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专题05 三角形-【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列（通用版）
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这是一份专题05 三角形-【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列（通用版），文件包含专题05三角形-题型与技法中考数学二轮复习金典专题讲练系列通用版解析版docx、专题05三角形-题型与技法中考数学二轮复习金典专题讲练系列通用版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共78页， 欢迎下载使用。
考点目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc11318" 59.直线与线段 PAGEREF _Tc11318 \h 3
\l "_Tc3684" 60.角的相关计算 PAGEREF _Tc3684 \h 3
\l "_Tc31116" 61.垂线及其性质 PAGEREF _Tc31116 \h 3
\l "_Tc29228" 62.平行线的判定及其性质 PAGEREF _Tc29228 \h 3
\l "_Tc19567" 63.三角形的分类 PAGEREF _Tc19567 \h 3
\l "_Tc23024" 64.三角形的三边关系 PAGEREF _Tc23024 \h 3
\l "_Tc25219" 65.三角形的内角和与内外角关系 PAGEREF _Tc25219 \h 3
\l "_Tc25528" 66.三角形的重要线段及其计算 PAGEREF _Tc25528 \h 3
\l "_Tc17598" 67.全等三角形的性质 PAGEREF _Tc17598 \h 3
\l "_Tc4975" 68.全等三角形的判定 PAGEREF _Tc4975 \h 3
\l "_Tc13058" 69.等腰三角形及其计算 PAGEREF _Tc13058 \h 3
\l "_Tc20103" 70.等边三角形及其计算 PAGEREF _Tc20103 \h 3
\l "_Tc30122" 71.角平分线及垂直平分线 PAGEREF _Tc30122 \h 3
\l "_Tc6620" 72.直角三角形及其计算 PAGEREF _Tc6620 \h 3
\l "_Tc3175" 73.平行线分线段成比例 PAGEREF _Tc3175 \h 3
\l "_Tc21393" 74.相似三角形的判定 PAGEREF _Tc21393 \h 3
\l "_Tc11553" 75.相似三角形的性质 PAGEREF _Tc11553 \h 3
\l "_Tc12541" 76.与相似有关的证明与计算 PAGEREF _Tc12541 \h 4
\l "_Tc23218" 77.锐角三角形的计算 PAGEREF _Tc23218 \h 4
\l "_Tc18662" 78.解直角三角形 PAGEREF _Tc18662 \h 4
\l "_Tc23228" 79.解直角三角形的实际应用 PAGEREF _Tc23228 \h 4
聚焦1 几何初步知识及相交线、平行线
考点一 直线、射线、线段
1．直线的基本性质
(1)两条直线相交，只有一个交点．(2)经过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线．
2．线段的性质
所有连接两点的线中，线段最短，即：两点之间线段最短．
3．把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点．
4．直线、射线、线段的区别与联系：
考点二 角的有关概念及性质
1．概念：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点是这个角的顶点．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的平分线．
2．角的单位与换算：1°＝60′，1′＝60″，1周角＝2平角＝4直角．
3．余角与补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．
4．对顶角：在两相交直线形成的四个角中，如果两个角有公共顶点，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角称为对顶角．
考点三 垂线的性质与判定
1．垂线及其性质：
垂线：两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线．
性质：(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．(简说成：垂线段最短)
2．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
3．判定：若两条直线相交且有一个角为直角，则这两条直线互相垂直．
考点四 平行线的性质与判定
1．概念：在同一平面内，不相交的两条直线，叫平行线．
2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
3．性质：如果两条直线平行，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
4．判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行，平行于同一直线的两直线平行．
聚焦2 三角形与全等三角形
考点一 三角形的概念及性质
1．概念：(1)由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．(2)三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．
2．性质：(1)三角形的内角和是180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．(2)三角形的任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边．
考点二 三角形中的重要线段
1．三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．特性：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心．
2．三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高．特性：三角形的三条高线相交于一点．
3．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．特性：三角形的三条中线交于一点．
4．三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半．
考点三 全等三角形的性质与判定
1．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等．
3．判定：(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)；(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)；(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)；(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．
考点四 定义、命题、定理、公理
1．定义：对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义．
2．命题：判断一件事情的语句．
(1)命题由题设和结论两部分组成．命题通常写成“如果…那么…”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论．
(2)命题的真假：正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．
(3)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有逆命题．
3．定理：经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都是真命题．所以不是所有的定理都有逆定理．
4．公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫公理．
考点五 证明
1．证明：从一个命题的条件出发，根据定义、公理及定理，经过逻辑推理，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫做证明．
2．证明的一般步骤：(1)审题，找出命题的题设和结论；(2)由题意画出图形，具有一般性；(3)用数学语言写出已知、求证；(4)分析证明的思路；(5)写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密．
3．反证法：先假设命题中结论的反面成立，推出与已知条件或是定义、定理等相矛盾，从而结论的反面不可能成立，借此证明原命题结论是成立的．这种证明的方法叫做反证法．
聚焦3 等腰三角形
考点一 等腰三角形
1．等腰三角形的有关概念及分类：有两边相等的三角形叫等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形．
2．等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；(3)等腰三角形是轴对称图形．
3．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)．
考点二 等边三角形的性质与判定
1．等边三角形的性质：(1)等边三角形的内角相等，且都等于60°；(2)等边三角形的三条边都相等．
2．等边三角形的判定：(1)三条边相等的三角形是等边三角形；(2)三个角相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
考点三 线段的垂直平分线
1．概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线．
2．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
3．判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．
考点四 角平分线的性质及判定
1．性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，角的平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合．
聚焦4 直角三角形
考点一 直角三角形的性质
1．直角三角形的两锐角互余．2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
考点二 直角三角形的判定
1．有一个角等于90°的三角形是直角三角形．2．有两角互余的三角形是直角三角形．
3．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形．
4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．
聚焦5 图形的相似
考点一 比例线段
1．比例线段的定义：
在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
2．比例线段的性质：
(1)基本性质：eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)ad＝bc；(2)合比性质：eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)eq \f(a＋b,b)＝eq \f(c＋d,d)；
(3)等比性质：若eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝…＝eq \f(m,n)(b＋d＋…＋n≠0)，那么eq \f(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n)＝eq \f(a,b).
3．*黄金分割：
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果eq \f(AC,AB)＝eq \f(BC,AC)，则线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
考点二 相似多边形
1．定义：
对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比，相似比为1的两个多边形全等．
2．性质：
(1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例；(2)相似多边形周长的比等于相似比；
(3)相似多边形面积的比等于相似比的平方．
考点三 相似三角形
1．定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．
2．判定：
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
(4)三边对应成比例，两三角形相似；(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
3．性质：
(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；
(3)相似三角形周长的比等于相似比；(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方
考点四 图形的位似
1．定义：如果两个图形仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形叫位似图形．这个点叫做位似中心，这时的相似比称为位似比．
2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
3．画位似图形的步骤
(1)确定位似中心点；(2)连接图形各顶点与位似中心的线段(或延长线)；
(3)按位似比进行取点；(4)顺次连接各点，所得的图形就是所求图形．
聚焦6 解直角三角形
考点一 锐角三角函数定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．
sin A=eq \f(∠A的对边,斜边)=eq \f(a,c)；cs A＝eq \f(∠A的邻边,斜边)＝eq \f(b,c)；tan A＝eq \f(∠A的对边,邻边)＝eq \f(a,b).
考点二 特殊角的三角函数值
考点三 解直角三角形
1．直角三角形的边角关系：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sin A＝eq \f(a,c)，cs A＝eq \f(b,c)，tan A＝eq \f(a,b)，sin B＝eq \f(b,c)，cs B＝eq \f(a,c)，tan B＝eq \f(b,a).
2．解直角三角形的几种类型及解法：
(1)已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，c＝eq \f(a,sin A)，b＝eq \f(a,tan A)(或b＝eq \r(c2－a2))；
(2)已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，a＝c·sin A，b＝c·cs A(或b＝eq \r(c2－a2))；
(3)已知两直角边a，b，其解法为：c＝eq \r(a2＋b2)，由tan A＝eq \f(a,b)，得∠A，∠B＝90°－∠A；
(4)已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法为：b＝eq \r(c2－a2)，由sin A＝eq \f(a,c)，求出∠A，∠B＝90°－∠A．
考点四 解直角三角形的应用
1．仰角与俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．
2．坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡．
59.直线与线段
（2020•凉山州）点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为
A．B．C．或D．或
（2019•瓯海区一模）已知线段，是线段的中点，是直线上一点，且，则
（2003•郴州）如图，已知是的中点，是的中点，若，则 ．
60.角的相关计算
（2019•重庆模拟）如图所示，已知，，则的度数为
A．B．C．D．
（2018•莲湖区模拟）如图，已知，平分，且，则
A．B．C．D．
（2019•广元一模）若一个角的补角是它的余角的5倍，则这个角的度数为 ．
61.垂线及其性质
（2022•信阳一模）如图，已知直线、、相交于点，，且，，则的度数为
A．B．C．D．
（2021•广州模拟）如图，，线段，线段，线段，则点到的距离为 ．
62.平行线的判定及其性质
（2021•渌口区模拟）如图，和相交于点，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
（2021•商河县校级模拟）如图所示，与不是同位角的是
A．B．C．D．
（2022•河南模拟）如图所示，直线、被、所截，下列条件中能说明的是
A．B．C．D．
（2021•靖西市模拟）如图，已知直线，被直线所截，下列条件不能判断的是
A．B．C．D．
（2022•河南一模）如图，已知，，，则等于
A．B．C．D．
（2022•郑州模拟）如图，将一张长方形纸带沿折叠，点、的对应点分别为、．若，用含的式子可以将表示为
A．B．C．D．
（2020•铜仁市）设，，是同一平面内三条互相平行的直线，已知与的距离是，与的距离是，则与的距离等于 ．
（2020•新昌县校级模拟）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容
已知：如图，．
求证：．
证明：延长交★于点．
则■（三角形的外角等于它不相邻的内角之和）．
又，得▲．
故●相等，两直线平行）．
则回答错误的是
A．★代表B．■代表C．▲代表D．●代表同位角
63.三角形的分类
64.三角形的三边关系
（2020•靖江市一模）设三边为、、，其中、满足，则第三边的取值范围 ．
65.三角形的内角和与内外角关系
（2021•广水市模拟）如图，在中，平分交于点，过点作交于点．若，，则的大小为
A．B．C．D．
（2021•南岗区校级模拟）如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，使得点落在边上的处，则的度数为
A．B．C．D．
（2021•商河县校级模拟）如图，，，，则的度数为
A．B．C．D．无法确定
（2021•河北）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少” 度．
66.三角形的重要线段及其计算
（2020•长安区二模）用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是
A．B．C．D．
（2021•栾川县三模）如图，点、在的两条边、上，平分，平分，连接，若，则的度数为
A．B．C．D．
67.全等三角形的性质
（2022•龙岗区模拟）如图，△，且点在边上，点恰好在的延长线上，下列结论错误的是
A．B．
C．D．平分
（2021秋•房县期末）如图，已知，，，，则的长为
A．4B．5C．6D．不确定
（2021秋•宜城市期末）如图，已知，，，，那么下列结论中正确的是
A．B．C．D．
（2021秋•澄城县期末）如图．点、在上，，，，则的长是
A．6B．5C．4D．3
（2021秋•民权县期末）如图，，且，，则的度数的值为
A．B．C．D．
68.全等三角形的判定
（2022•建湖县一模）如图，，．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．其中能证明的是 ．（只填序号）
（2021•襄阳模拟）如图，，．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．其中不能证明的是 （只填序号）．
69.等腰三角形及其计算
（2021•本溪）如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点，点为的中点，连接，若，则的周长为
A．B．C．D．4
（2021•陕西模拟）如图，中，，于点，于点，于点，，则的长为
A．3B．4C．5D．6
（2021•宜昌模拟）如图，以的顶点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接．若，，则的度数是
A．B．C．D．
（2021•昆山市模拟）如图，中，，、的角平分线相交于点．若，则等于
A．B．C．D．
（2021•牡丹江）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为 ．
（2021•平房区一模）如图，在中，，，垂足为点，延长至点，使，连接、，若，则的长为 ．
70.等边三角形及其计算
（2021•全椒县二模）如图，点，，分别在等边的三条边上，，，则的值为
A．B．C．D．
（2021•沂水县二模）如图，在中，，点为的中点，是上的一点，且．若，则的长是
A．B．4C．D．6
（2019•南开区三模）如图，在中，，，是内两点，平分，，若，，则 ．
71.角平分线及垂直平分线
（2020•张家口二模）如图，在中，，，按以下步骤作图：
①以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交、于点、；
②分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点；
③作射线，交边于点．
则的度数为
A．B．C．D．
（2021•商城县校级模拟）如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是
A．24B．32C．45D．56
72.直角三角形及其计算
（2021•田林县模拟）如图，在中，，，，以点为圆心，为半径画弧交于点，再以点为圆心，为半径画弧交于点，则的长等于
A．B．C．D．1
（2021•花都区一模）如图，在中，，是角平分线，是中线，则的长为
A．3B．4C．5D．6
（2021•柯城区三模）如图，在中，，，是的中点，且，则的度数是
A．B．C．D．
（2021•饶平县校级模拟）如图，在三角形中，，，三角形的周长是7，于，于，且点是的中点，则
A．B．C．D．7
（2021•安徽模拟）如图，是半圆上一点，是半圆的直径，，是垂足，，以、为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
（2021•鼓楼区二模）如图，，．若，，则的长为
A．B．2C．D．4
（2021•资阳）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点．若，，则的长为
A．B．C．D．
《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为
A．B．
C．D．
73.平行线分线段成比例
（2022•泉州模拟）如图，直线，直线分别交、、于点、、，直线分别交、、于点、、，若，，则等于
A．B．C．D．
（2021•沂水县二模）如图，在中，在边上，，是的中点，连接并延长交于，若，则
A．B．2C．3D．4
（2021•平南县三模）如图，在中，点在上，点是的中点，连接并延长交点，，则
A．B．C．D．
（2022•开福区校级模拟）如图，在平行四边形中，是边上的一点，交于，若，，则 ．
74.相似三角形的判定
（2022•南山区模拟）如图，在中，，，，所以长为
A．B．C．D．4
（2022•碑林区校级三模）如图，在中，点在边上，若，，且，则线段的长为
A．9B．6C．5D．4
75.相似三角形的性质
（2022•福州模拟）如图，点、分别在的边、上，且，，，，则的长是
A．2.4B．2.5C．3D．4.5
76.与相似有关的证明与计算
（2022•石家庄模拟）如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下处前进4米到达处时，测得影子长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达处，此时影子长为
A．1米B．2米C．3米D．4米
（2022•随州模拟）《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种．书中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点、点分别是正方形的边、的中点，，，过点，且步，步，则正方形的边长为
A．280步B．140步C．300步D．150步
77.锐角三角形的计算
（2021•揭西县模拟）中，，若，则的值是
A．B．3C．D．
（2022•泗阳县一模）在锐角中，，，，．则 ．
78.解直角三角形
（2022•安庆一模）如图，在中，，交于点，若，，则
A．6B．C．7D．
79.解直角三角形的实际应用
（2021•鄂州一模）如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形，，斜坡长为8米，坡角为，斜坡的坡角为，则斜坡的长为
A．6米B．米C．4米D．米
（2021•花都区一模）如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为
A．B．C．D．
（2022•广西模拟）如图，小文准备测量自己所住楼房与对面楼房的水平距离，他在对面楼房处放置一个3米长的标杆，然后他在处测得点的俯角为．再测得点的俯角为，则两座楼房之间的水平距离大约为多少米．（参考数据：，，
A．9B．9.25C．9.5D．9.75
有几个端点
向几个方向延伸
表示
图形
直线
0
2
两个大写字母或一个小写字母
____
射线
1
1
两个大写字母
线段
2
0
两个大写字母或一个小写字母
考点目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc11318" 59.直线与线段 PAGEREF _Tc11318 \h 3
\l "_Tc3684" 60.角的相关计算 PAGEREF _Tc3684 \h 3
\l "_Tc31116" 61.垂线及其性质 PAGEREF _Tc31116 \h 3
\l "_Tc29228" 62.平行线的判定及其性质 PAGEREF _Tc29228 \h 3
\l "_Tc19567" 63.三角形的分类 PAGEREF _Tc19567 \h 3
\l "_Tc23024" 64.三角形的三边关系 PAGEREF _Tc23024 \h 3
\l "_Tc25219" 65.三角形的内角和与内外角关系 PAGEREF _Tc25219 \h 3
\l "_Tc25528" 66.三角形的重要线段及其计算 PAGEREF _Tc25528 \h 3
\l "_Tc17598" 67.全等三角形的性质 PAGEREF _Tc17598 \h 3
\l "_Tc4975" 68.全等三角形的判定 PAGEREF _Tc4975 \h 3
\l "_Tc13058" 69.等腰三角形及其计算 PAGEREF _Tc13058 \h 3
\l "_Tc20103" 70.等边三角形及其计算 PAGEREF _Tc20103 \h 3
\l "_Tc30122" 71.角平分线及垂直平分线 PAGEREF _Tc30122 \h 3
\l "_Tc6620" 72.直角三角形及其计算 PAGEREF _Tc6620 \h 3
\l "_Tc3175" 73.平行线分线段成比例 PAGEREF _Tc3175 \h 3
\l "_Tc21393" 74.相似三角形的判定 PAGEREF _Tc21393 \h 3
\l "_Tc11553" 75.相似三角形的性质 PAGEREF _Tc11553 \h 3
\l "_Tc12541" 76.与相似有关的证明与计算 PAGEREF _Tc12541 \h 4
\l "_Tc23218" 77.锐角三角形的计算 PAGEREF _Tc23218 \h 4
\l "_Tc18662" 78.解直角三角形 PAGEREF _Tc18662 \h 4
\l "_Tc23228" 79.解直角三角形的实际应用 PAGEREF _Tc23228 \h 4
聚焦1 几何初步知识及相交线、平行线
考点一 直线、射线、线段
1．直线的基本性质
(1)两条直线相交，只有一个交点．(2)经过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线．
2．线段的性质
所有连接两点的线中，线段最短，即：两点之间线段最短．
3．把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点．
4．直线、射线、线段的区别与联系：
考点二 角的有关概念及性质
1．概念：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点是这个角的顶点．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的平分线．
2．角的单位与换算：1°＝60′，1′＝60″，1周角＝2平角＝4直角．
3．余角与补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．
4．对顶角：在两相交直线形成的四个角中，如果两个角有公共顶点，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角称为对顶角．
考点三 垂线的性质与判定
1．垂线及其性质：
垂线：两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线．
性质：(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．(简说成：垂线段最短)
2．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
3．判定：若两条直线相交且有一个角为直角，则这两条直线互相垂直．
考点四 平行线的性质与判定
1．概念：在同一平面内，不相交的两条直线，叫平行线．
2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
3．性质：如果两条直线平行，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
4．判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行，平行于同一直线的两直线平行．
聚焦2 三角形与全等三角形
考点一 三角形的概念及性质
1．概念：(1)由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．(2)三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．
2．性质：(1)三角形的内角和是180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．(2)三角形的任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边．
考点二 三角形中的重要线段
1．三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．特性：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心．
2．三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高．特性：三角形的三条高线相交于一点．
3．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．特性：三角形的三条中线交于一点．
4．三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半．
考点三 全等三角形的性质与判定
1．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等．
3．判定：(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)；(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)；(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)；(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．
考点四 定义、命题、定理、公理
1．定义：对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义．
2．命题：判断一件事情的语句．
(1)命题由题设和结论两部分组成．命题通常写成“如果…那么…”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论．
(2)命题的真假：正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．
(3)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有逆命题．
3．定理：经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都是真命题．所以不是所有的定理都有逆定理．
4．公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫公理．
考点五 证明
1．证明：从一个命题的条件出发，根据定义、公理及定理，经过逻辑推理，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫做证明．
2．证明的一般步骤：(1)审题，找出命题的题设和结论；(2)由题意画出图形，具有一般性；(3)用数学语言写出已知、求证；(4)分析证明的思路；(5)写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密．
3．反证法：先假设命题中结论的反面成立，推出与已知条件或是定义、定理等相矛盾，从而结论的反面不可能成立，借此证明原命题结论是成立的．这种证明的方法叫做反证法．
聚焦3 等腰三角形
考点一 等腰三角形
1．等腰三角形的有关概念及分类：有两边相等的三角形叫等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形．
2．等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；(3)等腰三角形是轴对称图形．
3．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)．
考点二 等边三角形的性质与判定
1．等边三角形的性质：(1)等边三角形的内角相等，且都等于60°；(2)等边三角形的三条边都相等．
2．等边三角形的判定：(1)三条边相等的三角形是等边三角形；(2)三个角相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
考点三 线段的垂直平分线
1．概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线．
2．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
3．判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．
考点四 角平分线的性质及判定
1．性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，角的平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合．
聚焦4 直角三角形
考点一 直角三角形的性质
1．直角三角形的两锐角互余．2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
考点二 直角三角形的判定
1．有一个角等于90°的三角形是直角三角形．2．有两角互余的三角形是直角三角形．
3．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形．
4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．
聚焦5 图形的相似
考点一 比例线段
1．比例线段的定义：
在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
2．比例线段的性质：
(1)基本性质：eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)ad＝bc；(2)合比性质：eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)eq \f(a＋b,b)＝eq \f(c＋d,d)；
(3)等比性质：若eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝…＝eq \f(m,n)(b＋d＋…＋n≠0)，那么eq \f(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n)＝eq \f(a,b).
3．*黄金分割：
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果eq \f(AC,AB)＝eq \f(BC,AC)，则线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
考点二 相似多边形
1．定义：
对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比，相似比为1的两个多边形全等．
2．性质：
(1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例；(2)相似多边形周长的比等于相似比；
(3)相似多边形面积的比等于相似比的平方．
考点三 相似三角形
1．定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．
2．判定：
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
(4)三边对应成比例，两三角形相似；(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
3．性质：
(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；
(3)相似三角形周长的比等于相似比；(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方
考点四 图形的位似
1．定义：如果两个图形仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形叫位似图形．这个点叫做位似中心，这时的相似比称为位似比．
2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
3．画位似图形的步骤
(1)确定位似中心点；(2)连接图形各顶点与位似中心的线段(或延长线)；
(3)按位似比进行取点；(4)顺次连接各点，所得的图形就是所求图形．
聚焦6 解直角三角形
考点一 锐角三角函数定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．
sin A=eq \f(∠A的对边,斜边)=eq \f(a,c)；cs A＝eq \f(∠A的邻边,斜边)＝eq \f(b,c)；tan A＝eq \f(∠A的对边,邻边)＝eq \f(a,b).
考点二 特殊角的三角函数值
考点三 解直角三角形
1．直角三角形的边角关系：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sin A＝eq \f(a,c)，cs A＝eq \f(b,c)，tan A＝eq \f(a,b)，sin B＝eq \f(b,c)，cs B＝eq \f(a,c)，tan B＝eq \f(b,a).
2．解直角三角形的几种类型及解法：
(1)已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，c＝eq \f(a,sin A)，b＝eq \f(a,tan A)(或b＝eq \r(c2－a2))；
(2)已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，a＝c·sin A，b＝c·cs A(或b＝eq \r(c2－a2))；
(3)已知两直角边a，b，其解法为：c＝eq \r(a2＋b2)，由tan A＝eq \f(a,b)，得∠A，∠B＝90°－∠A；
(4)已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法为：b＝eq \r(c2－a2)，由sin A＝eq \f(a,c)，求出∠A，∠B＝90°－∠A．
考点四 解直角三角形的应用
1．仰角与俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．
2．坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡．
59.直线与线段
（2020•凉山州）点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为
A．B．C．或D．或
（2019•瓯海区一模）已知线段，是线段的中点，是直线上一点，且，则
（2003•郴州）如图，已知是的中点，是的中点，若，则 ．
60.角的相关计算
（2019•重庆模拟）如图所示，已知，，则的度数为
A．B．C．D．
（2018•莲湖区模拟）如图，已知，平分，且，则
A．B．C．D．
（2019•广元一模）若一个角的补角是它的余角的5倍，则这个角的度数为 ．
61.垂线及其性质
（2022•信阳一模）如图，已知直线、、相交于点，，且，，则的度数为
A．B．C．D．
（2021•广州模拟）如图，，线段，线段，线段，则点到的距离为 ．
62.平行线的判定及其性质
（2021•渌口区模拟）如图，和相交于点，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
（2021•商河县校级模拟）如图所示，与不是同位角的是
A．B．C．D．
（2022•河南模拟）如图所示，直线、被、所截，下列条件中能说明的是
A．B．C．D．
（2021•靖西市模拟）如图，已知直线，被直线所截，下列条件不能判断的是
A．B．C．D．
（2022•河南一模）如图，已知，，，则等于
A．B．C．D．
（2022•郑州模拟）如图，将一张长方形纸带沿折叠，点、的对应点分别为、．若，用含的式子可以将表示为
A．B．C．D．
（2020•铜仁市）设，，是同一平面内三条互相平行的直线，已知与的距离是，与的距离是，则与的距离等于 ．
（2020•新昌县校级模拟）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容
已知：如图，．
求证：．
证明：延长交★于点．
则■（三角形的外角等于它不相邻的内角之和）．
又，得▲．
故●相等，两直线平行）．
则回答错误的是
A．★代表B．■代表C．▲代表D．●代表同位角
63.三角形的分类
64.三角形的三边关系
（2020•靖江市一模）设三边为、、，其中、满足，则第三边的取值范围 ．
65.三角形的内角和与内外角关系
（2021•广水市模拟）如图，在中，平分交于点，过点作交于点．若，，则的大小为
A．B．C．D．
（2021•南岗区校级模拟）如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，使得点落在边上的处，则的度数为
A．B．C．D．
（2021•商河县校级模拟）如图，，，，则的度数为
A．B．C．D．无法确定
（2021•河北）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少” 度．
66.三角形的重要线段及其计算
（2020•长安区二模）用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是
A．B．C．D．
（2021•栾川县三模）如图，点、在的两条边、上，平分，平分，连接，若，则的度数为
A．B．C．D．
67.全等三角形的性质
（2022•龙岗区模拟）如图，△，且点在边上，点恰好在的延长线上，下列结论错误的是
A．B．
C．D．平分
（2021秋•房县期末）如图，已知，，，，则的长为
A．4B．5C．6D．不确定
（2021秋•宜城市期末）如图，已知，，，，那么下列结论中正确的是
A．B．C．D．
（2021秋•澄城县期末）如图．点、在上，，，，则的长是
A．6B．5C．4D．3
（2021秋•民权县期末）如图，，且，，则的度数的值为
A．B．C．D．
68.全等三角形的判定
（2022•建湖县一模）如图，，．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．其中能证明的是 ．（只填序号）
（2021•襄阳模拟）如图，，．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．其中不能证明的是 （只填序号）．
69.等腰三角形及其计算
（2021•本溪）如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点，点为的中点，连接，若，则的周长为
A．B．C．D．4
（2021•陕西模拟）如图，中，，于点，于点，于点，，则的长为
A．3B．4C．5D．6
（2021•宜昌模拟）如图，以的顶点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接．若，，则的度数是
A．B．C．D．
（2021•昆山市模拟）如图，中，，、的角平分线相交于点．若，则等于
A．B．C．D．
（2021•牡丹江）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为 ．
（2021•平房区一模）如图，在中，，，垂足为点，延长至点，使，连接、，若，则的长为 ．
70.等边三角形及其计算
（2021•全椒县二模）如图，点，，分别在等边的三条边上，，，则的值为
A．B．C．D．
（2021•沂水县二模）如图，在中，，点为的中点，是上的一点，且．若，则的长是
A．B．4C．D．6
（2019•南开区三模）如图，在中，，，是内两点，平分，，若，，则 ．
71.角平分线及垂直平分线
（2020•张家口二模）如图，在中，，，按以下步骤作图：
①以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交、于点、；
②分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点；
③作射线，交边于点．
则的度数为
A．B．C．D．
（2021•商城县校级模拟）如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是
A．24B．32C．45D．56
72.直角三角形及其计算
（2021•田林县模拟）如图，在中，，，，以点为圆心，为半径画弧交于点，再以点为圆心，为半径画弧交于点，则的长等于
A．B．C．D．1
（2021•花都区一模）如图，在中，，是角平分线，是中线，则的长为
A．3B．4C．5D．6
（2021•柯城区三模）如图，在中，，，是的中点，且，则的度数是
A．B．C．D．
（2021•饶平县校级模拟）如图，在三角形中，，，三角形的周长是7，于，于，且点是的中点，则
A．B．C．D．7
（2021•安徽模拟）如图，是半圆上一点，是半圆的直径，，是垂足，，以、为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
（2021•鼓楼区二模）如图，，．若，，则的长为
A．B．2C．D．4
（2021•资阳）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点．若，，则的长为
A．B．C．D．
《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为
A．B．
C．D．
73.平行线分线段成比例
（2022•泉州模拟）如图，直线，直线分别交、、于点、、，直线分别交、、于点、、，若，，则等于
A．B．C．D．
（2021•沂水县二模）如图，在中，在边上，，是的中点，连接并延长交于，若，则
A．B．2C．3D．4
（2021•平南县三模）如图，在中，点在上，点是的中点，连接并延长交点，，则
A．B．C．D．
（2022•开福区校级模拟）如图，在平行四边形中，是边上的一点，交于，若，，则 ．
74.相似三角形的判定
（2022•南山区模拟）如图，在中，，，，所以长为
A．B．C．D．4
（2022•碑林区校级三模）如图，在中，点在边上，若，，且，则线段的长为
A．9B．6C．5D．4
75.相似三角形的性质
（2022•福州模拟）如图，点、分别在的边、上，且，，，，则的长是
A．2.4B．2.5C．3D．4.5
76.与相似有关的证明与计算
（2022•石家庄模拟）如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下处前进4米到达处时，测得影子长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达处，此时影子长为
A．1米B．2米C．3米D．4米
（2022•随州模拟）《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种．书中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点、点分别是正方形的边、的中点，，，过点，且步，步，则正方形的边长为
A．280步B．140步C．300步D．150步
77.锐角三角形的计算
（2021•揭西县模拟）中，，若，则的值是
A．B．3C．D．
（2022•泗阳县一模）在锐角中，，，，．则 ．
78.解直角三角形
（2022•安庆一模）如图，在中，，交于点，若，，则
A．6B．C．7D．
79.解直角三角形的实际应用
（2021•鄂州一模）如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形，，斜坡长为8米，坡角为，斜坡的坡角为，则斜坡的长为
A．6米B．米C．4米D．米
（2021•花都区一模）如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为
A．B．C．D．
（2022•广西模拟）如图，小文准备测量自己所住楼房与对面楼房的水平距离，他在对面楼房处放置一个3米长的标杆，然后他在处测得点的俯角为．再测得点的俯角为，则两座楼房之间的水平距离大约为多少米．（参考数据：，，
A．9B．9.25C．9.5D．9.75
有几个端点
向几个方向延伸
表示
图形
直线
0
2
两个大写字母或一个小写字母
____
射线
1
1
两个大写字母
线段
2
0
两个大写字母或一个小写字母
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