2023年中考数学一轮复习 考点20 等腰三角形

2023年中考数学一轮复习

考点20  等腰三角形

一、选择题

1．若等腰三角形的一个内角为40°，则另外两个内角分别是（　　）

A．40°，100°

B．70°，70°

C．40°，100°或70°，70°

D．以上答案都不对

2．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（　　）

A．10 B．5

C．4 D．3

3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC．以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为（　　）

A．2 B．

C． D．

4．若实数m、n满足等式|m﹣2|0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　）

A．12 B．10

C．8 D．6

5．如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（　　）

A．80° B．100°C．120° D．140°

6．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）

A．2个 B．3个

C．2个或4个 D．5个

7．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（　　）

A．3 B．4

C．5 D．6

8．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为（　　）

A．6 B．7

C．8 D．9

9．△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA＝4，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，则P1P的长等于（　　）

A．4 B．

C．2 D．

10．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　）

A．60° B．65°C．75° D．80°

二、填空题

11．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是　   　．

12．如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，BD为∠ABC的平分线，则图中等腰三角形的个数是　   　．

13．如图，已知P、Q是△ABC的边BC上的两点，且 BP＝QC＝PQ＝AP＝AQ，则∠BAC＝　   　．

14．一艘轮船从海平面上A地出发，向北偏东50°的方向行驶60海里到达B地，再由B地向南偏东10°的方向行驶60海里到达C地，则A，C两地相距 　   　海里．

15．如图，线段OA的长为2，它的一个端点O是数轴的原点，OA与数轴正半轴的夹角为45度，以OA为一边作等腰三角形OAB，使顶点B在数轴上，则数轴上点B所表示的数是　   　．

三、解答题

16．如图，在中，D，E分别是上的点，，．求证：是等腰三角形．

17．如图，为等边三角形，点、分别为、上一点，且，、相交于点，求的度数．

18．如图所示，在等腰三角形ABC中

，AB = AC， AD是△ABC的角平分线，E是AC延长线上一点．且CE = CD，AD= DE．

(1)求证：ABC是等边三角形；

(2)如果把AD改为ABC的中线或高时，其他条件不变），请判断(1)中结论是否依然成立？（不要求证明）

19．在△AMN中，∠MAN＞90°，AM的垂直平分线交MN于B，交AM于E，AN的垂直平分线交MN于C，交AN于F．

（1）若AM＝AN，∠MAN＝120°，则△ABC的形状是 　　；

（2）去掉（1）中的“∠MAN＝120°”的条件，其他不变，判断△ABC的形状，并证明你的结论；

（3）当∠M与∠N满足怎样的数量关系时，△ABC是等腰三角形？直接写出所有可能的情况．

20．和都是等边三角形．

(1)将绕点A旋转到图①的位置时，连结BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立，请证明．

(2)将绕点A旋转到图②的位置时，连结BD，CE相交于点P，连结PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；

(3)将绕点A旋转到图③的位置时，连结BD，CE相交于点P，连结PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．

参考答案

一、选择题

1~5  CBCBB     6~10  CDDAD

二、填空题

11． 6  12． 3  13． 120°  14． 60  15．﹣2或或2或2

三、解答题

16.证明：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴是等腰三角形．

17. 解：是等边三角形，

，，

在和中，

，

，

，

．

18. 解：（1）证明：∵CD=CE，

∴∠E=∠CDE，

∴∠ACB=2∠E．

∵AD=DE，

∴∠E=∠DAC.

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAC=2∠DAC=2∠E，

∴∠ACB=∠BAC，∴BA=BC．

∵AB=AC，∴AB=BC=AC．

∴△ABC是等边三角形．

（2）当AD为△ABC的中线或高时，结论依然成立．

19.解：（1）等边三角形

（2）△ABC是等腰三角形.

证明：∵AM＝AN，∴∠M＝∠N，

∵∠MAB＝∠M，∠ABC＝∠M+∠MAB，∠NAC＝∠N，∠ACB＝∠N+∠NAC，

∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形.

（3）∠M＝∠N或2∠M+∠N＝90°或∠M+2∠N＝90°.

20. 解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC.

∵点P与点A重合，

∴PB=AB，PC=AC，PA=0，

∴或.

（2）猜想：.

证明：如图②，在BP上截取，连结AF.

∵和都是等边三角形，

∴，，

∴，

∴，

∴（SAS），

∴，

∵AC=AB，CP=BF，  

∴（SAS），

∴，，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∴；

（3）.