八年级数学上册期末难点特训（一）和全等三角形与勾股定理有关的压轴题

这是一份八年级数学上册期末难点特训（一）和全等三角形与勾股定理有关的压轴题，共79页。试卷主要包含了BE＝2，求FE的长；，定义，求线段BD的长，【基础模型】，问题背景，问题等内容，欢迎下载使用。
期末难点特训一 和全等三角形与勾股定理有关的压轴题
1．如图①，在ΔABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，E为BC上一点，F为CA上一点，且FD⊥ED，垂足为D．

（1）若AF＝3．BE＝2，求FE的长；
小明看到这个题目，提出这样的思路：如图②，延长ED到M，使得DM＝DE，连接AM，FM．首先证明∠FAM＝90°，再求出FM的长，最后得出FE的长，请你按照这个思路完成解答．
（2）若点E在边CB的延长线上，点F在边AC的延长线上，请直接写出AF、BE、FE的等量关系．
2．定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”．

（1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是_______（只要填序号）；
①腰上的高；②底边上的中线；③底角平分线．
（2）如图1，在四边形中，，为的中点，．取中点，连接．求证：是的“周长平分线”．
（3）在（2）的基础上，分别取，的中点，，如图2．请在上找点，，使为的“周长平分线”，为的“周长平分线”．
①用无刻度直尺确定点，的位置（保留画图痕迹）；
②若，，直接写出的长．
3．阅读下列材料，并按要求解答．
【模型建立】如图①，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．
【模型应用】
应用1：如图②，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，BC＝10，AB2＝200．求线段BD的长．
应用2：如图 ③，在平面直角坐标系中，纸片△OPQ为等腰直角三角形，QO＝QP，P（4，m），点Q始终在直线OP的上方．

（1）折叠纸片，使得点P与点O重合，折痕所在的直线l过点Q且与线段OP交于点M，当m＝2时，求Q点的坐标和直线l与x轴的交点坐标；
（2）若无论m取何值，点Q总在某条确定的直线上，请直接写出这条直线的解析式　 　．








4．【基础模型】
（1）如图，在中，，垂足为，，垂足为．求证：．

【模型拓展】
（2）在平面直角坐标系中，两条互相垂直的直线与都经过点，直线与轴的正半轴交于点，与轴正半轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点．
①如图，点是线段的中点，求线段的长度；
②连接，如果是等腰三角形，直接写出点的坐标．




5．问题背景
若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．
如图1，四边形中，是一条对角线，，，则点与点关于互为顶针点；若再满足，则点与点关于互为勾股顶针点．


初步思考
(1)如图2，在中，，，、为外两点，，，为等边三角形．
①点与点______关于互为顶针点；
②点与点______关于互为勾股顶针点，并说明理由．
实践操作
(2)在长方形中，，．
①如图3，点在边上，点在边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点、，使得点与点关于互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹)
思维探究
②如图4，点是直线上的动点，点是平面内一点，点与点关于互为勾股顶针点，直线与直线交于点．在点运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．
6．【发现】小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．
【体验】（1）从特殊入手   许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：

的大小
的形状

…

直角三角形

…

直角三角形

…

请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；
（2）猜想一般结论   在中，设，，（），
①若为直角三角形，则满足；
②若为锐角三角形，则满足____________；
③若为钝角三角形，则满足_____________．
【探索】在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．

【应用】在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（    ）
A．一定是锐角三角形
B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形
C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形

7．问题：要在一条笔直的路边 l 上建一个燃气站，向 l 同侧的 A、B 两个城镇铺设管道输送燃气．如图①，已知 A、B 两个城镇到 l 的距离分别为 2km、3km，CD＝12km，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．

方案一：如图②，分别向 A、B 两个城镇输送燃气．具体方法是：作出点 A 关于直线 l 的对称点 A'，连接 A'B，线段 A'B 与直线 l 的交点 P 的位置即为所求，即在点 P 处建燃气站．

方案二：如图③，在点 C 处建燃气站，先向 A 城镇输送燃气，再向 B 城镇输送燃气．

(1)通过计算说明哪个方案路线更短；
(2)小明认为图②中点 P 的位置既然确定了，那么 CP 的长也就确定了，请写出求 CP 的长的思路．
8．如图①，是四边形ABCD的一个外角，，，点F在CD的延长线上，，，垂足为G．

（1）求证：
①DC平分；
②．
（2）如图②，若，，．
①求的度数；
②直接写出四边形ABCF的面积．
9．我们可以沿直角三角形纸片的斜边中线把它剪成两个等腰三角形．

【初步思考】
（1）任意三角形纸片都可以剪成4个等腰三角形，在图①中画出分割线，并作适当的标注；
【深入思考】
（2）任意三角形纸片都可以剪成5个等腰三角形，在图②中画出分割线，并作适当的标注；
【回顾反思】
（3）在把一个三角形纸片剪成5个等腰三角形时，我们发现图②中的分割方法不能用于等边三角形．因此，我们需要为等边三角形想一种分割方案，请在图③中画出分割线，并作适当的标注；
（4）我们发现，不是所有三角形纸片都能剪成3个等腰三角形．当∠A＝110°，∠B为多少度时，△ABC能被剪成3个等腰三角形，请画出两种分割方案，并标注∠B和∠C的度数．
10．（1）【探索研究】
老师在课堂上给出了这样一道题目：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．试探究线段BE和CD的数量关系．小明同学经过认真思考后认为：先延长CA、BE相交于点为F，再证明△ACD≌△ABF即可，请根据小明同学的思路补全图形并直接写出线段BE和CD的数量关系．

（2）【类比探究】
老师引导同学们继续研究：
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F，试探究线段BE与FD的数量关系，并证明你的结论．

11．【方法总结】
以下是某同学对一道《学习与评价》习题的分析与反思．
题目：如图，在中，是的平分线，点、分别在边、上，．

求证：．
分析：作，，垂足分别为、．根据角平分线的性质，得．
再证明，得．
反思：遇到和角平分线有关的题目，可以尝试向角的两边作垂线段来寻求解题思路．

根据上述解题经验，解决下列问题．
【变式迁移】
（1）如图，四边形中，，

求证：平分．
【问题解决】
（2）如图，在中，，是边上的中线，将沿翻折后得到，连接．若，，直接写出的长．

12．【基础模型】
已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB，过点C任作一条直线l（不与CA、CB重合），过点A作AD⊥l于D，过点B作BE⊥l于 E．

（1）如图②，当点A、B在直线l异侧时，求证：△ACD≌△CBE
【模型应用】
在平面直角坐标性xOy中，已知直线l：y＝kx﹣4k（k为常数，k≠0）与x轴交于点A，与y轴的负半轴交于点 B．以AB为边、B为直角顶点作等腰直角△ABC．
（2）若直线l经过点（2，﹣3），当点C在第三象限时，点C的坐标为　 　．
（3）若D是函数y＝x（x＜0）图象上的点，且BD∥x轴，当点C在第四象限时，连接CD交y轴于点E，则EB的长度为　 　．
（4）设点C的坐标为（a，b），探索a，b之间满足的等量关系，直接写出结论．（不含字母k）

13．已如，在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为，点在轴上，作直线.点关于直线的对称点刚好在轴上，连接.
（1）写出一点的坐标，并求出直线对应的函数表达式；
（2）点在线段上，连接、、，当是等腰直角三角形时，求点坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向原点运动，到达点时停止运动，连接，过作的垂线，交轴于点，问点运动几秒时是等腰三角形.

14．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点.由，得.又，可以推理得到.进而得到 ， .我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；

【模型应用】（2）①如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点.求证：点是的中点；

②如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点.若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标.

15．如图1，在直角坐标系xoy中，点A、B分别在x、y轴的正半轴上，将线段AB绕点B顺时针旋转90°，点A的对应点为点C．

（1）若A（6，0），B（0，4），求点C的坐标；
（2）以B为直角顶点，以AB和OB为直角边分别在第一、二象限作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBE，连DE交y轴于点M，当点A和点B分别在x、y轴的正半轴上运动时，判断并证明AO与MB的数量关系．
16．如图，将一张边长为8的正方形纸片OABC放在直角坐标系中，使得OA与y轴重合，OC与x轴重合，点P为正方形AB边上的一点(不与点A、点B重合)．将正方形纸片折叠，使点O落在P处，点C落在G处，PG交BC于H，折痕为EF．连接OP、OH．
初步探究
（1）当AP=4时
①直接写出点E的坐标　　　　；
②求直线EF的函数表达式．
深入探究
（2）当点P在边AB上移动时，∠APO与∠OPH的度数总是相等，请说明理由．
拓展应用
（3）当点P在边AB上移动时，△PBH的周长是否发生变化？并证明你的结论．

17．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．

(1)如图1，三角形内角分别为80°、25°、75°，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．
(2)如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D．求证：AD是△ABC的一条双腰分割线．
(3)如图3，已知△ABC中，∠B＝64°，AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB＝AD．
①求∠C的度数．
②若AB＝3，AC＝5，求BC的长．
18．小乾同学提出一种新图形定义：一组对边相等且垂直的四边形叫等垂四边形．如图1，四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，四边形ABCD即为等垂四边形，其中相等的边AB、CD称为腰，另两边AD、BC称为底．

(1)性质初探：小乾同学探索了等垂四边形的一些性质，请你补充完整：
①等垂四边形两个钝角的和为 °；
②若等垂四边形的两底平行，则它的最小内角为 °．
(2)拓展研究：
①小坤同学发现两底中点的连线与腰长有特定的关系，如图2，M、N分别为等垂四边形ABCD的底AD、BC的中点，试探索MN与AB的数量关系，小坤的想法是把其中一腰绕一个中点旋转180°，请按此方法求出MN与AB的数量关系，并写出AB与MN所在直线相交所成的锐角度数．
②如图1，等垂四边形ABCD的腰为AB、CD，AB=CD=AD=3，则较长的底BC长的取值范围是 ．
(3)实践应用：如图3，直线l1，l2是两条相互垂直的公路，利用三段围栏AB、BC、AD靠路边按如图方式围成一块四边形种植园，第四条边CD做成一条隔离带，已知AB=250米，BC=240米，AD=320米，此隔离带最长为多少米？
19．同学们：八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换     旋转，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法．

（1）【问题提出】
如图①，在正方形ABCD中，∠MAN=45°，点M、N分别在边BC、CD上．求证：MN＝BM＋DN．   
证明思路如下：
第一步：如图②，将绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE，再证明E、B、M三点在一条直线上．
第二步：证明．
请你按照证明思路写出完整的证明过程.
（2）【初步思考】
如图③，四边形ABCD和CEFG为正方形，连接DG、BE，得到和．
下列关于这两个三角形的结论：①周长相等； ②面积相等； ③∠CBE=∠CDG．
其中所有正确结论的序号是　　 　．

（3）【深入研究】
如图④，分别以□ABCD的四条边为边向外作正方形，连接EF，GH，IJ，KL．若□ABCD的面积为8，则图中阴影部分（四个三角形）的面积之和为　　 　．
20．点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCFG，连接AF、BD．
（1）如图①，AF与BD的数量关系和位置关系分别为　　　　；
（2）将正方形BCFG绕着点C顺时针旋转α角(0°＜α＜360°)，
①如图②，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由．
②若AC=4，BC=2，当正方形BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，求DB的长度．



答案与解析
1．如图①，在ΔABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，E为BC上一点，F为CA上一点，且FD⊥ED，垂足为D．

（1）若AF＝3．BE＝2，求FE的长；
小明看到这个题目，提出这样的思路：如图②，延长ED到M，使得DM＝DE，连接AM，FM．首先证明∠FAM＝90°，再求出FM的长，最后得出FE的长，请你按照这个思路完成解答．
（2）若点E在边CB的延长线上，点F在边AC的延长线上，请直接写出AF、BE、FE的等量关系．
【答案】（1）；（2），理由见解析
【分析】（1）如图，延长到，使得，连接，．首先证明，，再证明，求出即可；
（2）结论：，证明方法类似（1）．
【详解】（1）解：根据小明的作图，如下：

，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
．
（2）解：结论：．
理由：延长到，使得，连接，．

根据（1）中的证明方法：
，
，
，
，
，
由（1）得，
，
，，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考中考常考题型．
2．定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”．

（1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是_______（只要填序号）；
①腰上的高；②底边上的中线；③底角平分线．
（2）如图1，在四边形中，，为的中点，．取中点，连接．求证：是的“周长平分线”．
（3）在（2）的基础上，分别取，的中点，，如图2．请在上找点，，使为的“周长平分线”，为的“周长平分线”．
①用无刻度直尺确定点，的位置（保留画图痕迹）；
②若，，直接写出的长．
【答案】（1）②；（2）见详解；（3）①见详解；②
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及“周长平分线”的定义，即可判断；
（2）延长BA，CD交于点M，连接MP，则∆ BMC是等腰直角三角形，再证明∆ABP≅∆DMP，进而即可得到结论；
（3）①连接QM，并延长交BP于点E，连接QN，并延长交BC于点F，即可；②连接AE，DF，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，由等腰直角三角形的性质得AG，DH的值，再证明∆GAP≅∆HPD，设PE=m，PF=n，结合勾股定理，即可求解．
【详解】（1）∵等腰三角形底边上的中线所在直线也是等腰三角形的对称轴，
∴腰三角形底边上的中线一定是所在等腰三角形的“周长平分线”，
故答案是：②；
（2）延长BA，CD交于点M，连接MP，
∵，
∴∠BMC=90°，即∆ BMC是等腰直角三角形，
∵为的中点，
∴BP=CP=MP，MP⊥BC，∠PMC=∠PMB=45°，
又∵，
∴∠APB+∠APM=∠DPM+∠APM=90°，
∴∠APB=∠DPM，
在∆ABP和∆DMP中，
∵，
∴∆ABP≅∆DMP（ASA），
∴AP=DP，
∵点Q是AD的中点，
∴是的“周长平分线”；

（3）①连接QM，并延长交BP于点E，连接QN，并延长交BC于点F，则EM是PA的中垂线，FN是PD的中垂线，
∴点E，F即为所求；

②连接AE，DF，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，
则∠AGB=∠AGP=∠DHC=∠DHP=90°，
∵∠B=∠C =45°，∠AGB=∠DHC=90°，
∴∆AGB和∆DHC都是等腰直角三角形，且AG=BG，DH=CH，
又∵，，
∴AG=BG==，DH=CH=，
∵∠GAP+∠APG=∠HPD+∠APG=90°，
∴∠GAP=∠HPD，
在∆GAP和∆HPD中，
∵，
∴∆GAP≅∆HPD，
∴AG=PH=1，PG=DH=2，
∵EM是PA的中垂线，FN是PD的中垂线，
∴PE=AE，PF=DF，
设PE=m，则AE=m，EG=PG-PE=2-m，设PF=n，则DF=n ，FH=PF-PH=n-1，EF=PE+PF=m+n，
在Rt∆DHF中，根据勾股定理得：，解得：n=，
在Rt∆AGE中，根据勾股定理得：，解得：m=，
∴EF=m+n=+=．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加合适的辅助线，构造等腰直角三角形以及“一线三垂直”模型，是解题的关键．
3．阅读下列材料，并按要求解答．
【模型建立】如图①，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．
【模型应用】
应用1：如图②，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，BC＝10，AB2＝200．求线段BD的长．
应用2：如图 ③，在平面直角坐标系中，纸片△OPQ为等腰直角三角形，QO＝QP，P（4，m），点Q始终在直线OP的上方．

（1）折叠纸片，使得点P与点O重合，折痕所在的直线l过点Q且与线段OP交于点M，当m＝2时，求Q点的坐标和直线l与x轴的交点坐标；
（2）若无论m取何值，点Q总在某条确定的直线上，请直接写出这条直线的解析式　 　．
【答案】模型建立：见解析；应用1：2；应用2：（1）Q(1，3)，交点坐标为(，0)；（2）y＝﹣x+4
【分析】根据AAS证明△BEC≌△CDA，即可；
应用1：连接AC，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H，易证△ADC≌△CHB，结合勾股定理，即可求解；
应用2：（1）过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥y轴于点K，直线KQ和直线NP相交于点H，易得：△OKQ≌△QHP，设H(4，y)，列出方程，求出y的值，进而求出Q(1，3)，再根据中点坐标公式，得P(4，2)，即可得到直线l的函数解析式，进而求出直线l与x轴的交点坐标；（2）设Q(x，y)，由△OKQ≌△QHP，KQ＝x，OK＝HQ＝y，可得：y＝﹣x+4，进而即可得到结论．
【详解】如图①，∵AD⊥ED，BE⊥ED，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
∵AC＝BC，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
应用1：如图②，连接AC，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H，
∵∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，
∴AC＝10，
∵BC＝10，AB2＝200，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADC＝∠BHC＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠CBH，
∵AC＝BC＝10，
∴△ADC≌△CHB（AAS），
∴CH＝AD＝6，BH＝CD＝8，
∴DH=6+8=14，
∵BH⊥DC，
∴BD＝＝2；
应用2：（1）如图③，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥y轴于点K，直线KQ和直线NP相交于点H，
由题意易：△OKQ≌△QHP（AAS），
设H(4，y)，那么KQ＝PH＝y﹣m＝y﹣2，OK＝QH＝4﹣KQ＝6﹣y，
又∵OK＝y，
∴6﹣y＝y，y＝3，
∴Q(1，3)，
∵折叠纸片，使得点P与点O重合，折痕所在的直线l过点Q且与线段OP交于点M，
∴点M是OP的中点，
∵P(4，2)，
∴M(2，1)，
设直线Q M的函数表达式为：y＝kx+b，
把Q(1，3)，M(2，1)，代入上式得：，解得：
∴直线l的函数表达式为：y＝﹣2x+5，
∴该直线l与x轴的交点坐标为(，0)；
（2）∵△OKQ≌△QHP，
∴QK＝PH，OK＝HQ，
设Q(x，y)，
∴KQ＝x，OK＝HQ＝y，
∴x+y＝KQ+HQ＝4，
∴y＝﹣x+4，
∴无论m取何值，点Q总在某条确定的直线上，这条直线的解析式为：y＝﹣x+4，
故答案为：y＝﹣x+4．

【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，勾股定理，一次函数的图象和性质，掌握“一线三垂直”模型，待定系数法是解题的关键．
4．【基础模型】
（1）如图，在中，，垂足为，，垂足为．求证：．

【模型拓展】
（2）在平面直角坐标系中，两条互相垂直的直线与都经过点，直线与轴的正半轴交于点，与轴正半轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点．
①如图，点是线段的中点，求线段的长度；
②连接，如果是等腰三角形，直接写出点的坐标．

【答案】（1）见解析；（2）①；②点坐标为或
【分析】(1)根据全等三角形的判定定理AAS推出即可；
(2) ①连接与，由已知可得DM是AB的垂直平分线可得AC=BC, 设，则，在中根据勾股定理可得AC的值；
②当是等腰三角形时,有三种情形，情形1：当，得为；情形2：当，得为；情形3：当得，为．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在与中
，
∴
（2）

①连接与，
∵为中点，，为，
∴，
∴，
又，
∴，
设，
则，
在中

∴
即的长为；
②情形1：

当时，又，
则是中点，
由①知，
∴为
情形2：

当时，则由（1）知
，∴，
设，
中，，
由勾股定理可知
，
∴，即，
∴为
情形3：

当时，
∵，
∴为中点，
又，
∴中，，
∴为
综上，点坐标为或．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角的判定、勾股定理，等腰三角形的性质、分类讨论思想，解题的关键是正确寻找等量关系利用勾股定理构建方程解决问题．本题综合性强，有一定难度．
5．问题背景
若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．
如图1，四边形中，是一条对角线，，，则点与点关于互为顶针点；若再满足，则点与点关于互为勾股顶针点．


初步思考
(1)如图2，在中，，，、为外两点，，，为等边三角形．
①点与点______关于互为顶针点；
②点与点______关于互为勾股顶针点，并说明理由．
实践操作
(2)在长方形中，，．
①如图3，点在边上，点在边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点、，使得点与点关于互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹)
思维探究
②如图4，点是直线上的动点，点是平面内一点，点与点关于互为勾股顶针点，直线与直线交于点．在点运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．
【答案】（1）①、，②，理由见解析；（2）①作图见解析；②与可能相等，的长度分别为，，2或18．
【分析】（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义即可判断．
（2）①以C为圆心，CB为半径画弧交AD于F，连接CF，作∠BCF的角平分线交AB于E，点E，点F即为所求．
②分四种情形：如图①中，当时；如图②中，当时；如图③中，当时，此时点F与D重合；如图④中，当时，点F与点D重合，分别求解即可解决问题．
【详解】解：（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义可知：
①点A与点D和E关于BC互为顶针点；
②点D与点A关于BC互为勾股顶针点，
理由：如图2中，
∵△BDC是等边三角形，
∴∠D＝60°，
∵AB＝AC，∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠A＋∠D＝180°，
∴点D与点A关于BC互为勾股顶针点，
故答案为：D和E，A．
（2）①如图，点、即为所求(本质就是点关于的对称点为，相当于折叠)．

②与可能相等，情况如下：
情况一：如图①，

由上一问易知，，
当时，设，连接，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
，
∴，
解得，即；
情况二：如图②

当时，设，同法可得，
则，，
则，，
在中，则有，
解得：；
情况三：如图③，

当时，此时点与重合，可得；
情况四：如图④，

当时,此时点与重合，可得．
综上所述，与可能相等，的长度分别为，，2或18．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
6．【发现】小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．
【体验】（1）从特殊入手   许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：

的大小
的形状

…

直角三角形

…

直角三角形

…

请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；
（2）猜想一般结论   在中，设，，（），
①若为直角三角形，则满足；
②若为锐角三角形，则满足____________；
③若为钝角三角形，则满足_____________．
【探索】在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．

【应用】在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（    ）
A．一定是锐角三角形
B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形
C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形

【答案】【体验】 （1），5；（2）②；③；【探索】为锐角三角形；道理见解析；【应用】．
【分析】本题从各个角度证明了勾股定理，运用图形与证明结合，依次证明即可,具体见详解.
【详解】体验： （1）

如上图，


（2）
根据大角对大边，若为直角三角形，则满足，那么锐角、钝角如下;
②；
③．
【探索】在中，，
在中，，
在中，，
∴，
∴为锐角
同理，和都为锐角．
∴为锐角三角形．
【应用】根据【探索】 中的方法，进行探究可以发现，可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形，故答案选C
【点睛】本题考查了勾股定理的证明及应用，以及三角形的边与边的关系，能利用数形结合是解答此题的关键.
7．问题：要在一条笔直的路边 l 上建一个燃气站，向 l 同侧的 A、B 两个城镇铺设管道输送燃气．如图①，已知 A、B 两个城镇到 l 的距离分别为 2km、3km，CD＝12km，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．

方案一：如图②，分别向 A、B 两个城镇输送燃气．具体方法是：作出点 A 关于直线 l 的对称点 A'，连接 A'B，线段 A'B 与直线 l 的交点 P 的位置即为所求，即在点 P 处建燃气站．

方案二：如图③，在点 C 处建燃气站，先向 A 城镇输送燃气，再向 B 城镇输送燃气．

(1)通过计算说明哪个方案路线更短；
(2)小明认为图②中点 P 的位置既然确定了，那么 CP 的长也就确定了，请写出求 CP 的长的思路．
【答案】(1)方案一，见解析；
(2)4.8km

【分析】（1）方案一，过点作E⊥BD，交延长线于E，求出BE，利用勾股定理求出铺设管道的路线的长；方案二，过点A作AF⊥BD于F，利用勾股定理求出AB，加上AC即得铺设管道的长，两者比较即可得到结论；
（2）设CP=xkm，则PD=(12-x)km，过点P作PH⊥A‘E于H，则A’H=CP=xkm，HE=PD=(12-x)km，由，得到方程，解方程即可求出CP的长．
(1)
解：方案一，如图，过点作E⊥BD，交延长线于E，
∵AC=2km，BD=3km，CD=12km，
由轴对称性，得C= AC=2km，
∴E=CD=12km，DE=C=2km，
∴BE=BD+DE=5km，
∴(km)；
即铺设管道的路线最短为13km；

方案二，过点A作AF⊥BD于F，则DF=AC=2km，AF=CD=12km，
∴BF=BD-DF=3-2=1km，
∴（km），
∴铺设管道的路线最短为（）km；

∵>13，
∴方案一路线更短；
(2)
解：设CP=xkm，则PD=(12-x)km，
过点P作PH⊥A‘E于H，则A’H=CP=xkm，HE=PD=(12-x)km，
∵，
∴，
解得x=4.8，
∴CP的长为4.8km．
．
【点睛】此题考查了轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理，解一元一次方程，熟记轴对称问题的解题思路及勾股定理是解题的关键．
8．如图①，是四边形ABCD的一个外角，，，点F在CD的延长线上，，，垂足为G．

（1）求证：
①DC平分；
②．
（2）如图②，若，，．
①求的度数；
②直接写出四边形ABCF的面积．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①90°；②
【分析】（1）①根据等边对等角性质和平行线的性质证得即可；
②过点F作，垂足为H，根据全等三角形的判定证明（AAS）和，再根据全等三角形的性质即可证得结论；
（2）①AD，BF的交点记为O．由（1）结论可求得AD，利用勾股定理在逆定理证得∠ABD=90°，根据三角形的内角和定了可推导出，再根据平角定义和四边形的内角和为360°求得∠AFD=90°；
②过B作BM⊥AD于M，根据三角形等面积法可求得BM，然后根据勾股定理求得FG，进而由求解即可．
【详解】（1）①证明：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴DC平分；
②证明：如图①，过点F作，垂足为H，

∵，又，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴，．
∵，
∴．
∴（LH），
∴=．
∴；
（2）①如图②，AD，BF的交点记为O．

由（1）知，，，,
∵，，
∴,
在中，，，
∴．
∴．
∵，
又，．
∴．
∵，又，
∴．
∵，
又，
∴．
∴．
∵，
∴
∴．
∴；
②过B作BM⊥AD于M，

∵∠ABD=90°，AB=4，BD=BC=3，AD=5，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴△BCD边BC上的高为，
∴，
∵∠AFD=90°，FG⊥AE，
∴，，
∵DG=1，，AD=4+1=5，
∴，，
解得：，，
∴，
∴FG=2，
∴，
∴四边形ABCF的面积为=．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、三角形的内角和定理、四边形的内角和、三角形的面积公式、等角的余角相等、解方程等知识，涉及知识点较多，综合性强，难度较难，解答的关键是熟练掌握相关知识的联系和运用．
9．我们可以沿直角三角形纸片的斜边中线把它剪成两个等腰三角形．

【初步思考】
（1）任意三角形纸片都可以剪成4个等腰三角形，在图①中画出分割线，并作适当的标注；
【深入思考】
（2）任意三角形纸片都可以剪成5个等腰三角形，在图②中画出分割线，并作适当的标注；
【回顾反思】
（3）在把一个三角形纸片剪成5个等腰三角形时，我们发现图②中的分割方法不能用于等边三角形．因此，我们需要为等边三角形想一种分割方案，请在图③中画出分割线，并作适当的标注；
（4）我们发现，不是所有三角形纸片都能剪成3个等腰三角形．当∠A＝110°，∠B为多少度时，△ABC能被剪成3个等腰三角形，请画出两种分割方案，并标注∠B和∠C的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析；（4）详见解析
【分析】（1）先作直角三角形，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；
（2）先作AD⊥BC于D，然后在DC上取点F，使AF=FC，然后再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；
（3）先作AD⊥BC于D，然后在AD上取点F，使AF=FC，然后再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；
（4）作∠BAD，使∠BAD=∠B，同时使∠DAC为90°时，可得到∠B和∠C的大小，再借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；作∠CAD，使∠CAD=∠C，同时使∠ADC为90°时，可得到∠B和∠C的大小，再借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】解：（1）如图①，过A作AD⊥BC于D，分别取AB中点E，AC中点F，连接ED，DF，

EB＝ED，EA＝ED，FA＝FD，FC＝FD；
（2）如图②，过A作AD⊥BC于D，取AB中点E，在DC上取点F使AF=FC，取AF的中点G，连接ED，DG，

EB＝ED，EA＝ED，FA＝FC，GA＝GD，GF＝GD；
（3）如图③，过A作AD⊥BC于D，取AB中点E，在AD上取点F使AF=FC，取CF的中点G，连接ED，DG，

EB＝ED，EA＝ED，FA＝FC，GF＝GD，GC＝GD；
（4）第一种分割方案如图④，

DA＝DB，EA＝ED，EA＝EC；
第二种分割方案如图⑤

DA＝DC，EB＝ED，EA＝ED．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，找到两边相等或两角相等是解题的关键．
10．（1）【探索研究】
老师在课堂上给出了这样一道题目：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．试探究线段BE和CD的数量关系．小明同学经过认真思考后认为：先延长CA、BE相交于点为F，再证明△ACD≌△ABF即可，请根据小明同学的思路补全图形并直接写出线段BE和CD的数量关系．

（2）【类比探究】
老师引导同学们继续研究：
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F，试探究线段BE与FD的数量关系，并证明你的结论．

【答案】（1）图见解析，；（2），证明见解析．
【分析】（1）延长BE交CA延长线于F，证明△CEF≌△CEB，得到FE=BE，证明△ACD≌△ABF，得到CD=BF，证明结论；
（2）过点D作DG∥CA，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，证明∠BHD=∠A=90°，BH=DH，，于是与（1）同理可证．
【详解】解：（1），理由如下：
延长BE交CA延长线于F，
∵BE⊥CD，
∴，
∵∠BAC＝90°，∠EDB=∠ADC，
∴，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCE=∠BCE，
在△CEF和△CEB中，
，
∴△CEF≌△CEB（ASA），
∴FE=BE，
在△ACD和△ABF中，
,
∴△ACD≌△ABF（ASA），
∴CD=BF，
∴；
（2），理由如下：
证明：过点D作DG∥CA，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，
∵DG∥AC，
∴∠GDB =∠C，∠BHD=∠A=90°，
，
，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠ABC=∠GDB，
∴BH=DH，
与（1）同理可证△DEG≌△DEB（ASA），△HDF≌△HBG，
∴GE=BE，FD=BG，
∴．

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
11．【方法总结】
以下是某同学对一道《学习与评价》习题的分析与反思．
题目：如图，在中，是的平分线，点、分别在边、上，．

求证：．
分析：作，，垂足分别为、．根据角平分线的性质，得．
再证明，得．
反思：遇到和角平分线有关的题目，可以尝试向角的两边作垂线段来寻求解题思路．

根据上述解题经验，解决下列问题．
【变式迁移】
（1）如图，四边形中，，

求证：平分．
【问题解决】
（2）如图，在中，，是边上的中线，将沿翻折后得到，连接．若，，直接写出的长．

【答案】（1）见解析；（2）AE=1.4
【分析】（1）过作，垂足为，作，交延长线于，根据已知条件利用可得，可得，即可得出结论；
（2）利用（1）中的思路做辅助线过作直线与直线的垂线，构造,利用勾股定理分别计算出AH，BH，可得AE=AG-GE=AH-BH；
【详解】（1）过作，垂足为，作，交延长线于．




又，

在与中



又，
平分
（2）
∵是边上的中线，∠ACB=90°
∴CD=AD=BD
∴
又由翻折，可知翻折前后对应角相等

，

又

又中，
即，
则由第（1）问知，平分
过作直线与直线的垂线如图，

由（1）可得CH=CG, BH=GE
∴AG=AH
∵AC=4,BC=3,∠ACB=90°
∴AB=
∴S△ABC
∴，
在Rt△ACH中，



．
【点睛】本题考查了角平分线的判定、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），参照方法1，通过作辅助线，构造全等三角形利用勾股定理是解题关键．
12．【基础模型】
已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB，过点C任作一条直线l（不与CA、CB重合），过点A作AD⊥l于D，过点B作BE⊥l于 E．

（1）如图②，当点A、B在直线l异侧时，求证：△ACD≌△CBE
【模型应用】
在平面直角坐标性xOy中，已知直线l：y＝kx﹣4k（k为常数，k≠0）与x轴交于点A，与y轴的负半轴交于点 B．以AB为边、B为直角顶点作等腰直角△ABC．
（2）若直线l经过点（2，﹣3），当点C在第三象限时，点C的坐标为　 　．
（3）若D是函数y＝x（x＜0）图象上的点，且BD∥x轴，当点C在第四象限时，连接CD交y轴于点E，则EB的长度为　 　．
（4）设点C的坐标为（a，b），探索a，b之间满足的等量关系，直接写出结论．（不含字母k）

【答案】（1）详见解析；（2）(﹣6，﹣2)；（3）2；（4）a+ b=-4或b﹣a＝4．
【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠CAD＝∠BCE，进而利用AAS即可得出结论；
（2）先求出直线l的解析式，进而确定出点A，B坐标，再判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；
（3）同（2）的方法可得△OAB≌△FBC，从而得BF＝OA＝4，再证△BED≌△FEC（AAS），即可得到答案；
（4）分点C在第二象限，第三象限和第四象限三种情况：先确定出点A，B坐标，再同（2）（3）的方法确定出点C的坐标（用k表示），即可得出结论．
【详解】（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠ECB＝90°，
∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵CA＝CB，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，
∵直线l：y＝kx﹣4k经过点(2，﹣3)，
∴2k﹣4k＝﹣3，
∴k＝，
∴直线l的解析式为：y＝x﹣6，
令x＝0，则y＝﹣6，
∴B(0，﹣6)，
∴OB＝6，
令y＝0，则0＝x﹣6，
∴x＝4，
∴A(4，0)，
∴OA＝4，
同（1）的方法得：△OAB≌△EBC（AAS），
∴CE＝OB＝6，BE＝OA＝4，
∴OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2，
∵点C在第三象限，
∴C(﹣6，﹣2)，
故答案为：(﹣6，﹣2)；
（3）如图2，
对于直线l：y＝kx﹣4k，
令x＝0，则y＝﹣4k，
∴B(0，﹣4k)，
∴OB＝4k，
令y＝0，则kx﹣4k＝0，
∴x＝4，
∴A(4，0)，
∴OA＝4，
过点C作CF⊥y轴于F，则△OAB≌△FBC（AAS），
∴BF＝OA＝4，CF＝OB＝4k，
∴OF＝OB+BF＝4k+4，
∵点C在第四象限，
∴C(4k，-4k-4)，
∵B(0，﹣4k)，
∵BD∥x轴，且D在y＝x上，
∴D(﹣4k，﹣4k)，
∴BD＝4k＝CF，
∵CF⊥y轴于F，
∴∠CFE＝90°，
∵BD∥x轴，
∴∠DBE＝90°＝∠CFE，
∵∠BED＝∠FEC，
∴△BED≌△FEC（AAS），
∴BE＝EF＝BF＝2，
故答案为：2；
（4）①当点C在第四象限时，由（3）知，C(4k，-4k-4)，
∵C(a，b)，
∴a＝4k，b＝-4k-4，
∴a+ b=-4；
②当点C在第三象限时，由（3）知，B(0，﹣4k)，A(4，0)，
∴OB＝4k，OA＝4，
如图1，由（2）知，△OAB≌△EBC（AAS），
∴CE＝OB＝4k，BE＝OA＝4，
∴OE＝OB﹣BE＝4k﹣4，
∴C(﹣4k，-4k+4)，
∵C(a，b)，
∴a＝﹣4k，b＝-4k+4，
∴b﹣a＝4；
③当点C在第二象限时，如图3，由（3）知，B(0，﹣4k)，A(4，0)，
∴OB＝4k，OA＝4，
∵△OAB≌△MBC（AAS），
∴CM＝OB＝4k，BM＝OA＝4，
∴OM＝BM﹣BO＝4﹣4k，
∴C(﹣4k，4﹣4k)，
∵C(a，b)，
∴a＝﹣4k，b＝4﹣4k，
∴b﹣a＝4；
④点C不可能在第一象限；
综上所述：a+ b=-4或b﹣a＝4．

图3
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理与等腰直角三角形的性质定理以及一次函数图象的综合，掌握“一线三垂直”三角形全等模型，是解题的关键．
13．已如，在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为，点在轴上，作直线.点关于直线的对称点刚好在轴上，连接.
（1）写出一点的坐标，并求出直线对应的函数表达式；
（2）点在线段上，连接、、，当是等腰直角三角形时，求点坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向原点运动，到达点时停止运动，连接，过作的垂线，交轴于点，问点运动几秒时是等腰三角形.

【答案】（1），（2）点坐标为，（3）点运动时间为1秒或秒或3.75秒.
【分析】（1）由勾股定理求出AB=10，即可求出A=10，从而可求出，设C（0，m），在直角三角形中，运用勾股定理可求出m的值，从而确定点C的坐标，再利用待定系数法求出AC的解析式即可；
（2）由垂直平分可证，过点作轴于点，轴于点，证明可得DE=DF，设D（a，a）代入求解即可；
（3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分类讨论即可得解：
【详解】（1），
，
，
，
，
，
点、关于直线的对称，
垂直平分，
，
，
设点坐标为，则，
，
在中，，
，

，
点坐标为.
设直线对应的函数表达式为，
把代入，
得，
解得，
直线对应的函数关系是为，
（2）垂直平分，
，
是等腰直角三角形，

过点作轴于点，轴于点.

，
，，
，
，
，
，
，
设点坐标为，
把点代入，
得
，
点坐标为，
（3）同（2）可得
又


①当时，
轴，



点运动时间为1秒.

②当时，


，


点运动时间为秒.

③当时，

设，则
在中，，




点运动时间为3.75秒.
综上所述，点运动时间为1秒或秒或3.75秒.
【点睛】此题涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键，第三问题要注意分类讨论，不要丢解．
14．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点.由，得.又，可以推理得到.进而得到 ， .我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；

【模型应用】（2）①如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点.求证：点是的中点；

②如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点.若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标.

【答案】（1）DE，AE；（2）①见解析；②，
【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①作DM⊥AH于M，EN⊥AH于N，根据余角的性质得到∠B=∠1，根据全等三角形的性质得到AH=DM，同理AH=EN，求得EN=DM，由全等三角形的性质得到DG=EG，于是得到点G是DE的中点；
②过A作AM⊥y轴，过B作BN⊥x轴于N，AM与BN相交于M，根据余角的性质得到∠OBN=∠BAM，根据全等三角形的性质得到AM=BN，ON=BM，设AM=x，则BN=AM=x，从而得到结论．
【详解】解：（1）AC=DE，BC=AE；
故答案为：，
（2）①如图，作于，于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，，，，
∴（），
∴，
同理，
∴，
∵，，
∴，
在与中，，，，
∴（），
∴，
∴点是的中点；

②如图，过A作AM⊥y轴，过B作BN⊥x轴于N，AM与BN相交于M，

∴∠M=90°，
∵∠OBA=90°，
∴∠ABM+∠OBN=90°，
∵∠ABM+∠BAM=90°，
∴∠OBN=∠BAM，
在△OBN与△BAM中， ，
∴△OBN≌△BAM（AAS），
∴AM=BN，ON=BM，
设AM=x，则BN=AM=x，
∴ON= x+2，
∴MB+NB=x+x+2=MN=4，
∴x=1，x+2=3，
∴点B的坐标（3,1）；
如图

同理可得，点B的坐标（-1,3），
综上所述，点B的坐标为，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，余角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．如图1，在直角坐标系xoy中，点A、B分别在x、y轴的正半轴上，将线段AB绕点B顺时针旋转90°，点A的对应点为点C．

（1）若A（6，0），B（0，4），求点C的坐标；
（2）以B为直角顶点，以AB和OB为直角边分别在第一、二象限作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBE，连DE交y轴于点M，当点A和点B分别在x、y轴的正半轴上运动时，判断并证明AO与MB的数量关系．
【答案】（1）C(－4，－2)；（2）AO＝ 2MB．证明见解析.
【分析】（1）过C点作y轴的垂线段，垂足为H点，证明△ABO≌△BCH，利用全等三角形的性质结合C在第三象限即可求得C点坐标；
（2）过D点作DN⊥y轴于点N，证明△DBN≌△BAO，根据全等三角形对应边相等BN＝AO，DN＝BO，再证明△DMN≌△EMB，可得MN＝MB，于是可得AO＝2MB.
【详解】（1）解：过C点作y轴的垂线段，垂足为H点．

∴∠BHC＝∠AOB＝90°，
∵A（6，0），B（0，4）
∴OA=6，OB=4
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO＋∠OBC＝90°，又∠ABO＋∠OAB＝90°，
∴∠OBC＝∠OAB，
∵在△ABO和△BCH中
∴△ABO≌△BCH，
∴AO＝BH＝6，CH＝BO＝4，
∴OH＝2，
∴C(－4，－2)．
（2）AO＝ 2MB．
过D点作DN⊥y轴于点N，

∴∠BND＝∠AOB＝90°，
∵△ABD、△OBE为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝∠OBE＝90°，AB＝BD，BO＝BE，
∴∠DBN＋∠ABO＝∠BAO＋∠ABO＝90°，
∴∠DBN＝∠BAO，
∴△DBN≌△BAO，
∴BN＝AO，DN＝BO，
在△DMN和△EMB中，
∵DN＝BO=BE，∠DNM＝∠EBM，∠DMN＝∠EMB，
∴△DMN≌△EMB，
∴MN＝MB＝BN＝AO
∴AO＝2MB．
【点睛】本题考查坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质.能正确作出辅助线，并根据全等三角形的判定定理证明三角形全等是解决此题的关键.
16．如图，将一张边长为8的正方形纸片OABC放在直角坐标系中，使得OA与y轴重合，OC与x轴重合，点P为正方形AB边上的一点(不与点A、点B重合)．将正方形纸片折叠，使点O落在P处，点C落在G处，PG交BC于H，折痕为EF．连接OP、OH．
初步探究
（1）当AP=4时
①直接写出点E的坐标　　　　；
②求直线EF的函数表达式．
深入探究
（2）当点P在边AB上移动时，∠APO与∠OPH的度数总是相等，请说明理由．
拓展应用
（3）当点P在边AB上移动时，△PBH的周长是否发生变化？并证明你的结论．

【答案】（1）①(0，5)；②；（2）理由见解析；（3）周长=16，不会发生变化，证明见解析．
【分析】（1）①设：OE＝PE＝a，则AE＝8﹣a，AP＝4，在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2＝AE2+AP2，即可求解；
②证明△AOP≌△FRE（AAS），则ER＝AP＝4，故点F（8，1），即可求解；
（2）∠EOP＝∠EPO，而∠EPH＝∠EOC＝90°，故∠EPH﹣∠EPO＝∠EOC﹣∠EOP，即∠POC＝∠OPH，又因为AB∥OC，故∠APO＝∠POC，即可求解；
（3）证明△AOP≌△QOP（AAS）、△OCH≌△OQH（SAS），则CH＝QH，即可求解．
【详解】（1）①设：OE=PE=a，则AE=8﹣a，AP=4，
在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2=AE2+AP2，
即a2=(8﹣a)2+16，解得：a=5，
故点E(0，5)．
故答案为：(0，5)；
②过点F作FR⊥y轴于点R，

折叠后点O落在P处，则点O、P关于直线EF对称，则OP⊥EF，
∴∠EFR+∠FER=90°，而∠FER+∠AOP=90°，
∴∠AOP=∠EFR，
而∠OAP=∠FRE，RF=AO，
∴△AOP≌△FRE(AAS)，
∴ER=AP=4，
OR=EO﹣OR=5﹣4=1，故点F(8，1)，
将点E、F的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b
得：，解得：，
故直线EF的表达式为：y=﹣x+5；
（2）∵PE=OE，
∴∠EOP=∠EPO．
又∵∠EPH=∠EOC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPO=∠EOC﹣∠EOP．
即∠POC=∠OPH．
又∵AB∥OC，
∴∠APO=∠POC，
∴∠APO=∠OPH；
（3）如图，过O作OQ⊥PH，垂足为Q．

由（1）知∠APO=∠OPH，
在△AOP和△QOP中，

∴△AOP≌△QOP(AAS)，
∴AP=QP，AO=OQ．
又∵AO=OC，
∴OC=OQ．
又∵∠C=∠OQH=90°，OH=OH，
∴△OCH≌△OQH(SAS)，
∴CH=QH，
∴△PHB的周长=PB+BH+PH=AP+PB+BH+HC=AB+CB=16．
故答案为：16．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．
17．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．

(1)如图1，三角形内角分别为80°、25°、75°，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．
(2)如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D．求证：AD是△ABC的一条双腰分割线．
(3)如图3，已知△ABC中，∠B＝64°，AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB＝AD．
①求∠C的度数．
②若AB＝3，AC＝5，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①∠C=23°；②BC=

【分析】（1）从 三个顶点出发各作一条线段，根据等边对等角，求出角度，看是否符合另一个三角形也是等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的判定和性质求解可得．
（3）①由AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB=AD．得AB=AD=CD，∠B=∠ADB=64°，从而求得∠C=∠CAD=∠ADB=32°；
②过点A作AE⊥BC于点E，Rt△ABE中，AE2=AB2-BE2=32-x2，Rt△ACE中，AE2=52-（3+x）2，得32-x2=52-（3+x）2，解方程即可．
(1)
解：线段AD是△ABC的双腰分割线，每个等腰三角形各角的度数；

(2)
证明：∵线段AC的垂直平分线交AC于点E，
∴AD=CD，
∴△ADC是等腰三角形，
∴∠C=∠DAC，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠B=∠ADB，
∴AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AD是△ABC的一条双腰分割线．
(3)
①∵AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB=AD．
∴AB=AD=CD，
∴∠B=∠ADB=64°，
∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD=∠ADB=32°；
②过点A作AE⊥BC于点E，

∵AB=AD=CD=3，
∴BE=DE，
设BE为x，
∵Rt△ABE中，AE2=AB2-BE2=32-x2，
Rt△ACE中，AE2=52-（3+x）2，
∴32-x2=52-（3+x）2，
解得，x=，
∴BC=×2+3=．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质．
18．小乾同学提出一种新图形定义：一组对边相等且垂直的四边形叫等垂四边形．如图1，四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，四边形ABCD即为等垂四边形，其中相等的边AB、CD称为腰，另两边AD、BC称为底．

(1)性质初探：小乾同学探索了等垂四边形的一些性质，请你补充完整：
①等垂四边形两个钝角的和为 °；
②若等垂四边形的两底平行，则它的最小内角为 °．
(2)拓展研究：
①小坤同学发现两底中点的连线与腰长有特定的关系，如图2，M、N分别为等垂四边形ABCD的底AD、BC的中点，试探索MN与AB的数量关系，小坤的想法是把其中一腰绕一个中点旋转180°，请按此方法求出MN与AB的数量关系，并写出AB与MN所在直线相交所成的锐角度数．
②如图1，等垂四边形ABCD的腰为AB、CD，AB=CD=AD=3，则较长的底BC长的取值范围是 ．
(3)实践应用：如图3，直线l1，l2是两条相互垂直的公路，利用三段围栏AB、BC、AD靠路边按如图方式围成一块四边形种植园，第四条边CD做成一条隔离带，已知AB=250米，BC=240米，AD=320米，此隔离带最长为多少米？
【答案】(1)①270；②45；
(2)①，AB与MN所在直线相交所成的锐角度数为45°，理由见解析；②；
(3)650米

【分析】（1）①延长CD与BA延长线交于点P，则∠P=90°，可以得到∠B+∠C=90°，再由∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°，即可得到∠BAD+∠ADC=270°；②延长CD交BA延长线于P，过点D作DE∥AB交BC于E，则∠DEC=∠B，由等垂四边形的两底平行，即AD∥BC，可证四边形ABED是平行四边形，得到DE=AB，再由AB=CD，AB⊥CD得到DE=CD，DE⊥CD，则∠DEC=∠C=45°，即四边形ABCD的最小内角为45°；
（2）①延长CD交BA延长线与P，交NM延长线与Q，NM延长线与BA延长线交于点F，将腰AB绕中点M旋转180°得到DE，连接CE，BE，由旋转的性质可得：MB=ME，AB=DE，∠ABM=∠DEM，则CD=AB=DE，AB∥DE，即可推出∠DEC=∠DCE，∠EDC=∠EDP=∠BPD=90°，由勾股定理得到，∠DEC=∠DCE=45°，再证MN是△BCE的中位线，得到，MN∥CE，则∠NQC=∠DCE=45°，由此即可推出直线AB与直线MN所在直线相交所成的锐角度数为45°；②延长CD交BA延长线于P，取AD，BC的中点，M、N连接PM，PN，同理可得∠APD=90°，则，，即，由（2）①可知，即可推出，再由∠PMN随着PA减小而减小，当点P与点A重合时，∠PMN最小，此时PN最小，即BC最小，即此时A、D、C三点共线由勾股定理得：，则；
（3）仿照（2）②进行求解即可．
（1）
解：①如图所示，延长CD与BA延长线交于点P，
∵四边形ABCD为等垂四边形，即AB=CD，AB⊥CD，
∴∠P=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°，
∴∠BAD+∠ADC=270°，
故答案为：270；

②如图所示，延长CD交BA延长线于P，过点D作DE∥AB交BC于E，
∴∠DEC=∠B，
∵等垂四边形的两底平行，即AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE=AB，
又∵AB=CD，AB⊥CD
∴DE=CD，DE⊥CD，
∴∠DEC=∠C=45°，
∴四边形ABCD的最小内角为45°，
故答案为：45；

（2）
解：①，AB与MN所在直线相交所成的锐角度数为45°，理由如下：
延长CD交BA延长线与P，交NM延长线与Q，NM延长线与BA延长线交于点F，将腰AB绕中点M旋转180°得到DE，连接CE，BE，
∵四边形ABCD是等垂四边形，
∴AB=CD，AB⊥CD，
∴∠BPC=90°，
∵M是AD的中点，
∴MA=MD，
由旋转的性质可得：MB=ME，AB=DE，∠ABM=∠DEM，
∴CD=AB=DE，AB∥DE，
∴∠DEC=∠DCE，∠EDC=∠EDP=∠BPD=90°，
∴，∠DEC=∠DCE=45°，
又∵M、N分别是BE，BC的中点，
∴MN是△BCE的中位线，
∴，MN∥CE，
∴∠NQC=∠DCE=45°，
∵∠BPC=90°，
∴∠QPF=90°，
∴∠QFP=45°，
∴直线AB与直线MN所在直线相交所成的锐角度数为45°；

②如图所示，延长CD交BA延长线于P，取AD，BC的中点，M、N连接PM，PN，
同理可得∠APD=90°，
∴，，即，
由（2）①可知，
∵，
∴，
又∵∠PMN随着PA减小而减小，当点P与点A重合时，∠PMN最小，此时PN最小，即BC最小，即此时A、D、C三点共线
由勾股定理得：，
∴
故答案为：；

（3）
解：如图所示，取AB，CD的中点M，N，连接MN，作点C关于M的对称点E，连接CE，AE，DE，设直线l1与直线l2交于点P，
由（2）可知，AE∥BC，AE=BC=240米，
∵l1⊥l2，
∴∠APB=∠PAE=90°，
∴∠DAE=90°，
∴米，
∵M、N分别是CE，CD的中点，
∴MN是△CED的中位线，
∴米，MN∥DE，
∵M为AB的中点，∠APB=90°，
∴米，
同理可得，即
∴米，
∴米，
∴隔离带最长为650米．

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形三边的关系等等，解题的关键在于能够正确理解题意作出辅助线求解．
19．同学们：八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换     旋转，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法．

（1）【问题提出】
如图①，在正方形ABCD中，∠MAN=45°，点M、N分别在边BC、CD上．求证：MN＝BM＋DN．   
证明思路如下：
第一步：如图②，将绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE，再证明E、B、M三点在一条直线上．
第二步：证明．
请你按照证明思路写出完整的证明过程.
（2）【初步思考】
如图③，四边形ABCD和CEFG为正方形，连接DG、BE，得到和．
下列关于这两个三角形的结论：①周长相等； ②面积相等； ③∠CBE=∠CDG．
其中所有正确结论的序号是　　 　．

（3）【深入研究】
如图④，分别以□ABCD的四条边为边向外作正方形，连接EF，GH，IJ，KL．若□ABCD的面积为8，则图中阴影部分（四个三角形）的面积之和为　　 　．
【答案】（1）详见解析；（2）②；（3）16
【分析】（1）将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE，证明，即可得到结论；
（2）通过证明与不一定全等，可以判断①③，过作于 过作交的延长线于，证明再利用正方形的性质与三角形的面积公式可判断②．
（3）连接 证明同理可得到其余的全等三角形，利用平行四边形的性质可得答案．
【详解】（1）证明：将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE，
在正方形ABCD中，∠BAD=∠ABM=∠D=90°，
由旋转可知，
∴ ∠D=∠ABE=90°，∠DAN=∠BAE，AN=AE，DN=BE，
∴ ∠ABE＋∠ABM=180°
∴ E、B、M三点在一条直线上             
∵ ∠MAN=45°
∴ ∠DAN＋∠BAM=45°
∵ ∠DAN=∠BAE
∴ ∠BAE＋∠BAM=∠EAM=45°  
  ∴ ∠EAM=∠MAN   
∵ AN=AE，AM=AM
∴ （SAS）
∴ ME=MN   
∵ ME=BE＋BM
∴ MN=DN＋BM   
      
（2）如图， 正方形，正方形，

但是： 而与不一定相等，
所以：与不一定全等，
所以：两个三角形的周长不一定相等，与不一定相等，
故①③错误，
过作于 过作交的延长线于，
正方形，



正方形，









故②正确．

故答案为：② ．                                      
（3）如图，连接
正方形正方形 ，




同理，
所以：图中阴影部分（四个三角形）的面积之和＝

故答案为：16
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质与正方形的性质，作出适当的辅助线构建三角形全等是解题的关键．
20．点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCFG，连接AF、BD．
（1）如图①，AF与BD的数量关系和位置关系分别为　　　　；
（2）将正方形BCFG绕着点C顺时针旋转α角(0°＜α＜360°)，
①如图②，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由．
②若AC=4，BC=2，当正方形BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，求DB的长度．

【答案】（1）AF=BD，AF⊥BD（2）①第（1）问的结论仍然成立，理由见解析；②DB的长度为22或22．
【分析】（1）利用正方形的性质证明△ACF≌△DCB，得到AF=BD，∠CAF=∠CDB，再通过等量代换即可证明AF⊥BD，从而可得出AF与BD的数量关系和位置关系；
（2）①仍然利用正方形的性质证明△ACF≌△DCB，得到AF=BD，∠CAF=∠CDB，再通过等量代换即可证明AF⊥BD，从而可得出AF与BD的数量关系和位置关系；
②分两种情况：点F在线段AB上或点F在线段AB的延长线上，分别画出图形，利用正方形的性质，勾股定理及（1）种的结论求解即可．
【详解】（1）AF与BD的数量关系和位置关系分别为AF=BD，AF⊥BD．理由如下：
延长AF交BD于H，如图①所示：

∵四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，
∴AC=CD，CF=CB，∠ACF=∠DCB=90°，
∴∠CAF+∠AFC=90°，
在△ACF和△DCB中，，
∴△ACF≌△DCB(SAS)，
∴AF=BD，∠CAF=∠CDB．
∵∠DFH=∠AFC，
∴∠CDB+∠DFH=∠CAF+∠AFC=90°，
∴∠DHF=90°，
∴AF⊥BD．
故答案为：AF=BD，AF⊥BD；
（2）①第（1）问的结论仍然成立．理由如下：
设AF交CD于点M，如图②所示：

∵四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，
∴AC=CD，CF=CB，∠ACD=∠FCB=90°，
∴∠CAF+∠AMC=90°，∴∠ACD+∠DCF=∠FCB+∠DCF，
即∠ACF=∠BCD，
在△ACF和△DCB中，，
∴△ACF≌△DCB(SAS)，
∴AF=BD，∠CAF=∠CDB．
∵∠DMH=∠AMC，
∴∠CDB+∠DMH=∠CAF+∠AMC=90°，
∴∠DHM=90°，∴AF⊥BD；
②分两种情况：
a、如图③所示：连接CG交BF于O．

∵四边形BCFG是正方形，
∴CB=FB，BF⊥CG，∠BGF=90°，OB=OF=OC=OG，
∴BF=CGBC24，OB=OF=OCBF=2，
∴AO2，
∴AF=AO+OF=22，
由（2）得：AF=DB，
∴DB=22；
b、如图④所示：连接CG交BF于O，

同上得：OB=OF=OCBF=2，AO2，
∴AF=AO﹣OF=22，
由（2）得：AF=DB，
∴DB=22；
综上所述：当正方形BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，DB的长度为22或22．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握这些性质及定理并分情况讨论是解题的关键．