第15讲 2023高考热点分类提分复习 正余弦定理与解三角形小题归类2
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第15讲 正余弦定理与解三角形小题归类2
目录
【题型一】图形5：“扩展线” 2
【题型二】 向量 5
【题型三】 四心1：外心 8
【题型四】 四心2：内心 12
【题型五】 四心3：重心 12
【题型六】 四心4：垂心 12
【题型七】 解三角形应用题 13
【题型八】 超难压轴小题1 13
【题型九】 超难压轴小题2 13
热点题型总结
【题型一】图形5：“扩展线”
【典例分析】
在中，是边上的一点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
解：如图所示，
在中，，，所以，
由正弦定理知，设，，，
所以，
设，在中，由正弦定理得：，
则，即，所以，
整理得，
即，即，
所以，
又，则，所以．故选：C.
【提分秘籍】
基本规律
“扩展线”型，多选择合适的角度作为变量，构造等量或者函数关系。
【变式演练】
1.在中，，，且有，则线段长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
在中，设角、、的对边分别为、、，
由正弦定理可得，则，，
，即，
所以，
，
所以，，，则，当时，即当时，取最大值，
即.故选：C.
2.如图，为的边上一点，，，，当取最小值时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
设，，，则，，
在中，，，，
又，
，，
，整理得，
当时，有最小值，此时取最小值，此时，
所以.
故选：C.
3.在中，，若点P是所在平面内任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
由于，设是上一点，且，所以，.由，得，.设，在三角形中，.由正弦定理得，即，解得，所以.在三角形中，由余弦定理得，化简得，解得.表示平面内的点到两点的距离之差，所以，所以.
故选：D
【题型二】 向量
【典例分析】
在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为
A． B． C． D．
【详解】
在中，设，，，
，即，即，，
，，，，，
，即，又，，
，则，所以，，解得，.
以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、，
为线段上的一点，则存在实数使得，
，
设，，则，，，
，，消去得，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：A.
【提分秘籍】
基本规律
1.适当选择“基底”进行进行线性拆分
2.利用等和线、均值不等式等知识。
3.常用的计算思维：两边平方
【变式演练】
1.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，点D在边上，且，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
【详解】
由及正弦定理，得，即，
由余弦定理得，，∵，∴.
由于，∴，两边平方，得
，当且仅当时取等号，即，∴线段长度的最小值为.故选：A.
2.在平行四边形ABCD中，，则cos∠ABD的范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
因为，所以；
不妨设，则，
把两边同时平方可得，即；
在中，，所以；
；
令，，则，
易知，为增函数，所以.
故选：D.
3.设O是的外心，满足，，若，则的面积是
A．4 B． C．8 D．6
【详解】
取AC中点D，因为O是的外心，所以
则 ，解得：
所以
即
故选：B
【题型三】 四心1：外心
【典例分析】
在中，分别为的对边，为的外心，且有，，若，，则
A． B． C． D．
【详解】因为，
所以，又因为，
所以，所以，
所以，即，
所以，所以，
所以，
如图所示：
由正弦定理得：，
因为，则，
所以，
即，则，
所以，
即，，.故选：A.
【提分秘籍】
基本规律
1.向量表示：在中，若或，则点是的外心
2.三角形中垂线的交点。
3.正弦定理
【变式演练】
1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O为△ABC的外心，G为△ABC的重心，则OG的最小值为
A．1 B． C．1 D．
【详解】A=5sin（B），c=5，∴acsin（B），
由正弦定理可得：sinAsinC （sinB+cosB），
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinCcosB，
化为：sinBcosC=sinCsinB，sinB0，
∴cosC=sinC，即tanC=1，C∈（0，π）.∴C.
∴△ABC外接圆的半径R .
如图所示，建立直角坐标系.A（，0），B（，0），O（0，）
.
△ABC外接圆的方程为：x2.
设C（cosθ，sinθ）.θ∈（0，π）
则G.
|OG|2sinθ，
∴|OG|的最小值为：.故选：D.
2.在中，，，分别为内角，，的对边，为的外心，且有，，若，，则________．
【详解】由正弦定理得，所以，即，
由条件得，联立解得，或.
当时，由，得，
即，所以. ——————————————①
同理，由，得，
即，即，所以. ②
联立①②解得. 故.
当时，同理可得——③，——④
解得.故答案为：或.
3.已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为
A．3 B． C． D．
【详解】如图所示：
设，，，，
由
得，
化简得，
由是三角形的外心可知，是三边中垂线交点，
得，，
代入上式得，∴.
根据题意知，是三角形外接圆的半径，
可得，，
代入得，
∴，
当且仅当“”时，等号成立.故选：D.
【题型四】 四心2：内心
【典例分析】
已知的内角分别为，，且的内切圆面积为，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．
【详解】由题设，，又∴，又，故，则，又的内切圆面积为，若内切圆半径为，对应边分别为，
∴，则，易知：，∵，
∴，又，即，
∵，当且仅当时等号成立，
∴，即，可得，
∴，在时等号成立.∴的最小值为6.故选：A
【提分秘籍】
基本规律
1.角平分线的交点。
2.向量表示：在中，若，则直线通过的内心
3.角平分线定理
4.面积法
【变式演练】
1..已知△的内角所对的边分别为若，且△内切圆面积为，则△面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
由题设，，而且，
∴，，则，
∴，由题设△内切圆半径，又，
∴，而，即，
∴，可得，当且仅当时等号成立.
∴.故选：D
2.设△的三边长为，，，若，，则△是（ ）．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【详解】
设，△的内切圆半径为r，如图所示，
法一： ∴①；②.
①÷②，得：，即．于是，
，，从而得或，
∴或．故△为等腰三角形或直角三角形，
（1） 当时，内心I在等腰三角形的底边上的高上，
，从而得．
又，代入①式，得，
即，上式两边同时平方，得：，
化简，即．即△直角三角形，
∴△为等腰直角三角形．
（2） 当时，易得．
代入②式，得，此式恒成立，
综上，△为直角三角形．
法二：利用，及正弦定理和题设条件，
得①，②.
∴③；④.
由③和④得：，
即，，
因为为三角形内角，
∴或，即或．
（1）若，代入③得：⑤
又，
将其代入⑤，得：．
变形得，
即⑥，
由知A为锐角，从而知．
∴由⑥，得：，即，从而，．
因此，△为等腰直角三角形．（2）若，即，此时③④恒成立，
综上，△为直角三角形．故选：B
3.已知内接于半径为2的，内角A，B，C的角平分线分别与相交于D，E，F三点，若，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】连接，在三角形中，由正弦定理得，故.
同理可得、，故，故.
故选D.
【题型五】 四心3：重心
【典例分析】
在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
延长交于，如下图所示：
为的重心，为中点且，
，，；
在中，；
在中，；
，，
即，整理可得：，为锐角；
设为钝角，则，，，
，，解得：，，，
由余弦定理得：，
又为锐角，，即的取值范围为.故选：C.
【提分秘籍】
基本规律
1.中线交点。中线段的三等分点。
2.分割成三个形状不同面积相等的三角形。
3.向量表示：在中，若，则直线过的重心
【变式演练】
1.已知的内角，，的对边分别为，，，且，，点是的重心，且，则的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
详解：由题根据正弦定理可得则
2.设的内角的对边分别为，点为的重心且满足向量，若，则实数
A．3 B．2 C． D．
【详解】
如图，连接，延长交交于，
由于为重心，故为中点，
由重心的性质得， ，即
由余弦定理得，
，可得：
，
故选C．
3.已知四边形的面积为2022，E为边上一点，，，的重心分别为，，，那么的面积为___________．
【详解】
以点A为原点，射线AD为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，
设，因，，的重心分别为，，，
则，，，，
面积
，同理可得四边形的面积：
，
于是得，
所以的面积为.
故答案为：
【题型六】 四心4：垂心
【典例分析】
若是垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】在中，，由，
得，连接并延长交于，因为是的垂心，所以，，
所以同乘以得，
因为，所以由正弦定理可得
又，所以有，而，
所以，所以得到，
而，所以得到，故选：D.
【提分秘籍】
基本规律
1.三角形三条高的交点
2.在中，若，则点是的垂心
3.多与面积有关。
【变式演练】
1.点P为所在平面内的动点，满足，，则点P的轨迹通过的
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【详解】
处理原式得到
故所在的直线与三角形的高重合，故经过垂心，故选C．
2.设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点， 动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
试题分析：,,
,,
3.的垂心在其内部，，，则的取值范围是_____
【详解】设，是高，就是、交点，那么，，，，
所以，所以，所以，．
在中，，，设，由正弦定理可得：.
，，，.
故答案为：．
【题型七】 解三角形应用题
【典例分析】
某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰的顶点P在半径为20m的大⊙O上，点M，N在半径为10m的小⊙O上，点O，点P在弦MN的同侧.设，当的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时（ ）
A． B． C． D．
【详解】
如图所示，等腰中，
设的面积为，
则
求导
令，即，解得：（舍去负根）
记，
当，，函数单调递增；当 ，，函数单调递减；
故当时，即， 取得极大值，即最大值.故选：C
【变式演练】
1.如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，若，则的最大值是（ ）.（仰角为直线与平面所成的角）
A． B． C． D．
解：，，由勾股定理知，，过点作交于，连结，则，设，若在线段上，则，由，得，
在直角中，，，令，则函数在，单调递减，
时，取得最大值为；
若在的延长线上，，在直角中，，
，令，则可得时，函数取得最大值.故答案为：．
2.我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由题意，因为，所以，
即，
又由，所以，
由因为，所以，所以，即，
因为，
由余弦定理可得，解得，
则的面积为.故选：B.
3.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径为，为圆心，且，在上有一座观赏亭，其中，计划在圆弧上再建一座观赏亭，记，当越大时，游客在观赏亭处的观赏效果越佳，则观赏效果最佳时，（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：设，在中，，，
由正弦定理得，即，
所以，
从而，其中，，所以，
记，则，，
令，，存在唯一使得，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以当时，最大，即最大，又为锐角，从而最大，此时，
故选：.
【题型八】 超难压轴小题1
【典例分析】
在中，，点在边上，且，设，则当k取最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，所以，即，
因为，所以，，因为，所以，
因为点在边上，且，所以，设，
则，在中，由余弦定理得，
，所以，
即，即，所以，
令，得，下面采用基本不等式和导数两种方法求解：
方法一：利用基本不等式求解：，要使最大，需最大，当取最大值时，必有，
当且仅当，即时等号成立，所以时，有最大值，
的最大值为，此时，所以，解得，
在中，由正弦定理得，解得，
即.下面采用导数的方法求解：求导得，令，解得，
当时，，当时，，所以当时，取得最大值，此时，
所以，解得，在中，由正弦定理得，
解得，即.故选：B.
【变式演练】
1.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为S，若，则（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为1
【详解】
在中，，
，，故A错误；
由余弦定理知①，则，
所以，故B错误；
由①可知，即，其中，
当时，取得最大值，C正确；
，，，则，
所以的最小值为1，D错误. 故选：C
2.已知非等腰的内角，，的对边分别是，，，且，若为最大边，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，所以，即，
即即，所以，因为为最大边，
所以，由余弦定理得，
所以，即，又，所以，
所以.故选：A
3.设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】设，则，整理可得，故，
在中，，
则，
设原点到直线的距离为，则需满足，
，解得或.故选：C.
【题型九】 超难压轴小题2
【典例分析】
已知的三条边，，满足，，分别以边，为一边向外作正方形，.如图，分别为两个正方形的中心（其中，，三点不共线），则当的值最大时，的面积为（ ）
A． B． C．2 D．
解：如图，连接、，由题意可知，，.
在△中，
设，则由基本不等式，可知（当且仅当时取等号）.
，设，则
，令且，解得，
时，，单调递增；时，，单调递减.
的值最大时，，此时.
.故选：A.
【变式演练】
1.在中，是边上一点，且，，若是的中点，则______；若，则的面积的最大值为_________．
【详解】若是的中点，则，
在中，由余弦定理可得
即，整理得，
即，所以在中，由余弦定理得
即，所以
若，，，由上述知
作于点E，由，知，作于点F，
所以在边上的高为，
所以因为，，，所以
由余弦定理得
即
当时，有最大值，即，则
所以故答案为：，
2.△内接于半径为2的圆，三个内角，，的平分线延长后分别交此圆于，，.则的值为_____________.
【详解】
连，则，
∴，
同理可得：，.
∴，即.
3.在平面四边形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由余弦定理知：在中，有，
在中，有，
则，由四边形的面积=三角形ABD的面积+三角形BCD的面积，
故，
在三角形中，易知，，
，当且仅当时等号成立，
此时，
故，故选：A.
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1.在中，，，点在边上，且，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【详解】
取中点，则，
当重合时，，不合题意 三点构成
在中，由余弦定理得：
，即
当与或重合时，
综上所述：
故选：
2.若，，则的最大值为
A． B． C． D．
【详解】
依题意，设，则，又，
由余弦定理得：，
即，，
，．
，
，
当，即时，，．故选．
3.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足＝，若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ(0
