A． B． C．2 D．

【拓展训练6】 （2018•宁波）如图，在菱形中，，是锐角，于点，是的中点，连接，．若，则的值为　　．

【拓展训练7】 （2021秋•如皋市期末）如图，，，，，，取的中点，连结，则　　．

【拓展训练8】 （2021秋•镇海区期末）如图，在平行四边形中，以为直径的分别交、于点、，且是的中点，过作，交于点，若，则的值为 　　．

【拓展训练9】 （2020•锦江区校级二模）如图，在四边形中，对角线恰好过对角线的中点，且满足，我们称四边形为“诡异四边形”．若在“诡异四边形”中，，则　　．




【拓展训练10】 （2019•阳谷县一模）矩形与如图放置，点，，共线，点，，共线，连接，取的中点，连接．若，，则　　．

【拓展训练11】 （2018秋•于洪区期末）矩形与，如图放置，点、、共线，点、、共线，连接，取的中点，连接，若，，则　　．

【拓展训练12】 （2021秋•雁江区期末）如图，矩形中，点是的中点，过点作的垂线，交的延长线于点，交于点，且是中点．
（1）求证：；
（2）求证：．








【拓展训练13】 （2021秋•永春县期末）如图，在中，，为中点，点，分别在直线，上（点不与点，重合），，连接．
（1）如图1，当点与点重合时，，，求的长；
（2）如图2，当点不与点重合时，求证：；
（3）若，，，求线段的长．

【拓展训练14】 （2021秋•香坊区校级期末）在四边形中，平分，点是上任意一点，连接，且，，点为延长线上一点，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，，，，求线段的长．







【拓展训练15】 （2021•佳木斯二模）中，，是边上的中线，，过点的直线分别交直线，于点，．
（1）当点在边上时如图1，求证：；
（2）当点在边的延长线上时，如图2；当点在边的延长线上时，如图3，请分别写出线段，，之间的数量关系，不需要证明．

【拓展训练16】 （2020秋•平房区期末）已知，等边中，为延长线上一点，以为斜边做使，，连接并延长与射线交于点，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图1，求证：；
（3）如图3，若，，求的面积．


【拓展训练17】 （2021•椒江区校级开学）如图，已知，，垂足为点，，垂足为点，，，点是的中点，求的长．


【拓展训练18】 （2020•二道区校级模拟）【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在中，，在上，在的延长线上，交于，且，求证：，小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过点作交于，进而解决了该问题．（不需证明）
【探究】如图③，在四边形中，，为边的中点，，与的延长线相交于点．试探究线段与、之间的数量关系，并证明你的结论．
【应用】如图④，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，则的长为　　．

【拓展训练19】 （2015•重庆校级模拟）如图，已知，于，于，，．点是的中点，求的长．