专题09“阿氏圆”模型解决几何最值问题 -【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列（通用版）

这是一份专题09“阿氏圆”模型解决几何最值问题 -【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列（通用版），文件包含专题09“阿氏圆”模型解决几何最值问题-题型与技法中考数学二轮复习金典专题讲练系列通用版解析版docx、专题09“阿氏圆”模型解决几何最值问题-题型与技法中考数学二轮复习金典专题讲练系列通用版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。





【经典剖析1】 如图，在中，，，，以点为圆心，3为半径做，分别交，于，两点，点是上一个动点，则的最小值为 　　．

【分析】在上截取，连接，，，证明，可得，当、、三点共线时，的值最小，求出即为所求．
【解答】解：在上截取，连接，，，
，，
，
，，
，
，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，
在中，，，
，
的最小值，
故答案为：．

【点评】本题考查胡不归求最短距离，熟练掌握胡不归求最短距离的方法，利用三角形相似将转化为是解题的关键．













在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．

【模型来源】
“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.




















在平面上，到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上，即对于平面内的定点A、B，若平面内有一动点P满足PA:PB＝1，则P点轨迹为一条直线（即线段AB的垂直平分线），如果这个比例不为1，P点的轨迹又会是什么呢？两千多年前的阿波罗尼斯在其著作《平面轨迹》一书中，便已经回答了这个问题。接下来，让我们站在巨人的肩膀上，一起探究PA：PB＝k（k≠1）时P点的轨迹。
对于平面内的定点A、B，若在平面内有一动点P且P满足PA：PB＝k（k≠1），则动点P的轨迹就是一个圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”，如图所示：

借助画板工具我们发现，动点P在运动过程中，PA、PB的长度都在变化，但是PA：PB的比值始终保持不变，接下来我们在深入研究一下！
若，设，如图所示：

由图可以发现在AB上存在点C使得，在AB延长线上存在点D使得，也就是说，当点P与点C、D重合时，符合条件；
当点P不与点C、D重合时，对于任意一点P，连接PA、PB、PC，可得，所以PC为△PAB一条内角平分线，再连接PD，可得，所以PD为△PAB一条外角平分线，所以PC⊥PD，即∠CPD＝90º，所以点P的轨迹是以CD为直径的一个圆.


当我们遇到平面内一动点到两定点之比为定值且不为1的情况时，可以在过两定点的直线上按定比确定内分点和外分点，并以之为直径做圆从而确定动点的轨迹.
如何具体证明P点的轨迹就是一个完整的圆呢？
分别取线段AB的内外分点C、D，再取CD中点O，可得，设，则，由线段位置关系可得AC＋BC＋BD＝AD，则，解得，.
又，即，
整理得，即，
当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：

易证：△BOP∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有.
对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，则需，就可以构造出上述的A字型相似（详见本专辑的相似模型）.











如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P为⊙O上一动点，已知R=OB，连接 PA、PB，则当“PA+PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？


解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC=R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB=PC。故本题求“PA+PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。

【技巧总结】
计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形

问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：
1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB
2. 计算出这两条线段的长度比
3. 在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则，
4. 则，当A、P、C三点共线时可得最小值

【例题1】 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为__________．

【分析】这个问题最大的难点在于转化，此处P点轨迹是圆，注意到圆C半径为2，CA=4，
连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，
连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=．
问题转化为PM+PB≥BM最小值，故当B，P，M三点共线时得最小值，直接连BM即可得．















【例题2】 如图1，在RT△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP,BP，求①，②，③，④的最小值.

[答案]：①=，②=2，③=，④=.

【例题3】 如图，点C坐标为(2,5)，点A的坐标为(7,0)，⊙C的半径为,点B在⊙C上一动点，的最小值为________.

[答案]：5.



【例题4】 如图，在平面直角坐标系xoy中，A(6,-1)，M(4,4)，以M为圆心，为半径画圆，O为原点，P是⊙M上一动点，则PO+2PA的最小值为________.

[答案]：10.
【例题5】 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．

【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：
连接PB、CO，AD与CO交于点M，
∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，
∵AB是直径，∴∠APB＝90°，
∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∴PA＝PB，PO⊥AB，
∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，
∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，
∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM，
∵DM⊥CO，∴此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．









【例题6】 如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为　5　；PD+4PC的最小值为　10　．

【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．
∵PB2＝4，BE•BC＝4，∴PB2＝BE•BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBE，
∴△PBE∽△CBE，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，
∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，
∴PD+PC的最小值为5．

②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．
∵PB2＝4，BE•BD＝×4＝4，∴BP2＝BE•BD，
∴＝，∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，
∴＝＝，∴PE＝PD，
∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），
∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC中，EF＝，FC＝，∴EC＝，
∴PD+4PC的最小值为10．故答案为5，10．






【例题7】 如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．

【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3，根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．













【例题8】 （1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为　　，PD﹣的最大值为　　．
（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为　　，PD﹣的最大值为　　．

图1 图2
【解答】解：（1）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．

∵＝＝，＝＝，
∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴＝＝，∴PG＝PC，
∴PD+PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．
∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．
故答案为，
（2）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．
∵＝＝2，＝＝2，
∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴＝＝，
∴PG＝PC，
∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，
在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，
在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．
故答案为，．

【例题9】 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．

【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，
∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，
∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4，
设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），
∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，
∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；
（3）①如图1，
由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4），
∵直线AC：y=﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），设H（0，p），
∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，
∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣x﹣6，
∴AB⊥AC，∴EF为对角线，
∴（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6），
∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；
②如图2，
由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），
∴EH=，AE=2，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=，
连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=，
∴=，∵=，∴=，
∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴=，
∴PM=AM，∴AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），
∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，
∵PE=，∴5（p+2）2=，
∴p=或p=﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（，﹣1），
∵C（0，﹣6），∴PC==，即：AM+CM=．
































【例题10】 如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．


【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，
∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，
∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），
∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．

（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，
∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），
∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，
∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴＝，解得m＝2．

（3）如图2中，在y轴上 取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．
∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，
∴OE′2＝OM′•OB，
∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴＝＝，
∴M′E′＝BE′，
∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小
（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），
最小值＝AM′＝＝．

【例题11】 如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA+PB的最小值为________.

[答案]：.
【例题12】 如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为________.

[答案]：.

【例题13】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，P为圆C上一动点，连接AP、BP，则的最小值是 .

【解答】
【解析】连接CP，在CB上取一点D，使得CD＝1，连接AD，如图所示：

易得，
∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD ∽△BCP，
，，
当点A、P、D在同一条直线上时，的值最小，
在Rt△ACD中，∵CD＝1，CA＝6，，
的最小值为.



【例题14】 如图，的半径为，，MO＝2，∠POM＝90º，Q为上一动点，则的最小值为 .

【解答】
【解析】取OM的中点G，连接PG与圆O的交点就是点Q，连接OQ、QM，如图所示：

∵MO＝2，，
∵圆O的半径，，
∵∠MOQ＝∠QOG，∴△MOQ ∽△QOG，
，
最小，
最小值为.




【例题15】 如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则的最小值是 .

【解答】5
【解析】取点K（1，0），连接OP、PK、BK，如图所示：

∵OP＝2，OA＝4，OK＝1，，
∵∠POK＝∠AOP，∴△POK ∽△AOP，

，
在△PBK中，，的最小值为BK的长，
∵B（4，4），K（1，0），，
∴的最小值为5.



【例题16】 如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，以C为圆心，4为半径作⊙C．
（1）试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由；
（2）点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD＝2，试说明△FCD ∽△ACF；
（3）点E是AB边上任意一点，在（2）的情况下，试求出EF＋FA的最小值.

【解答】（1）AB是⊙C的切线；（2）见解析；（3）3
【解析】（1）结论：相切．

理由：作CM⊥AB于M，如图所示：
在Rt△ACM中，∵∠AMC＝90°，∠CAM＝30°，AC＝8，
∴CM＝AC＝4，
∵⊙O的半径为4，
∴CM＝r，
∴AB是⊙C的切线．
（2）证明：

∵CF＝4，CD＝2，CA＝8，
∴CF2＝CD•CA，
∴，∵∠FCD＝∠ACF，
∴△FCD∽△ACF．
（3）解：作DE′⊥AB于E′，交⊙C于F′．

∵△FCD∽△ACF，
∴，
∴DF＝AC，
∴EF＋AF＝EF＋DF，
∴欲求EF＋AF的最小值，就是要求EF＋DF的最小值，
当E与E′，F与F′重合时，EF＋DF的值最小，最小值＝DE”＝AD＝3．




【例题17】 如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）在（2）的前提下，y轴上是否存在一点H，使∠AHF＝∠AEF？如果存在，求出此时点H的坐标，如果不存在，请说明理由．

【解答】（1）y＝﹣x2﹣2x＋4；（2）G（﹣2，4）；（3）H点的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣4）
【解析】（1）把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入y＝﹣x2＋bx＋c得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x＋4；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx＋m，
把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x＋4，
设G（x，﹣x2﹣2x＋4），则E（x，2x＋4），
∵OB∥GE，
∴当GE＝OB时，且点G在点E的上方，四边形GEOB为平行四边形，
∴﹣x2﹣2x＋4﹣（2x＋4）＝4，解得x1＝x2＝﹣2，此时G点坐标为（﹣2，4）；
（3）存在．
当x＝0时，y＝﹣x﹣6＝﹣6，则C（0，﹣6），
∵AB2＝42＋82＝80，AC2＝42＋22＝20，BC2＝102＝100，
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴△BAC为直角三角形，∠BAC＝90°，
∵∠AHF＝∠AEF，
∴点H在以EF为直径的圆上，
EF的中点为M，如图，设H（0，t），
∵G（﹣2，4），
∴E（﹣2，0），F（﹣2，﹣5），
∴M（﹣2，﹣），
∵HM＝EF，
∴22＋（t＋）2＝×52，解得t1＝﹣1，t2＝﹣4，
∴H点的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣4）．













【例题18】 问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP＋BP的最小值．

（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝3，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，
∴＝，∴PD＝BP，∴AP＋BP＝AP＋PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP＋BP的最小值为．
（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，AP＋PC的最小值为．
（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA＋PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．

【解答】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）如图，

连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，
∵AP＋BP＝AP＋PD，要使AP＋BP最小，
∴AP＋AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP＋AD最小，
即：AP＋BP最小值为AD，
∵AC＝12，AF⊥BC，∠ACB＝60°
∴CF＝6，AF＝，
∴DF＝CF﹣CD＝6﹣3＝3
∴，
∴AP＋BP的最小值为;
（2）如图，

在AB上截取BF＝1，连接PF，PC，
∵AB＝9，PB＝3，BF＝1
∴，且∠ABP＝∠ABP，
∴△ABP∽△PBF，
∴，
∴PF＝AP
∴AP＋PC＝PF＋PC，
∴当点F，点P，点C三点共线时，AP＋PC的值最小，
∴，
∴AP＋PC的值最小值为，
（3）如图，

延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，
∵OC＝4，FC＝4，
∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，
∴，且∠AOP＝∠AOP
∴△AOP∽△POF
∴，
∴PF＝2AP
∴2PA＋PB＝PF＋PB，
∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP＋PB的值最小，
∵∠COD＝120°，
∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM∴OM＝4，FM＝，
∴MB＝OM＋OB＝4＋3＝7∴，∴2PA＋PB的最小值为．



【变式1】 如图，已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，⊙C的半径为4，点D是⊙C上的动点，连接AD，连接AD、BD，则的最小值为 .

【解答】
【解析】连接CD，在BC上取点E，使得CE＝2，连接AE、ED，如图所示：

∵CD＝4，BC＝8，CE＝2，，，
∵∠BCD＝∠BCD，∴△CDE∽△CBD，，，
∴BD＝2DE，，，
根据两点之间，线段最短，当点D在AE上时，AD＋DE最小，最小值就是AE的长，
，∴∠ACB＝90º，
的最小值是.


【变式2】 如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，⊙B的半径为2，P为⊙B上一动点，则的最小值为 .

【解答】
【解析】在BC上取一点G，使得BG＝1，过点D作DF⊥BC的延长线交于点F，连接DG、BP，如图所示：


∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG ∽△CBP，

，∴当D、G、P三点共线时，的值最小，最小值为DG，
在Rt△CDF中，∠DCF＝60º，CD＝4，，
在Rt△GDF中，
的最小值为.



【变式3】 如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135º，则2PD＋PC的最小值是 .

【解答】
【解析】依题意可得OA＝OB＝2，∠BPA＝135º，∴点P的轨迹是以原点为圆心，OA长为半径的圆O上的劣弧AB，构造圆O，连接OP，在OC上截取OE＝1，连接PE、ED，过点D作DF⊥OC于点F，如图所示：

，∠POC＝∠EOP，∴△POC ∽△EOP，
，，
，
当E、P、D三点共线时，PD＋PE的值最小，最小值为DE的值，
∵DF⊥OC于点F，则DF＝2，EF＝2，，
∴的最小值为2DE.



【变式4】 如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上.
（1）求2PC＋PD的最小值；
（2）求2PC＋3PD的最小值.

【解答】（1）；（2）
【解析】（1）连接OP，在射线OA上截取AE＝6，连接PE，如图所示：

则OE＝OA＋AE＝12，∵C是OA的中点，，
又∵∠POC＝∠EOP，∴△OPC ∽△OEP，，∴PE＝2CP，∴2PC＋PD＝PE＋PD≥DE，
当P、D、E三点共线时，2PC＋PD的值最小，在Rt△ODE中，，
∴2PC＋PD的最小值是；
（2）在射线OB上截取BF＝3，连接CF交于点P，连接OP，如图所示：

OF＝OB＋BF＝9，
∵OD＝4，，
，
当C、P、F三点共线时，2PC＋3PD的值最小，
在Rt△OCF中，，
∴2PC＋3PD的最小值为.

















【变式5】 如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E’A＋E’B的最小值．

【解答】（1）；（2）m＝2；（3）
【解析】（1）令y＝0，则ax2＋（a＋3）x＋3＝0，
∴（x＋1）（ax＋3）＝0，
∴x＝﹣1或，
∵抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），
∴＝4，
∴a＝．
∵A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y＝kx＋b，则，
解得，
∴直线AB解析式为．
（2）如图1中，

∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，
∴，∵NE∥OB，∴，∴AN＝（4﹣m），
∵抛物线解析式为，∴PN＝﹣（）＝，
∴，解得m＝2．
（3）如图2中，在y轴上 取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．

∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′•OB，∴，∵∠BOE′＝∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，∴，∴M′E′＝BE′，
∴AE′＋BE′＝AE′＋E′M′＝AM′，此时AE′＋BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝．

【变式6】 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP＋BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴＝，∴PD＝BP，∴AP＋BP＝AP＋PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP＋BP的最小值为　 　．
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP＋BP的最小值为　 　．
（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，求2PA＋PB的最小值．

【解答】（1）；（2）；（3）13
【解析】（1）如图1，

连结AD，∵AP＋BP＝AP＋PD，要使AP＋BP最小，
∴AP＋AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP＋AD最小，
即：AP＋BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴，
AP＋BP的最小值为；
（2）如图2，

连接CP，在CA上取点D，使CD＝，∴，
∵∠PCD＝∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴，∴PD＝AP，
∴AP＋BP＝BP＋PD，
∴同（1）的方法得出AP＋BP的最小值为；
（3）如图3，

延长OA到点E，使CE＝6，∴OE＝OC＋CE＝12，连接PE、OP，∵OA＝3，
∴，∵∠AOP＝∠AOP，∴△OAP∽△OPE，
∴，
∴EP＝2PA，
∴2PA＋PB＝EP＋PB，
∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：.