专题06“手拉手”模型解决全等问题-【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列（通用版 ）

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【经典剖析1】 （2021•鄂尔多斯）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．

（1）尝试解决：如图①，在等腰中，，，点是上的一点，，，将绕点旋转后得到，连接，则　　．
（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形中，，，于点，于点，点、分别是、上的点，且，求的周长．（结果用表示）
（3）拓展应用：如图③，已知四边形，，，，，，求四边形的面积．
【分析】（1）如图①，先根据等腰直角三角形得两锐角为，由旋转得，，由勾股定理可得的长，最后根据是等腰直角三角形可得结论；
（2）如图②，延长到，使，连接，证明和，根据等量代换可得的周长；
（3）如图③，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，连接，延长，作；易证是等边三角形，是等腰直角三角形，利用勾股定理计算，，根据面积差可得结论．
【解答】解：（1）如图①，

，，
，
由旋转得：，，，，
，是等腰直角三角形，
，
，
；
故答案为：；
（2）如图②，延长到，使，连接，

，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
的周长；
（3）如图③，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，

连接，延长，作于，
由旋转得：△，
，，，
，是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
设等边三角形的高为，
则勾股定理得：，
．
【点评】本题是四边形的综合题，主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等，四边形和三角形面积计算等知识，关键是利用旋转的性质作辅助线，构建全等三角形来解决问题．




























共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下：
（1）寻找公共的顶点
（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边
（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。

两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形
*常见结论：
连接BD、AE交于点F，连接CF，则有以下结论：
（1）
（2）
（3）
（4）














【专题说明】
两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。
【知识总结】

【基本模型】
一、等边三角形手拉手-出全等

图1 图2

图3 图4




二、等腰直角三角形手拉手-出全等
两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：
①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；

图1 图2

图3 图4












手拉手模型的定义：两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。

手拉手模型特点：“两等腰，共顶点”

模型探究：














手拉手模型的判断步骤：



左手拉左手，右手拉右手




































【例题1】 （2022•龙岗区模拟）如图，，均为等边三角形，边长分别为，，，，三点在同一条直线上，下列结论：①；②为等边三角形；③；④平分．其中正确的有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据等边三角形的性质得，，，，则，利用“”可判断，则，可判断①；
由等边三角形的判定得出是等边三角形，可判断②；
证明，求出长，可判断③；
证明、、、四点共圆，由圆周角定理得出，，得出，所以平分，可判断④．
【解答】解：，均为等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，故①正确；
，
在和中，
，
，
，
，
为等边三角形，故②正确；

，
、、、四点共圆，
，，
，
平分，故④正确；
过点作，则，
，
，
，
，，

，
，
．故③错误．
故选：．
【点评】本题考查全等三角形、相似三角形综合，熟练掌握全等三角形的手拉手模型是解题关键．
【例题2】 （2021秋•玉林期末）如图，，都是等边三角形，则的度数是　　

A． B． C． D．
【分析】利用手拉手模型旋转性全等，证明，可得，最后利用三角形的外角进行计算即可解答．
【解答】解：，都是等边三角形，
，，，，
，
，
，
，




，
的度数是，
故选：．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型旋转性全等是解题的关键．
【例题3】 （2021秋•宁津县期末）如图，点是轴上一个定点，点从原点出发沿轴的正方向移动，以线段为边在轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法错误的是　　

A．
B．
C．直线与轴所夹的锐角恒为
D．随点的移动，线段的值逐渐增大
【分析】根据等边三角形的性质，结合图形证明手拉手模型旋转型全等，即可判断，根据，可得，从而可得，即可判断，延长交轴于点，根据利用平角定义可求出，然后再利用三角形的外角求出，即可判断，根据，可得，根据的值是定值，即可判断．
【解答】解：．和都是等边三角形，
，，，
，
，
，
故不符合题意；
．，
，
，
故不符合题意；
．延长交轴于点，

，
，
，，
，
，
直线与轴所夹的锐角恒为，
故不符合题意；
．，
，
点是轴上一个定点，
的值是一个定值，
随点的移动，线段的值不变，
故符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键．
【例题4】 （2021秋•普陀区期末）如图，，，连结，分别以、为直角边作等腰和等腰，连结、，当最长时，的长为　　

A． B．3 C． D．
【分析】先证明和，再根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，结合三角形三边关系，得、、三点共线时，最大，画出图形，由勾股定理即可求得．
【解答】解：，
，即，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
当点在上时，最大，最大值为，
如图，过作于，
由等腰三角形“三线合一”得，
，
再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得，
．
故选：．


【点评】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系、勾股定理，证明以及由三角形三边关系得、、三点共线时，最大是解题的关键．
【例题5】 （2021秋•海口期末）如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一点，若，，则的长为　　

A．12 B．13 C．12 D．25
【分析】由“”可证，由全等三角形的性质可得，，由勾股定理可求的长．
【解答】解：和都是等腰直角三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证明是本题的关键．
【例题6】 （2021秋•唐县期末）风筝为中国人发明，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图，小飞在设计的“风筝”图案中，已知，，，那么与相等．小飞直接证明，他的证明依据是　　

A． B． C． D．
【分析】根据已知，证出即可解答．
【解答】证明：，
，
，
，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键．
【例题7】 （2021秋•洪山区期末）如图，等腰中，，，点为直线上一动点，以线段为腰在右侧作等腰，且，连接，则的最小值为　　

A． B．4 C．6 D．8
【分析】连接并延长交延长线于，利用证明，得，由为定直线，为定值，则时，最小，从而解决问题．
【解答】解：连接并延长交延长线于，

，，
，
，
，
，，
，
，
为定直线，为定值，
当在直线上运动时，也在定直线上运动，
当时，最小，
，
，
当与重合时，最小，在中，，，
，
，
的最小值为，
故选：．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，求出点的运动路径是解题的关键．
【例题8】 （2021秋•钢城区期末）如图，中，，，若将绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，可得点在过点且垂直的直线上运动，则当时，的值最小，即的值最小，即可求解．
【解答】解：如图，连接，

在中，，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
点在过点且垂直的直线上运动，
当时，的值最小，即的值最小，
，，
，
，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键．
【例题9】 （2021秋•长兴县期中）如图，已知，，添加一个条件可以使，小明给出了以下几个：①；②；③．其中正确的条件有　　个．

A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】要使，已知，，，具备了两边对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法进行解答即可．
【解答】解：添加，利用得到；
添加，利用得到；
故选：．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．添加时注意：、不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．注意本题答案不唯一．
【例题10】 （2021•覃塘区模拟）如图，线段绕点旋转，线段的位置保持不变，在的上方作等边，若，，则在线段旋转过程中，线段的最大值是　　

A． B．4 C． D．5
【分析】由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解．
【解答】解：如图，以为边，在的左侧作等边，连接，

，是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
当点在的延长线上时，的最大值，
的最大值为4，
故选：．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【例题11】 （2021秋•滨湖区期末）如图，在中，，．是边上一动点，连接，以为直角边在左侧作等腰直角，且，连接，则长度的最小值为 　　；面积的最大值为 　　．

【分析】要求最小值，只需求出的最小值，过点作于点，根据垂线短最短即可得出即为的最小值，然后用勾股定理求出的最小值；利用手拉手全等模型可得，从而得，设，则，从而表示出面积，利用二次函数最大值即可求解．
【解答】解：是等腰直角三角形，
，
取得最小值时，取得最小值，
如图，过点作于点，此时即为的最小值，

，，
，，
的最小值为1，
的最小值为．
，
，
在和中，
，
，
，，
，
设，则，，

，
当时，的最大值为，
故答案为，．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、垂线段最短、全等三角形，二次函数性质，其中判断出手拉手模型得全等是解题关键．
【例题12】 （2021秋•咸安区期末）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在的上方分别作和，且，，，、交于点．有下列结论：①；②；③当时，；④平分．其中正确的是 　①②③④　．（把你认为正确结论的序号都填上）

【分析】由“”可证，可得，可判断①；由，可得，由，可得，利用三角形内角和定理即可判断②；由，，，可得：，进而得出，再运用等腰三角形性质即可判断③；由全等三角形的性质可得，由三角形的面积公式可求，由角平分线的性质可得平分，可判断④，即可求解．
【解答】解：，
，即，
在和中，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
，，，
，
，
，
，
，故③正确；
如图，连接，过点作于，于，

，
，，
，
，
，，
平分，故④正确，
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了全等三角形的性质定理和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积，角平分线的判定等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解此题的关键．
【例题13】 （2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在中，，，，点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值 　3　．

【分析】延长到点，使，可得是等边三角形，利用证明，得，当时，最小，从而解决问题．
【解答】解：延长到点，使，

，，
垂直平分，，
，
是等边三角形，
，
线段绕点顺时针旋转，得到线段，
，，
，
，
，
当时，最小，
，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形找出点的运动路径是解题的关键．
【例题14】 （2021秋•樊城区期末）如图，在中，，点为中点，点在边上，连接，过点作的垂线，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 　①③④　（填序号）．

【分析】①由“”可证，可得，，由等腰直角三角形的性质可判断①，③，由三角形的三边关系可判断②，由三角形面积关系可判断④．
【解答】解：，，点为中点，
，，，，
，
，
，
，，
，故①正确；
当、分别为、中点时，
，故②不一定正确；
，
，
，
，故③正确；
，
，
，故④正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
【例题15】 （2021秋•包河区期末）如图，，点为的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①；②；③四边形的面积保持不变；④的周长保持不变．其中说法正确的是 　①②③　（填序号）．

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，想到过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明，，即可解答．
【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

，，
，
，
，
，
，
，
平分，，，
，
，
，
，，
故①正确；
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
故②正确；
，
四边形的面积四边形的面积，
四边形的面积保持不变，
故③正确；
，，
是等边三角形，
的长度是变化的，
的周长是变化的，
故④错误；
所以，说法正确的是：①②③，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键．
【例题16】 （2021秋•宣化区期末）已知：如图，在和中，，，，连接，，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是 　①③④　．（只填序号）

【分析】①由，，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到；
②由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到；
③根据周角的定义即可判断；
④由得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到垂直于；
【解答】解：①，
，即，
在和中，
，
，
，故①正确；
②为等腰直角三角形，
，
，
，
，故②错误；
③，
，故③正确；
④，
，
，
，
，
则，故④正确；
综上所述，正确的结论有3个．
故答案为：①③④．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
【例题17】 （2021秋•丹江口市期末）如图，是等边三角形，直线于点，点在直线上一动点，以为边向右作等边三角形，连结，已知，则的最小值是 　6　．

【分析】连接，由等边三角形的性质得出，，，证明，由全等三角形的性质得出，过点作于点，由直角三角形的性质求出的值，则可得出答案．
【解答】解：连接，

和都是等边三角形，
，，，
，
，
，
过点作于点，
点在直线上一动点，
点与点重合时，有最小值，
，
，
，
，
的最小值为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段的性质，证明是解题的关键．
【例题18】 （2021秋•青羊区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，，点是轴正半轴上一动点，以为边在的下方作等边，点在轴上运动时，的最小值为 　　．

【分析】以为对称轴作等边，连接，并延长交轴于点．由“”可证，可得，进而可得点在直线上运动，根据垂线段最短可得出答案．
【解答】解：如图，以为对称轴作等边，连接，并延长交轴于点，

，
，
，
和是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
点在直线上运动，
当时，最小，
，
则的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
【例题19】 （2021春•曾都区校级月考）如图，在矩形中，，，点，分别在，上．若，，则的长是 　7.2　．

【分析】在，上分别截取，连接，交于点，延长到点，使，连接，先证明手拉手模型旋转型全等，从而可得，，然后再利用正方形中的半角模型证明，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出，最后利用字模型相似三角形证明，利用相似三角形是性质进行计算即可解答．
【解答】解：在，上分别截取，连接，交于点，延长到点，使，连接，

四边形是矩形，
，，，，
，
，
四边形的平行四边形，
，，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，，
，，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：7.2．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，熟练掌握正方形中的半角模型，字模型相似三角形是解题的关键．
【例题20】 （2021•下陆区校级模拟）如图，在正方形中，是对角线上一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，，．
下列结论：①若，则，②；③若，则；④若，，则．
其中正确的结论有 　①②④　（填正确的序号）

【分析】先利用正方形的性质证明，利用旋转可得是等腰直角三角形，从而证明，
进而得是直角三角形，再利用三角形的外角求出的度数，即可判断①若，则，根据是等腰直角三角形可得，再在利用勾股定理即可判断②，若，可得，然后在中可得，即可判断③若，则，要判断的值，想到把放在直角三角形中，所以过点作，垂足为，可得是等腰直角三角形，，求出进行计算即可判断④若，，则．
【解答】解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
由旋转得：，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，
若，
，
，，
，

，
故①正确；
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
，
故②正确；
若，
，
在中，，
，
故③正确；
过点作，垂足为，

，，
，
在中，，
故④正确；
正确的结论有：①②④，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，旋转的性质，熟练掌握正方形的性质，手拉手模型的全等三角形，是解题的关键．
【例题21】 （2021秋•冷水滩区月考）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连结．以下结论正确的是 　①②③⑤　．
①；②；③；④；⑤

【分析】根据题目的已知，利用易证⑤，可得，从而可得①，然后再利用证明，可得②，，从而可知是等边三角形，进而证明③，要证明④，只要证明即可．
【解答】解：和是等边三角形，
，，，
，
，
，
故⑤正确；
，
，
，
，
故①正确；
，
，
，
，
，，
故②正确；
，，
是等边三角形，
，
，
，
故③正确；
，
，
，
故④不正确；
所以，以上结论正确的是：①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型的全等是解题的关键．
【例题22】 （2021秋•东城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，半径为1的半圆上有一动点，点，为等腰直角三角形，为直角顶点，且在第一象限，则线段长度的最大值为 　　．

【分析】根据为等腰直角三角形，为直角顶点，所以想到在点处构造手拉手模型的全等，过点作，并截取，连接，，，可得，然后利用三角形的三边关系即可解答．
【解答】解：过点作，并截取，连接，，，

为等腰直角三角形，为直角顶点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当，，三点在同一条直线上时，的最大值为，
的最大值为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，坐标与图形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，点和圆的位置关系，根据为等腰直角三角形，为直角顶点，在点处构造手拉手模型的全等是解题的关键．
【例题23】 （2020秋•张店区期末）如图，，，，连接、，射线交于点，则　50　度．

【分析】利用证明，得，再利用三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】解：设与交于，

，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：50．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键．
【例题24】 （2021秋•顺城区月考）如图，边长为4的等边三角形中，是对称轴上的一个动点，连接将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，的最小值是 　1　．

【分析】取的中点，则，利用证明，得，则点在直线上运动，根据垂线段最短从而解决问题．
【解答】解：取的中点，则，

将线段绕点顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
点在直线上运动，
作时，此时的最小值即为，
，
，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，确定点的运动路径是解题的关键．
【例题25】 （2021秋•宝山区校级月考）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，下列结论：①；②；③；④点运动的路程是，其中正确结论的序号为 　①②③④　．

【分析】①根据，，得出为等边三角形，再由为等边三角形，得，再证明，即可得出结论①正确；
②如图，连接，利用证明，再证明，即可得出结论②正确；
③通过等量代换即可得出结论③正确；
④如图，延长至，使，连接，通过，，可分析得出点在线段上从点至点运动时，点从点沿线段运动到，从而得出结论④正确；
【解答】解：①，，
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
故结论①正确；
②如图，连接，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
故结论②正确；
③，
，即，
故结论③正确；
④如图，延长至，使，连接，
，，
点在线段上从点至点运动时，点从点沿线段运动到，
，
点运动的路程是2 ，
故结论④正确；
故答案为：①②③④．


【点评】本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，点的运动轨迹等，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识是解题关键．













【变式1】 （2021秋•中山区期末）已知点是外一点，连接，，，．
（1）【特例体验】
如图1，，，则的度数为 　　；
（2）【类比探究】
如图2，，求证：；
（3）【拓展迁移】
如图3，，，于点，，直接写出的值（用的代数式表示）．

【分析】（1）在上取点，使，证明，由全等三角形的性质得出，，由等边三角形的性质可得出答案；
（2）在的延长线上取一点，使，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（3）延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，设，则，证出为等边三角形，由等边三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】（1）解：在上取点，使，

，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，，
，
是等边三角形，
．
故答案为：；
（2）证明：在的延长线上取一点，使，

，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：延长至，使，连接，

，，
，
，，
，
，
，
，，
，
设，则，
，
，
，
又，
为等边三角形，
，
．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，作辅助线构造出全等三角形以及等边三角形是解题的关键．
【变式2】 （2021秋•长清区期末）【问题背景】
（1）如图1，等腰中，，，于点，则　　；

【知识应用】
（2）如图2，和都是等腰三角形，，、、三点在同一条直线上，连接．求证：．
（3）请写出线段，，之间的等量关系，并说明理由．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到，，根据直角三角形的性质得到，再根据勾股定理计算，得到答案；
（2）根据题意得到，利用定理证明；
（3）根据全等三角形的性质得到，根据（1）中结论解答即可．
【解答】（1）解：，，，
，，
，
由勾股定理得：，
，
，
故答案为：；
（2）证明：，
，即，
在和中，
，
；
（3）解：，
理由如下：由（1）可知：，
，
，
．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，利用定理证明是解题的关键．
【变式3】 （2021秋•定海区期末）（1）如图1，在中，，是直线上的一点，将线段绕点逆时针旋转至，连接，求证：；
（2）如图2，是内一点，，，，线段绕点逆时针旋转至，点、、恰好共线，求的面积；
（3）如图3，在图1的条件下，延长，交于点，交于点，求证：．


【分析】（1）如图1，根据证明三角形全等即可．
（2）过点作交于，连接．利用全等三角形的性质证明，即可．
（3）过点作交的延长线于．证明，推出，再证明即可．
【解答】（1）证明：如图1，

，
，
在和中，
，
．
（2）解：如图2，过点作交于，连接．

，，
与都是等腰直角三角形，
同法可证，
，
，
，
．

（3）证明：如图3，过点作交的延长线于．

，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，即．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
【变式4】 （2021秋•天津期末）如图，已知是等边三角形，点是边上的中点，点在线段上，连接，以为边作等边三角形，连接．
（1）求证：；
（2）若，求与的大小；
（3）若，连接，当点在直线上移动时，请直接写出的最小值．

【分析】（1）证出，根据可证明；
（2）由等腰三角形的性质得出，由全等三角形的性质得出，，则可求出答案；
（3）由等腰三角形的性质得出，当时，的值最小，由直角三角形的性质可求出答案．
【解答】（1）证明：是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
即，
，
在和中，
，
；
（2）解：是的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即，；
（3）解：如图，

是的中点，
，
由（2）可知，
点在射线上运动，
当时，的值最小，
．
即的最小值为4．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，证明是解题的关键．
【变式5】 （2021秋•常宁市期末）已知：和都是等腰直角三角形，．
【初步探索】
（1）如图1，摆放和时（点、、在同一条直线上，点在上），连接、，线段与的数量关系是 　　，位置关系是 　　．（直接写出答案）
【拓展延伸】
（2）如图2，摆放和时，连接、，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【知识应用】
（3）如图3，摆放两块等腰直角三角板和，连接、．若有，试求的度数．


【分析】（1）延长交于，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据垂直的定义求出；
（2）延长交于，交于，证明，根据全等三角形的性质得到，，仿照（1）的方法证明结论；
（3）连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理的逆定理得出，结合图形得出结论．
【解答】解：（1）如图1，延长交于，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）（1）中的结论仍然成立，，，
理由如下：如图2，延长交于，交于，
，
，即，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
；
（3）如图3，连接，
，
，即，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
．



【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式6】 （2021秋•嵊州市期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，，以为边在轴的右侧作正三角形．轴，垂足为．
（1）如图1，求点的坐标．
（2）点在线段上，点是直线上一动点，连结、以为边作正三角形（点，，按逆时针排列）．
①如图2，当点与点重合时，连结，．若，求点的坐标．
②若，点是直线与直线的交点，当时，直接写出点的坐标．

【分析】（1）由点的坐标为，，是正三角形，且轴，可得是边的中线，则，，在中，由勾股定理可得，，所以，．
（2）①由手拉手模型可得，，所以，因为，所以，则，；
②根据题意，需要分两种情况，当点在轴上方时，当点在轴下方时，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，易证，所以，则，，由点的平移可得点的坐标．
【解答】解：（1）点的坐标为，，是正三角形，且轴，
是边的中线，
，，
在中，，，
由勾股定理可得，，
，．
（2）①，，
和是正三角形，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，；
②当点在轴下方时，如图，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，
则，

在中，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，；
当点在轴上方时，如图，连接，过点作于点，

同上可知，△，
，
，，
，，
，；
综上可知，点的坐标为，或，．
【点评】本题属于三角形综合题，涉及手拉手全等三角形模型，等边三角形的性质等知识，由得出三角形全等，转化线段长是解题关键．
【变式7】 （2022•南平模拟）如图，是的直径，，点是半圆上一动点，且与点分别在的两侧．

（1）如图1，若，，求的长；
（2）求证：．
【分析】（1）连接并延长交于点，连接，利用直径所对的圆周角是直角求出，从而可得，再根据已知，求出，进而求出，最后在中，利用锐角三角函数求出长即可；
（2）过点作，交的延长线于点，利用手拉手模型旋转性全等，证明，从而可得，，进而得到是等腰直角三角形，即可解答．
【解答】（1）解：连接并延长交于点，连接，

是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
；
（2）证明：过点作，交的延长线于点，

，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【变式8】 （2021秋•大连期末）在中，，点是直线上一动点（不与、重合），将线段绕点逆时针旋转的度数，得到线段，连接，设，．

（1）如图1，当点在线段上时，用等式表示与之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，当点在线段延长线上时，补全图形，用等式表示与之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）先利用边角边定理证明与全等，证出，所以，再根据三角形内角和定理即可得到；
（2）方法同（1）证出，所以，所以．
【解答】解：（1）．
证明：，
．
即．
又，，
．
．
．
．
，
．

（2）当点在线段延长线上时，．

其理由如下：
类似（1）可证，
，
又由三角形外角性质有，
而，
．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及全等的判定与性质，注意题中各角度之间的关系并灵活运用是解题的关键．
【变式9】 （2021秋•西峡县期末）（1）观察发现：如图1，分别以三边为直角边向的同侧作等腰直角三角形：、、．连结、，与的交点为．
①证明：；
②直接写出、、之间的关系．
（2）拓展运用：已知：如图2，在中，，上的高等于2．将线段绕点顺时针旋转得到线段，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结，求四边形的面积．

【分析】（1）①延长，交于，利用证明，得，，则，再证明，，利用即可证明；
②由①知，，，得；
（2）以为边作等腰直角三角形，连接，，，，根据旋转的性质得，是等腰直角三角形，由①同理得，，，则．
【解答】（1）①证明：延长，交于，

和是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，，
；
②解：由①知，，，
；
（2）解：以为边作等腰直角三角形，连接，，，，

线段绕点顺时针旋转得到线段，将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，是等腰直角三角形，
由①同理得，，，
，
四边形的面积为40．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，图形面积之间的关系，运用前面探索的结论解决新问题是解题的关键．
【变式10】 （2021秋•洛江区期末）如图，和都是等腰直角三角形，．，，将绕着顶点旋转，连接，．
（1）求证：；
（2）在的旋转过程中，探求：点，，在同一直线上时，的长．

【分析】（1）由“”可证；
（2）分两种情况讨论，由勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：和都是等腰直角三角形，
，，，
，
在和中，
，
；
（2）如图2，

和都是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，，
，
在中，，
，
（负值舍去），
；
如图3，

同理可得：，
，
（负值舍去），
；
综上所述：或39．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【变式11】 （2021秋•大连期末）阅读下面材料．
小明遇到这样一个问题：如图1，是等边三角形，点在外，，连接．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
小明经过思考，发现解决问题的方法：如图2，延长至，使，连接．证是等边三角形，，问题得到解决．

（1）填空：线段，，之间的数量关系为 　　；
（2）用学过的知识或参考小明的方法解决下面的问题：
①如图3，中，，，点是外一点，，连接．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
②如图4，是等边三角形，点在内，，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，连接．直接写出的值．
【分析】（1）延长至，使，连接．证是等边三角形，再利用证明，从而解决问题；
（2）延长，作交的延长线于，得是等腰直角三角形，得，由（1）同理可得，，从而得出答案；
（3）连接，将△绕点逆时针旋转得，作，交的延长线于，作于，可得是等腰直角三角形，设，则，，，利用勾股定理表示出的长，即可得出答案．
【解答】解：（1）延长至，使，连接．
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），理由如下：
延长，作交的延长线于，

，
，
是等腰直角三角形，
，
由（1）同理可得，，
；
（3）连接，将△绕点逆时针旋转得，作，交的延长线于，作于，

，
，
，
是的垂直平分线，
，，
设，则，，
，
，，
，
，
，
，
在中，，
，，
．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握基本几何模型，构造全等三角形是解题的关键．
【变式12】 （2021秋•东阳市期末）以的，为边作和，且，，．与相交于，连结，如图①所示．
（1）求证：；
（2）判断与的大小，并说明理由．
（3）在上取点，使，如图②，请直接写出与的数量关系．


【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出；
（2）过点作于点，于点，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（3）证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论．
【解答】（1）证明：，
，
，
又，，
，
；
（2）解：，理由如下：
过点作于点，于点，

，
，
又，
，
，
，，
；
（3）解：，
，，
又，
，
，，
．
又，
．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
【变式13】 （2021秋•建昌县期末）如图①，在中，，，点，分别在边，上，且．则．现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为．如图②，连接，．
（1）如图②，请直接写出与的数量关系．
（2）将旋转至如图③所示位置时，请判断与的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）在旋转的过程中，当的面积最大时，　　．（直接写出答案即可）

【分析】（1）利用证明，可得结论；
（2）设与的交点为，同理利用证明，得，，则；
（3）根据边的长是定值，则边上的高最大时，的面积最大，则当点在线段的垂直平分线上时，的面积最大，画出图形即可解决问题．
【解答】解：（1），理由如下：
，，
，
在与中，
，
，
；
（2），，
理由如下：设与的交点为，

，，
，
在与中，
，
，
，，
，
，；
（3）在中，边的长是定值，则边上的高最大时，的面积最大，
当点在线段的垂直平分线上时，的面积最大，如图所示，

，，于，
，
，
即当的面积最大时，旋转角，
故答案为：．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识，证明是解题的关键．
【变式14】 （2021秋•兴化市期末）如图1，与是共顶点的两个等腰三角形，其中，，，连接、．
（1）求证：；
（2）如图2，固定，将绕点旋转，若，，，当点旋转到线段上时，求的长；
（3）如图3，设为、的交点，、分别为、的中点，，，试探究与的数量关系，并说明理由．


【分析】（1）由等腰三角形的性质可知，，，再利用可证明，得；
（2）过点作于，连接，根据，，得，可知点在或上，利用勾股定理解决问题；
（3）连接，由（1）同理知，，得，，再利用证明，得，，从而解决问题．
【解答】（1）证明：，，，
，
，，，
，
；
（2）解：如图，过点作于，连接，

由（1）同理知，，
，
，，
，
当点在上时，
在中，，
，
，，
为的中点，
，
，
，
，
，
当点在上时，同理可知，
综上所述：或17；
（3）解：，理由如下：
如图，连接，

由（1）同理知，，
，，
，分别为，的中点，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，，，
．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟悉基本模型证明是解题的关键．
【变式15】 （2021秋•松滋市期末）如图，点、，且、满足．
（1）如图1，求的面积；
（2）如图2，若为的中点，点，分别是，边上的动点，点从顶点出发向运动，点从顶点向点运动，且他们的速度都是1个单位长度秒，在点和点的运动过程中，探究线段和之间的位置和数量关系；
（3）若为线段上异于、的任意一点，过点作垂直于直线于点，并延长交轴于点，为轴上一点，且与不平行）．
①如图3，在线段上，求证：；
②设，，请直接写出与的数量关系式．


【分析】（1）利用非负数的性质可求得：、，再运用三角形面积公式即可求得答案；
（2）如图2，连接，运用等腰直角三角形性质和题意可证得，运用全等三角形性质即可得出答案；
（3）①如图3，过点作交的延长线于点，先证得，再证得，即可得出答案；
②如图3，设，，则，利用，即可得出；如图4，过点作交的延长线于点，先证得，再证得，得出，设，，则，由，即可得出．
【解答】解：（1），
，，
解得：，，
、，
，
如图1，，
；
（2）如图2，连接，
，，为的中点，
，，，
点从顶点出发向运动，点从顶点向点运动，且他们的速度都是1个单位长度秒，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
综上所述，，；
（3）①如图3，过点作交的延长线于点，
则，
于点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
；
②如图3，设，，则，
，
，
，
如图4，过点作交的延长线于点，
则，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，，则，
，
，
，
综上所述，与的数量关系式为．




【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，非负数的性质，等腰直角三角形性质等，解题关键是正确添加辅助线构造全等三角形．
【变式16】 （2021秋•宜宾期末）（1）如（图一），分别以的两边、为直角边向外作两个等腰直角三角形，，，，连接、交于点．
①求证：；
②当和满足什么数量关系时，点是的中点，并说明理由；
（2）运用（1）解答中获取的经验，解决问题：
如（图二），为了测量一狭长水库两端、的距离，小王在水库旁边的空地上选择点，能直达点和点，并以为斜边在内作，且，连接：测得，千米，千米，请根据测量结果直接写出之长（结果保留根号）．


【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质得出；
②与交于点，由全等三角形的性质得出，证出，由等腰三角形的性质可得出结论；
（2）过点作，，连接，，证明为等边三角形，得出，则可得出答案．
【解答】（1）①证明：和是等腰直角三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
；
②解：当时，点是的中点．
理由：如图，与交于点，

，
，
，
，
，
，，
，
为的中点；
（2）解：过点作，，连接，，
，
由（1）知，
，
为等腰直角三角形，千米，
千米，，
千米，
，
，
，
为等边三角形，
千米，
千米．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式17】 （2021秋•淮安期末）如图1，，，．
（1）、相交于点．
①求证：；
②用含的式子表示的度数；
（2）如图2，点、分别是、的中点，连接、，判断的形状，并加以证明；
（3）如图3，在中，，，，以为直角边，为直角顶点作等腰，则　5　（直接写出结果）．


【分析】（1）①由“”可证，可得；
②由三角形内角和定理可求解；
（2）由“”可证，可得，可得结论；

（3）将绕着点逆时针旋转得到，连接，，根据旋转的性质得到，，，可得出是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）①证明：如图1，，
，
在和中，
，
，
；
②解：如图1，，
，
，
，
；
（2）为等腰三角形，理由如下：
如图2，由（1）可得，，
，的中点分别为点、，
，
，
，
在和中，
，
，
，
为等腰三角形．

（3）将绕着点逆时针旋转得到，连接，，
则，，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
．
故答案为：5．



【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理等，运用旋转的性质构造全等三角形是解题的关键．
【变式18】 （2021秋•路北区期末）已知点在轴正半轴上，以为边作等边，，其中是方程的解．
（1）点的坐标为 　　；
（2）如图1，点在轴正半轴上，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点，求的度数；
（3）如图2，点为轴正半轴上一动点，点在点的右边，连接，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点，当点运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围．

【分析】（1）解分式方程可得：，即可得出；
（2）由等边三角形性质，利用证明，运用全等三角形性质即可求得答案；
（3）先证明，得出：，，进而得出，故的值是定值．
【解答】解：（1），
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
故答案为：；
（2）如图1，，是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（3）的值是定值，理由如下：
，是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
的值是定值．


【点评】本题是三角形综合题，考查了分式方程的解法，等边三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
【变式19】 （2021秋•全椒县期末）在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
（1）如图1，当点在线段上时，，
①求证：；
②　　；
（2）设，，
①如图2，当点在线段上移动，求证；
②当点在射线的反向延长线上移动，则、之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

【分析】（1）①利用证明，即可证明结论；
②由①知，得，则；
（2）①利用证明，得，从而；
②由①同理得，，得，从而得出，即可得出答案．
【解答】（1）①证明：，，，
，
在与中，
，
，
；
②由①知，
，
，
又，
，
故答案为：；
（2）①证明：，，，
，
在与中，
，
，
，
，
，
；
②．理由如下：如图，由①同理得，，

，
，
，
即．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键．
【变式20】 （2021秋•莱芜区期末）（1）如图1，和都是等腰直角三角形，直角顶点为点，固定不动，可以绕着点旋转．
①如图2，将绕点旋转，使点落在边上，连接．
直接写出图中的全等三角形：　　；直接写出线段，，之间满足的等量关系为：　　；
②如图2，试探索线段，，之间满足的等量关系，并完整地证明你的结论；
（2）如图3，是等腰直角内一点，，连接，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接．已知，，若，求的长．


【分析】（1）①根据可证，得出，即可得出；
②同理证，得出，即，根据勾股定理即可得出，进而得出；
（2）由旋转知，得出是等腰直角三角形，推出，即可得出．
【解答】解：（1）①，，
，
在和中：
，
，
，
，
，
故答案为：，；
②；证明如下：
同理①可证，
，
即，
，
在中，，
；
（2）由旋转知，
，，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查几何变换的综合题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．
【变式21】 （2021秋•丰台区期末）在中，，，点是直线上一点，点关于射线的对称点为点．作直线交射线于点．连接．
（1）如图1，点在线段上，补全图形，求的大小（用含的代数式表示）；
（2）如果，
①如图2，当点在线段上时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
②如图3，当点在线段的延长线上时，直接写出线段、、之间的数量关系．

【分析】（1）由题意画出图形，由轴对称的性质得出，，，设，则，由等腰三角形的性质可得出结论；
（2）①延长至点，使，连接，证出为等边三角形，由等边三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
②在上取点，使得，连接，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
【解答】解：（1）补全图形如下，

连接，
点为点关于的对称点，
，，，
设，
，
，
．
，
，
，
，
；
（2）①．
延长至点，使，连接，

，
，
为等边三角形，，
由（1）知，
为等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
②结论为：．连接．
点为点关于的对称点，
，，，
设，
，
，
．
，
，
，
，
，
在上取点，使得，连接，

为等边三角形，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了作图轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【变式22】 （2021秋•天桥区期末）已知和都是等腰三角形，且，，．
（1）初步感知如图①，当点、分别落在边、上时，那么　　．（填、或
（2）发现证明如图②，将图①中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：；
（3）深入研究如图③，如果和都是等边三角形，且点、、在同一条直线上，则的度数为 　　；线段、之间的数量关系为 　　；
（4）拓展应用如图④，如果和都是等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，作，若，，求的长．


【分析】（1）结合图形解答即可；
（2）证明，根据全等三角形的性质证明结论；
（3）根据等边三角形的性质得到，进而得到，证明，根据全等三角形的性质解答即可；
（4）证明，得到，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】（1）解：，，
，
，
故答案为：；
（2）证明：，
，即，
在和中，
，
，
；
（3）解：为的等边三角形，
，
，
同（2）可得：，
，，
，
故答案为：；；
（4）解：，
，即，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
在中，，即，
解得：（负值舍去）．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式23】 （2021秋•侯马市期末）综合与实践：在数学课上，老师让同学们以两个大小不等的等腰直角三角形为主题，探究线段间的关系．
问题情境：如图①，和是等腰直角三角形，，点在边上，连接，点是的中点，连接，，．
探究发现：①请判断的形状，并说明理由；
②如图②，将绕点逆时针旋转时，请证明①中的结论仍然成立；
实践探究：（2）如图③，在（1）的条件下将绕点逆时针旋转时，在不添加字母的情况下（可以连线），你还能发现哪条线段与线段的长度相等．（至少写出一条）


【分析】探究发现：①是等腰直角三角形；先证明，再证明，即是等腰直角三角形；
②证明：如图，延长交于点，证明，得，，再证．得是等腰直角三角形；
实践探索：延长交于点，连接，，先证明，再证明，得，，，即可求解．
【解答】解：探究发现：①是等腰直角三角形；
证明：是直角三角形，点是的中点，
，
是直角三角形，点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
根据四边形内角和可得：，
即是等腰直角三角形；
②证明：如图，延长交于点，
点落在上，，
，
，，
点是的中点，
，
在和中，
，，，
，
，，
又，，
，
又，，
．
是等腰直角三角形；
实践探索：①；②；
延长交于点，连接，，
将绕点逆时针旋转，得，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
又，
，
中，是的中点，
，
与相等的线段有，．


【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键是构造手拉手模型证明全等．
【变式24】 （2021秋•沙坪坝区期末）在等腰中，，点为边上一点，连结．
（1）如图1，若，，求线段的长度；
（2）如图2，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结、，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结，线段、交于点，连结，猜想线段、、的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结，直接写出的最小值．

【分析】（1）作于，则解和，即可解决问题；
（2）首先利用证明，得，作，交于，再利用证明，得，，从而得出结论；
（3）以为边作等边三角形，连接，，利用证明，则，可知点在射线上运动，从而解决问题．
【解答】解：（1）作于，

是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（2），
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
作，交于，

，
，
，
，
又，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
；
（3）如图，以为边作等边三角形，连接，，

和是等边三角形，
，，，
，
，
，
点在射线上运动，
作，交的延长线于，
当点与重合时，最小，
的最小值值为．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题的关键．
【变式25】 （2021秋•九龙坡区期末）在等边中，为延长线上一点，为上一点，过作，连接，，且．
（1）如图1，若，，求的长．
（2）如图2，若为延长线上一点，试探究、、的关系，并说明理由．
（3）如图3，若为延长线上一点，且，请直接写出的值．

【分析】（1）在的延长线上取点，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案；
（2）在的延长线上取点，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（3）在上取点，使，连接，同理可知，得出，设，，，求出，则可得出答案．
【解答】解：（1）在的延长线上取点，使，连接，

三角形是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
（2）．
理由：在的延长线上取点，使，连接，

，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）在上取点，使，连接，

同理可证，
，
设，，，
，
，
，
．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式26】 （2021秋•合川区期末）与均为等腰直角三角形，．
（1）如图1，当，，在同一直线时，的延长线与交于点．求证：；
（2）当与的位置如图2时，的延长线与交于点，猜想的大小并证明你的结论；
（3）如图3，当，，在同一直线时，在点的异侧），与交于点，，求证：．


【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，由对顶角的性质可得出答结论；
（2）同理可证，得出，则可得出结论；
（3）过点作于点，同（2）可知，证出，证明，由全等三角形的性质得出，则得出结论．
【解答】（1）证明：和是等腰直角三角形，
，，，
在和中，
，
，
，
，
又，
．
（2）解：．
理由如下：
同理可证，
，
．
（3）过点作于点，同（2）可知，

，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
【变式27】 （2021秋•正定县期末）如图：已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，使，，连接．
发现问题：
如图1，当点在边上时，
（1）请写出和之间的位置关系为 　　，并猜想和、之间的数量关系：　　．
（2）如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系；和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
（3）如图3，当点在边的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段的长．

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，，得到答案；
（2）证明，得到，，结合图形解答即可；
（3）证明，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：（1），，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，，
，，
，
故答案为：；；
（2）成立，数量关系不成立，关系为．
理由如下：如图2，，
，即，
在和中，
，
，
，，
，，
；；
（3）如图3，由（1）可得，，
，即，

，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式28】 （2021秋•西山区期末）如图，等边的内部有一点，连接，以为边作等边，连接，，求证：．

【分析】根据等边三角形的性质和证明和全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：和为等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和证明和全等解答．
【变式29】 （2021秋•越秀区期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知、且、满足．
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）如图2，若是的中点，，在线段的延长线上，，连接，试探究和的关系．


【分析】（1）解方程组求出、即可解决问题；
（2）如图1中，过点作交于点，设交于．证明，则可得出结论．
（3）过点作交的延长线于，过点作交轴于，延长交于，利用已知条件证明，得到，再证明得到，进而且（三线合一）．
【解答】（1）证明：、满足，
，
，，
，
，
（2）解：如图1中，过点作交于点，设交于．

，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）过点作交的延长线于，过点作交轴于，延长交于，

，，
、为等腰直角三角形，
，，
，
．，
，
，
又，
，
，
，
，
，．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、解二元一次方程组等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【变式30】 （2021秋•二道区期末）感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明．
探究：如图②，将绕点逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．
应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连结．
①的度数为 　45　度；
②线段、、之间的数量关系是 　　；
③若，，则线段的长为 　　．


【分析】探究：利用证明，得；
应用：①同理证明，得；
②由全等三角形的性质得即可；
③首先证明，再利用勾股定理即可得出答案．
【解答】解：探究：成立，证明如下：
和都是等腰直角三角形，
，，
将绕点逆时针旋转，连结和，
，
在与中，
，
，
；
应用：①和都是等腰直角三角形，
，，，
在与中，
，
，
，
故答案为：45；
②，
，
，
故答案为：；
③，
，
又，
，
在中，
，
，
又，，
在中，，
故答案为：．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
【变式31】 （2021秋•浉河区期末）（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点、、在同一条直线上，连接．
①的度数为 　　；
②线段、之间的数量关系为 　　；
（2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点、，在同一条直线上，请直接写出的度数．

【分析】（1）①由“”可证，根据全等三角形的性质求出的度数；
②根据全等三角形的性质解答即可；
（2）根据得到，根据直角三角形的性质得到，得到线段、、之间的数量关系；
（3）根据解答即可．
【解答】解：（1）①和都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
②，
，
故答案为：；
（2），理由如下：
是等腰直角三角形，
，
，
由（1）得，
，，
，
，
都是等腰直角三角形，为中边上的高，
，
；
（3）是等腰三角形，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，，
，
，
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【变式32】 （2021秋•太康县期末）在中，，点是直线上的一点（不与点、重合），以为腰右侧作等腰三角形，且，，联接．
（1）如图1，当点在线段上，如果，则　90　度．
（2）设，．
①点是在线段上移动时，如图2，则、之间有怎样的数量关系？试说明理由．
②点是在射线上移动时，则、之间有怎样的数量关系？试直接写出结论．


【分析】（1）证明，得，即可证明；
（2）①与（1）同理证明，得，则；
②同理证明，得，由，则．
【解答】解：（1），
，
在与中，
，
，
，
，
故答案为：90；
（2）①，理由如下：
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
；
②，理由如下：

，
，
在与中，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明是解题的关键．
【变式33】 （2021秋•甘南县期末）综合与实践
（1）问题发现

如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．请写出的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．
（2）类比探究
如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接．
填空：①的度数为　　；
②线段，，之间的数量关系为　　．
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若，，则四边形的面积为　　．
【分析】（1）由条件易证，从而得到：，．由点，，在同一直线上可求出，从而可以求出的度数；
（2）仿照（1）中的解法可求出的度数，证出；由等腰直角三角形的性质可得，从而证到；
（3）由（2）得，，由等腰直角三角形的性质得出，，求出，四边形的面积的面积的面积，即可得出答案．
【解答】解：（1），，理由如下：
和均为等边三角形，
，，．
．
在和中，，
．
．，
为等边三角形，
．
点，，在同一直线上，
．
．
．
（2）猜想：①，②．理由如下：
和均为等腰直角三角形，
，，．
．
在和中，，
．
，．
为等腰直角三角形，
．
点，，在同一直线上，
．
．
．
，，
．
，
．
．
故答案为：，；
（3）由（2）得：，，
均为等腰直角三角形，为中边上的高，
，，
，
四边形的面积的面积的面积；
故答案为：35．


【点评】本题是四边形综合题目，考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握等边三角形和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式34】 （2021秋•淇县期末）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接
（1）填空：①的度数为　　；
②线段、之间的数量关系是　　．
（2）拓展探究：如图2，和均为等腰三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）根据已知条件可以判定：，可得，再由角度关系求得；
（2）同（1）可证：，得到，，再由，可得，进而可求得线段、、之间的数量关系为：．
【解答】解：（1）与都为等边三角形，
，，，，
，

，
在与中有

，
，，
，
故答案为：，；

（2）①与都为等腰直角三角形，
，，，，
，

，
在与中有

，
，，
，
故的度数为；
②，为等腰直角三角形，
（三线合一）
，
，
即：线段、、之间的数量关系为：．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．