人教A版高中数学必修二单元检测卷 第八章 立体几何初步

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立体几何初步 章节检测
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2022·福建厦门高一期末]下列正确的是(　　)
A．过球面上两点与球心有且只有一个平面
B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
C．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥
D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
2．[2022·江苏扬州高一期末]下列选项正确的是(　　)
A．空间三点确定一个平面
B．如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
C．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
D．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直
3．[2022·湖南永州高一期末]已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的三角形，其中AB＝AC＝2，则该平面图形的面积为(　　)

A. B．2 C．2 D．4
4．[2022·山东青岛高一期末]已知a，b是两条不重合直线，α，β是两个不重合平面，则下列说法正确的是(　　)
A．若a∥b，b∥α，则a∥α B．若α⊥β，a∥α，则a⊥β
C．若α⊥β，a⊄α，a⊥β，则a∥α D．若b⊥α，a∥b，β⊥α，则a∥β
5．[2022·湖南张家界高一期末]下列命题错误的是(　　)
A．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直
B．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行
C．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直
D．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

6．[2022·河北石家庄高一期末]定义：24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度．其中小雨(<10 mm)，中雨(10 mm～25 mm)，大雨(25 mm～50 mm)，暴雨(50 mm～100 mm)，小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级(　　)
A．小雨
B．中雨
C．大雨
D．暴雨
7．[2022·辽宁丹东高一期末]圆台的上下底面半径之比为1∶2，一条母线长度为2，这条母线与底面所成角等于30°，这个圆台的体积为(　　)
A．π B．π C．π D．7π
8．若正三棱柱ABC ­A1B1C1既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的内切球和外接球的半径分别为R1、R2，则＝(　　)
A． B．5 C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是(　　)
A．四棱台 B．四棱柱 C．三棱柱 D．三棱锥
10．[2022·湖南长郡中学高一期中]设α，β为两个平面，则α∥β的充分条件可以是(　　)
A．β内的所有直线都与α平行
B．β内有三条直线与α平行
C．α和β平行于同一条直线
D．α和β都平行于同一平面γ

11．如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，以下四个选项正确的是(　　)
A．D1C∥平面A1ABB1
B．A1D1与平面BCD1相交
C．AD⊥平面D1DB
D．平面BCD1⊥平面A1ABB1
12．[2022·湖南衡阳高一期末]如图，在四棱锥P ­ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，AB＝2，PB＝，侧面PAD为正三角形，则下列说法正确的是(　　)

A.平面PAD⊥平面ABCD
B．异面直线AD与PB所成的角为60°
C．二面角P ­BC ­A的大小为45°
D．三棱锥P ­ABD外接球的表面积为π
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．[2022·湖北鄂州高一期末]某圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，则该圆柱一个底面的面积为________．
14．在长方体ABCD ­A1B1C1D1的所有棱中，有m条棱所在的直线与直线A1B是异面直线，则m的值是________．
15．[2022·河北英才国际学校高一期中]已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.
16．[2022·江苏常州高一期末]在四面体P ­ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝1，△ABC、△PBC、△PAC、△PAB均为直角三角形，若该四面体最大棱长等于3，则该四面体外接球的表面积为________；该四面体体积的最大值为________．


四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(10分)[2022·辽宁丹东高一期末]如图，四面体ABCD中，E是AB的中点，点F在BD上，EF∥平面ACD，平面CEF与平面ACD的交线为l，CB＝CD，AD⊥BD，证明：
(1)AD∥l；
(2)平面BCD⊥平面CEF.







18．(12分)[2022·山东聊城高一期末]如图，在棱长为4的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E是DD1上的动点，F是CD的中点．
(1)求三棱锥B ­AB1E的体积；
(2)若E是DD1的中点，求证：BF∥平面AB1E.






19．(12分)如图，在三棱柱A1B1C1 ­ABC中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点．
(1)证明：E，F，G，H四点共面；
(2)证明：EG，FH，AA1三线共点．






20．(12分)[2022·福建厦门高一期末]如图，棱长为2的正方体ABCD –A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过E作平面α，使得α∥平面BDF.

(1)作出α截正方体ABCD ­A1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由；
(2)求平面α与平面BDF的距离．







21．(12分)[2022·辽宁大连高一期末]如图，在直三棱柱ABC ­A1B1C1中，AC⊥BC，且AC＝，BC＝，AA1＝2AB，D是棱BB1的中点，E是棱CC1上的点，满足CE＝5EC1.
(1)证明：AD⊥平面A1DE；
(2)求直线AE与平面ABB1所成角的正弦值．






22．(12分)[2022·湖北武汉高一期末]如图，三棱柱ABC ­A1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1⊥CC1，BC1⊥A1C，且E、F分别是BC、A1B1的中点．

(1)求证：EF∥平面A1C1CA；
(2)在线段AB上是否存在点P，使得BC1⊥平面EFP？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．























答案：
1．解析：对于A：当球面上的两点恰好是直径的两个端点时这三点共线，此时过这三点有无数个平面，故A错误；
对于B：用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故B错误；
对于C：根据正棱锥的定义：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．所以底面是正多边形且侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥，符合定义，故C正确．
对于D：两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体中，侧棱延长不一定会相交于一点，所以不一定是棱台，故D错误．故选C.
答案：C
2．解析：空间中不共线的三点确定一个平面，A错；
如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，B错；

如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，无数并不代表所有，C错；

过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，D对．故选D.
答案：D
3．解析：作出原图形如图所示：则AB′＝2，AC′＝4，所以该平面图形的面积为·AB′·AC′＝×2×4＝4，故选D.

答案：D
4．解析：若a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α，故A错误；
若α⊥β，a∥α，则a∥β或a⊂β或a与β相交，故B错误；
若α⊥β，a⊥β，则a∥α或a⊂α，又a⊄α，故a∥α，故C正确；
若b⊥α，a∥b，则a⊥α，又β⊥α，则a∥β或a⊂β，故D错误．故选C.
答案：C
5．解析：对于A，根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线，有且仅有一条，故A正确；
对于B，过平面外一点可以作一个平面与已知平面平行，
在这个平行平面内经过已知点作直线，它就和已知平面平行，故过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，故B不正确；
对于C，由直线与平面垂直的性质知：过直线外一点只能作一个平面与这条直线垂直，故C正确；
对于D，由平行公理得：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故D正确．故选B.
答案：B
6．解析：由题意，一个半径为＝100(mm)的圆面内的降雨充满一个底面半径为×＝50(mm)，高为150(mm)的圆锥，
所以积水厚度d＝＝12.5(mm)，属于中雨．故选B.
答案：B
7．解析：如图，由题意得：BD＝2，AB＝2CD，∠ABD＝30°，
过点D作DE⊥AB于点E，则DE＝1，BE＝，
因为圆台的上、下底面半径之比为1∶2，
所以CD＝AE＝BE＝，
则圆台上底面面积为()2π＝3π，下底面面积为(2)2π＝12π，
故圆台的体积为(12π＋3π＋)×1＝7π，故选D.

答案：D
8．解析：由于三棱柱的外接球和内切球的球心相同，如图，DE⊥AB，OD＝DE＝R1，OA＝R2，

因为△ABC为正三角形，D为△ABC的中心，
所以∠DAE＝，
所以AD＝2DE＝2R1，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2，
所以R＝R＋(2R1)2，
所以R＝5R，R2＝R1，
所以＝，故选A.
答案：A
9．解析：如图三棱柱ABC ­ A1B1C1，连接BC1，AC1，则可得平面ABC1截三棱柱，得到一个三棱锥C1 ­ ABC，所以D正确，
若用一个平行于平面BCC1B1的平面去截三棱柱，如图平面DEFG，则得到一个三棱柱和一个四棱柱，所以BC正确，
因为四棱台的上下底面要平行，所以要得到四棱台，则截面要与三棱柱的上下底面相交，而四棱台的侧棱延长后交于一点，棱柱的侧棱是相互平行的，所以用一个平面去截一个三棱柱，不可能得到一个四棱台，所以A错误，故选BCD.

答案：BCD
10．解析：对于A，当β内的所有直线即有两条相交直线都与α平行时，则α∥β，所以A正确；
对于B，α与β相交时，β内和交线平行的直线都与平面α平行，所以B不正确；
对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；
对于D，如果α和β都平行于同一平面γ，则α∥β.所以D正确．故选AD.
答案：AD
11．解析：对于A，因为平面A1ABB1∥平面D1DCC1，而D1C⊂平面D1DCC1，故D1C与平面A1ABB1没有公共点，所以D1C∥平面A1ABB1，即A正确；
对于B，因为A1D1∥BC，所以A1D1⊂平面BCD1，所以B错误；
对于C，若AD⊥平面D1DB，则AD⊥DB，但∠ADB＝45°，所以C错误；
对于D，在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，易得BC⊥平面A1ABB1，而BC⊂平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面A1ABB1，所以D正确．故选AD.
答案：AD
12．解析：取AD中点E，连接PE，BE，△PAD和△BAD都是等边三角形，则PE⊥AD，BE⊥AD，
∠PEB是二面角P ­ AD ­ B的平面角，
PE＝BE＝，又PB＝，所以PE2＋BE2＝PB2，即PE⊥BE，
所以二面角P ­ AD ­ B是直二面角，
所以平面PAD⊥平面ABCD，A正确；
AD∥BC，所以∠PBC是异面直线AD与PB所成的角或其补角，
由此可得PE⊥平面ABCD，而CE⊂平面ABCD，所以PE⊥EC，
EC＝＝，
所以PC＝＝，PB2＋BC2＝PC2，PB⊥BC，∠PBC＝90°，B错；
由BE⊥AD知BC⊥BE，所以∠PBE是二面角P ­ BC ­ A的平面角，
在△PEB中，可得∠PBE＝45°，C正确；
以上证明有PE⊥平面ABD，同理BE⊥平面PAD，
设M，N分别是△ABD和△PAD的中心，如图，作NO∥EB，MO∥PE，NO与MO交于点O，则NO⊥平面PAD，MO⊥平面ABD，所以O是三棱锥P ­ ABD外接球的外心，
由于NE＝ME＝BE＝，ONEM是正方形，OM＝，而BM＝，
所以OB＝＝＝即为外接球半径，
三棱锥P ­ ABD外接球的表面积为S＝4π×＝.D正确．故选ACD.

答案：ACD
13．解析：因为圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，所以该圆柱的底面圆的周长为其侧面展开图正方形的边长2，该圆柱底面圆半径为，故该圆柱一个底面的面积S＝πr2＝π×()2＝.
答案：
14．解析：如图，在长方体ABCD ­ A1B1C1D1中，点A∈平面ABB1A1，D∉平面ABB1A1，

A∉直线A1B，A1B⊂平面ABB1A1，则直线AD与直线A1B是异面直线，
同理直线B1C1与直线A1B是异面直线，又平面CDD1C1∥平面ABB1A1，
直线CD，DD1，C1D1，CC1与直线A1B都不平行，且直线CD，DD1，C1D1，CC1⊂平面CDD1C1，
因此直线CD，DD1，C1D1，CC1与直线A1B是异面直线，
所以m的值是6.
答案：6
15．解析：平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β，
∵由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，结合所给的选项，故由②④可推出m⊥β.
即②④是m⊥β的充分条件，
∴满足条件②④时，有m⊥β.
答案：②④
16．解析：利用长方体模型，因为四面体的所有面均为直角三角形，因此取长方体的四个顶点作为四面体的顶点，如图所示，PC＝3，

所以该四面体外接球半径为：
R＝＝＝，
所以该四面体外接球的表面积为：
S＝4πR2＝4π×＝9π.
由图知，AC2＝PC2－PA2＝9－1＝8，
∴AC2＝8＝AB2＋BC2≥2AB·BC，即AB·BC≤4，
当且仅当AB＝BC＝2时取等号，
∴VP ­ ABC＝S△ABC·PA＝×AB·BC·PA≤×4×1＝.
答案：9π　
17．证明：(1)因为EF∥平面ACD，平面CEF∩平面ACD＝l，EF⊂平面CEF，所以EF∥l，
又平面ABD∩平面ACD＝AD，EF⊂平面ABD，所以EF∥AD，
所以AD∥l.
(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，
∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD.
又EF∩CF＝F，EF，CF⊂平面EFC，∴BD⊥平面EFC，
∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.
18．解析：(1)在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，DD1∥平面ABB1A1，所以点E在DD1上运动时，到平面ABB1A1的距离为4，所以VB ­ AB1E＝VE ­ AB1B＝S△AB1B×4＝.
(2)证明：连接A1B交AB1于点M，连接EM，EF，D1C，因为EF∥D1C，且EF＝D1C，MB∥D1C，且MB＝D1C，所以EF∥MB且EF＝MB，所以四边形MEFB是平行四边形，所以BF∥ME，又因为BF⊄平面AB1E，ME⊂平面AB1E，所以BF∥平面AB1E.

19．证明：(1)如图，连接EF，GH.
∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.
∵B1E∥C1F，且B1E＝C1F，∴四边形B1EFC1是平行四边形，
∴EF∥B1C1，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．

(2)如图，延长EG，FH相交于点P.
∵P∈EG，EG⊂平面ABB1A1，∴P∈平面ABB1A1.
∵P∈FH，FH⊂平面ACC1A1，∴P∈平面ACC1A1.
∵平面ABB1A1∩平面ACC1A1＝AA1，
∴P∈AA1，∴EG，FH，AA1三线共点．
20．解析：(1)连接B1D1，EB1，ED1，由正方体性质可得BD∥B1D1，BF∥ED1；
又BF∩BD＝B，所以平面EB1D1∥平面BDF；
因为α∥平面BDF，且E∈α，所以平面EB1D1与平面α重合，即平面EB1D1就是α截正方体ABCD ­ A1B1C1D1所得的截面．
(2)由(1)可知平面α与平面BDF的距离等于点B1到平面BDF的距离；
设点B1到平面BDF的距离为d，由题意可得BD＝2，BF＝DF＝，所以△BDF的面积为；△BB1F的面积为2；
由VB1 ­ BDF＝VD ­ BB1F可得S△BDF·d＝S△BB1F×2，解得d＝.
所以平面α与平面BDF的距离为.
21．解析：(1)证明：因为AC⊥BC，且AC＝，BC＝，所以AB＝3；因为AA1＝2AB，所以AA1＝6；因为D是棱BB1的中点，所以AD＝A1D＝3，因为AD2＋A1D2＝AA，所以AD⊥A1D；因为CE＝5EC1，AA1＝6，所以C1E＝1，CE＝5；在直角梯形C1B1DE中，B1C1＝，B1D＝3，所以DE＝.在直角三角形ACE中，AC＝，CE＝5，所以AE＝＝2；因为AD2＋DE2＝AE2，所以AD⊥DE.由AD⊥A1D，AD⊥DE，且A1D∩DE＝D，所以AD⊥平面A1DE.

(2)在直角三角形ACB中，作CH⊥AB于H，如图， 由等面积法可得CH＝＝；由直棱柱的性质可得AA1⊥CH，所以CH⊥平面ABB1A1；因为CC1∥平面ABB1A1，所以E到平面ABB1A1的距离为，设直线AE与平面ABB1所成角为θ，则sin θ＝＝＝.
22．解析：(1)证明：取A1C1中点G，连接FG、CG.
因为F、G分别是A1B1、A1C1的中点，
所以FG∥B1C1且FG＝B1C1.
在平行四边形BCC1B1中，B1C1∥BC且B1C1＝BC，
因为E是BC的中点，所以EC∥B1C1且EC＝B1C1.
所以EC∥FG且EC＝FG，所以四边形FECG是平行四边形，所以FE∥GC，
又因为FE⊄平面A1C1CA，GC⊂平面A1C1CA，所以EF∥平面A1C1CA.
(2)当点P为线段AB的中点时，BC1⊥平面EFP，理由如下：
取AB的中点P，连接PE、PF.

因为BC1⊥CC1，BC1⊥A1C，A1C∩CC1＝C，所以BC1⊥平面ACC1A1，
因为P、E分别为AB、BC的中点，则PE∥AC，
∵PE⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，则PE∥平面ACC1A1，
又因为EF∥平面ACC1A1，EF∩PE＝E，所以平面EFP∥平面ACC1A1，
所以BC1⊥平面EFP.
故当点P是线段AB的中点时，BC1⊥平面EFP，此时，＝.