第20讲 2023高考热点分类提分复习 线性规划归类
展开
第20讲 线性规划归类
目录
【题型一】三大基础题型：截距，斜率与距离（圆系） 2
【题型二】 由参数确定图像形状 5
【题型三】 含参线性规划 7
【题型四】 目标函数变化型1：绝对值型 9
【题型五】 目标函数变化型2：分式型 11
【题型六】 目标函数变化型3：二次型 14
【题型七】目标函数变化型4：向量型 16
【题型八】 导数和函数型 19
热点题型总结
【题型一】三大基础题型：截距，斜率与距离（圆系）
【典例分析】
若实数x，y满足x≤4y≤33x+4y≥12，则x2+y2的取值范围是___
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义为坐标原点与可行域内的点连线距离的平方，据此可得，目标函数取得最大值时经过点B，其最大值为：32+42=25，
考查坐标原点到直线3x+4y−12=0的距离：d=−1232+42=125可得目标函数的最小值为14425.
综上可得x2+y2的取值范围是[14425,25].
【提分秘籍】
基本规律
1.线性，注意Z与截距之间的正反比例关系，如变式2
2.斜率型，要写层标准的斜率公式形式，如变式1
3.距离型，注意圆与直线（线段）的位置关系：点到线的垂直关系还是点到点的关系，如典例分析
【变式演练】
1.设满足约束条件，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【解析】
画出约束条件表示的可行域， 表示可行域内的点 与 连线的斜率，由可得 ，由可得， ，所以的取值范围是，故选D.
2.若实数x，y满足约束条件x≥2,x+y≤6,x−y≤0,则目标函数z=2x−3y的最大值是__________．
−2
【详解】
画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最小值为.
3.设点是平面区域内的任意一点，则的最小值为
A. B. C. D.
【解析】作可行域如图， ,其中M（2,0），因为 的最小值为5-4=1,选B
【题型二】 由参数确定图像形状
【典例分析】
若不等式组，表示的平面区域是一个三角形区域，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.或
【解析】根据画出平面区域（如图1所示），由于直线斜率为，纵截距为，
自直线经过原点起，向上平移，当时，表示的平面区域是一个三角形区域（如图2所示）；当时，表示的平面区域是一个四边形区域（如图3所示），当时，表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故选D.
【提分秘籍】
基本规律
分类讨论，动图研究
【变式演练】
1.设不等式组表示的平面区域为，若圆不经过区域上的点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
不等式组表示的平面区域为为下图所示的三角形，
如下图所示，
当圆
的半径或时，
圆不经过区域上的点，故选D．
2.不等式组表示的是一个对称四边形围成的区域，则 .
试题分析：不等式组前三个不等式所表示的平面区域中，三个顶点分别为，第四个不等式中，表示是过点的直线（如图），
当或时不等式组所表示是一个轴对称四边形围成的区域，
3.已知圆的方程为，P是圆O上的一个动点，若OP的垂直平分线总是被平面区域覆盖，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
先作出不等式|x|+|y|≥a表示的平面区域，及OP的垂直平分线形成的区域，再结合题意分析这两个区域的相互覆盖情况即可．解答：解：如图，随着点P在圆上运动，OP的垂直平分线形成的区域是圆：x2+y2=1的外部，…①
平面区域|x|+|y|≥a表示正方形EFGH的外部，…②
若OP的垂直平分线总是被平面区域|x|+|y|≥a覆盖，则①区域要包含于②区域，
故00时f(x)=ln(x2+1−x)=-ln(x2+1+x)为单调减函数,且f(0)=0所以f(x)为R上减函数,因此f(a2−2a)+f(2b−b2)≤0⇔f(a2−2a)≤−f(2b−b2)⇔f(a2−2a)≤f(−2b+b2)
⇔a2−2a≥−2b+b2⇔(a−1)2≥(b−1)2⇔{a≥ba+b−2≥0或{a≤ba+b−2≤0,因为1≤a≤4,所以可行域为一个三角形ABC及其内部,其中A(1,1),B(4,4),C(4,−2),因此直线z=2a−b过点C时取最大值10,选B.
2.已知函数，若函数有两个零点，且满足，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为
，令，则
因此画可行域,如图，则,选A.
3.已知函数，若满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C.(-1,1) D.[-1,1]
【详解】函数的定义域为，因为，故为上的奇函数.，故为上的减函数.由得到，所以.不等式组表示的平面区域如图所示：表示区域中的点与连线的斜率，故，选C.
最新模考题提高训练
1.设不等式组所表示的平面区域为，其面积为.①若，则的值唯一；②若，则的值有2个；③若为三角形，则；④若为五边形，则．以上命题中，真命题的个数是( )
A． B． C． D．
【详解】
由题得不等式|x|+|y|≤2，表示的是如图所示的正方形区域，
不等式y+2≤k(x+1)，表示的是经过定点（-1，-2）的动直线y+2=k(x+1)的一侧（与k的正负有关），
所以不等式组所表示的平面区域就是它们的公共部分，
（1）因为大正方形的面积为8，若，面积为正方形面积的一半，且过原点O的任意直线均可把正方形的面积等分，故当S=4时，直线必过原点，所以k=2,k的值唯一，命题正确;
（2）左边阴影三角形的面积为1，故当k取适当的负值左倾可以使三角形的面积为，k取适当的正值，使得阴影部分的面积为，故S=时，k的值有两个，故该命题正确；
（3）由（2）的讨论可知，当k＜-2时，左边也有一个三角形，所以当D为三角形时，k的取值范围为，故该命题错误；
(4)经过点（-1，-2）和（0,2）的直线绕定点（-1，-2）向左旋转一点，D就是五边形，
此时k＞.故命题正确. 故选：C
2. 已知满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）
A.5 B.4 C. D.2
3.当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是____.
4.如图，在中，点是线段及、的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且，则在直角坐标平面上，实数对所表示的区域在直线的右下侧部分的面积是（ ）
A． B． C． D．不能求
【详解】如下图，过作，交的延长线于，交的延长线于，
设，，，，
则，
所以，得，所以.
作出不等式组对应的可行域，如下图中阴影部分所示，
故所求面积为，故选：A.
5.设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为
A．﹣8 B．8 C．12 D．13
【详解】
试题分析：将一元二次方程的根的分布转化为确定相应的二次函数的图象来处理，根据图象可得到关于m和k的不等式组，此时不妨考虑利用不等式所表示的平面区域来解决，但须注意这不是线性规划问题，同时注意取整点．
解：设f（x）=mx2﹣kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的图象恒过定点（0，2），
因此要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x轴有两个不同的交点
即由题意可以得到：必有，即，
在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，
如图所示，设z=m+k，则直线m+k﹣z=0经过图中的阴影中的整点（6，7）时，
z=m+k取得最小值，即zmin=13．
故选D．
6．已知函数满足：①对任意，都有；②函数的图象关于点对称.若实数a，b满足，则当时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
由对任意，都有，可得，在上单调递减；由函数的图象关于点对称，得函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；故在上单调递减.
于是得，∴，∴，∴.则当时，令，，则问题等价于点满足区域，如图阴影部分，由线性规划知识可知为与连线的斜率，由图可得，∴.故选B.
7．已知函数，若方程有7个不同的实数解,则的取值范围（ ）
A．(2,6) B．(6,9) C．(2,12) D．(4,13)
【详解】
由题,当时,；
当时,,
当时,；当,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,
当时,,则；当时,,则,
画出的图象,如图所示,
因为有7个不同的实数解,
设,则,
设为方程的解,
则由图象可知有3个解,有4个解,
①,,将代入方程中可得,与条件矛盾,舍去；
②,,设,
则,即,
则可行域如图所示,设,即,
平移直线,与点相交时截距最小,与点相交时截距最大,
因为点,点,所以；
③,,则,即,
则可行域如图所示,即为线段,
平移直线,与点相交时截距最小,与点相交时截距最大,
因为点,点,所以,
综上,,
故选:C
8．已知实数x，y满足条件，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．3
【详解】
法一：
设，则且对称中心为，要使值最大，与可行域有唯一交点即可，
∴在上有可行域有唯一交点，此时交点在边界直线为时有，如下图示，
∴令，得，而的对称轴为，
∴仅当，即直线与曲线在上相切时值最大，
∴，此时，而在上与有交点时，曲线与可行域交点个数不止一个.
在或内与可行域有唯一交点则有，显然此时值不可能最大，如下图示，
综上，的最大值是.
法二：
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即，
∴最大值为.
法三：
由题设知：，又当且仅当，即时等号成立.
故选：C.
9．已知正数、、满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用换元法将不等式组进行转化，然后利用线性规划的知识结合导数的几何意义求出切线的斜率，数形结合可得出的取值范围.
【详解】
正数、、满足，，所以，
，，即，
设，，则不等式等价于，
代数式的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率，令，
作出不等式组所表示的平面区域如下图所示：
由图象可知，当直线与曲线相切时，最小.
对函数求导得，设切点坐标为，则切线方程为，
由于该切线过原点，则，可得，此时，.
联立，解得，可得点，
由图象可知，，即.
因此，的取值范围是.
故选：B.
10．已知函数在区间内有唯一零点，则的最大值为
A． B． C． D．
【详解】
解：，
，，，
，
区间，上单调递减，
在区间，内有唯一零点，
（1），（e），
，
画出约束条件的可行域，如图所示，
则表示定点与可行域内点的斜率，
当经过点时，斜率最大，最大为，
故选：A．
11．在条件下，目标函数的最大值为40，则的最小值是
A． B． C． D．2
【详解】
如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：
当时，有最大值为，即，故.
.
当，即时等号成立.
故选：.
12．已知动点满足，则的最小值是_______.
【详解】
因此可行域为一个三角形ABC及其内部，其中,所以
13．以点为圆心作圆，过点作圆的切线，切线长为，直线（其中为坐标原点）交圆于两点，当点在优弧上运动时，的最大值为_________.
【详解】
设圆的标准方程为，
，
则切线长为，解得.
则圆的标准方程为，
直线的方程为，
作出直线，可得优弧均在直线的上方区域.
如图所示：
则优弧上任意一点满足不等式，
则.
令，则.
表示直线的轴截距再加.
由图知，当直线与圆相切于第一象限时，最大.
所以，解得.
由图可知：的最大值为.
故答案为：
