2022-2023学年广西桂林市龙胜县九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年广西桂林市龙胜县九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    已知反比例函数，则其图象在平面直角坐标系中可能是(    )

A.  B.
C.  D.

2.    方程的一般形式(    )

A.  B.  C.  D.

3.    已知，则把它改写成比例式后，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    下列函数不是反比例函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是(    )

A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定

6.    如图，分别是的边上的点，且，若：：，则：的值是(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

7.    矩形的面积一定，此矩形的长与宽的函数关系图象是(    )

A.  B.
C.  D.

8.    如图，在中，，，，相交于点，则图中与相似的三角形有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

9.    关于的方程有两个相等的实数根，则的值是(    )

A.  B.  C. ， D. ，

10. 已知反比例函数，下列结论中不正确的是(    )

A. 其图象经过点 B. 其图象分别位于第一、第三象限
C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，

11. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛场，则参加此次比赛的球队数是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，、是的三等分点，，图中三部分的面积分别为，，，则：：(    )

A. ：：
B. ：：
C. ：：
D. ：：

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13. 反比例函数的图象过点，则它的解析式为______．
14. 方程的根是______ ．
15. 如图，与位似，点为位似中心，已知：：，则与的周长之比为______．

16. 一元二次方程的一个根为，则另一个根为______．
17. 若，则______．
18. 如图，已知点，，均在直线上，点，，均在双曲线上，并且满足：轴，轴，轴，轴，，轴，轴，记点的横坐标为为正整数若，则的坐标为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    ；
    ．
20. 本小题分
    如图，在中，，是斜边上的高．求证：∽．

21. 本小题分
    如图，已知外一点，以点为位似中心，将缩小为原图形的不写作法，请保留作图痕迹

22. 本小题分
    已知▱的两边、的长是关于的方程的两个实数根，当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长．
23. 本小题分
    在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高米的竹竿直立在离旗杆米的处如图，然后沿方向走到处，这时目测旗杆顶部与竹竿顶部恰好在同一直线上，又测得、两点的距离为米，小芳的目高为米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．

24. 本小题分
    习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
    求进馆人次的月平均增长率；
    因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均匀增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由．
25. 本小题分
    如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点，一次函数图象分别交轴，轴于两点．
    求这两个函数的解析式；
    求的面积；
    请直接写出当时自变量的取值范围．

26. 本小题分
    小明将两个直角三角形纸片如图那样拼放在同一平面上，抽象出如图的平面图形，与恰好为对顶角，，连接，，点是线段上一点．
    探究发现：
    当点为线段的中点时，连接如图，小明经过探究，得到结论：你认为此结论是否成立？______填“是”或“否”
    拓展延伸：
    将中的条件与结论互换，即：，则点为线段的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
    问题解决：
    若，，求的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由，可知反比例函数的图象在二四象限．
故选：．
此题可直接根据反比例函数的图象性质进行判断．
本题主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
 

2.【答案】 

【解析】解：将方程转化为一般形式得．
故选：．
将原方程转化为一般形式，此题得解．
本题考查了一元二次方程的一般形式，牢记“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式”是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，．
故选：．
根据题意，可以写成比例式，即，，，均不为的两边同时除以相同的式子不为可得．
本题考查了学生熟练应用比例的基本性质的解题能力．
 

4.【答案】 

【解析】解：、是反比例函数，不符合题意；
B、是一次函数，符合题意；
C、是反比例函数，不符合题意；
D、可化为是反比例函数，不符合题意．
故选：．
根据反比例函数的定义对各选项进行分析即可．
本题考查的是反比例函数的定义，熟知形如为常数，的函数称为反比例函数是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先求出的值，再判断出其符号即可．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：：：，
：：，
，
∽，
．
故选：．
首先求得：，然后根据相似三角形的判定与性质求解．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，相似三角形的对应边的比相等，理解性质定理是关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为矩形的面积等于边长乘边长，即，
当面积一定时，矩形的长与宽的函数关系为反比例函数，
所以符合反比例函数关系的图象．
故选：．
因为矩形的面积等于边长乘边长即，一定，为反比例函数．
本题主要考查了反比例函数的图象，解答时要将面积计算与函数关系结合起来．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
∽，∽，
，
∽，
故选：．
利用三角形中平行线判断相似三角形的方法找出相似三角形．
本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形一边的直线截其它两边或其延长线，所得的三角形与原三角形相似．
 

9.【答案】 

【解析】解：方程有两相等的实数根，
，
解得或．
故选：．
若一元二次方程有两相等根，则根的判别式，建立关于的等式，求出的值．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，不是很难．
 

10.【答案】 

【解析】解：、当时，，此函数图象过点，故本选项正确；
B、，此函数图象的两个分支位于一三象限，故本选项正确；
C、，当时，随着的增大而减小，故本选项正确；
D、当时，，当时，，故本选项错误．
故选：．
根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设参加此次比赛的球队数为队，根据题意得：
，
化简，得，
解得，舍去，
参加此次比赛的球队数是队．
故选：．
根据球赛问题模型列出方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质的有关知识，熟练掌握平行线分线段成比例的性质及相似三角形的面积比与对应边之比的关系．相似三角形对应边成比例，而面积比则为相似比的平方．
【解答】
解：、是的三等分点，且，∽，
，
，
，
同理，
：：，
：：：：，
故选：．  

13.【答案】 

【解析】解：由题意知，．
则解析式为．
故答案为：．
用待定系数法确定反比例函数的比例系数，求出函数解析式．
本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点内容．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
解得，
即．
原方程可以变形为，即可求得方程的解．
注意这个方程有两个解，两个解相同，不要误认为是有一个解．
 

15.【答案】： 

【解析】解：与是位似图形，：：，
与的位似比是：．
与的相似比为：，
与的周长比为：，
故答案为：：．
根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设方程的两根为、，
则有：，
，
．
故答案为：．
设方程的两根为、，由根与系数的关系可得出，结合即可求出值．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程的系数结合根与系数的关系得出两根之积是关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
，
则，
故．
故答案为：．
直接利用已知变形，进而得出，之间关系．
此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：，
的坐标是，
的坐标是，
即，
，
的坐标是，
的坐标是，
即，
，
的坐标是，
的坐标是，
即，
，
的坐标是，
的坐标是，
即，
，
，，，，，，每个数一个循环，分别是、、，
，
．
故答案为：．
首先根据，求出，，，，，所以，，，，，，每个数一个循环，分别是、、；然后用除以，根据商和余数的情况，判断出是第几个循环的第几个数，进而求出它的值是多少即可．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：图象上的点的横纵坐标的积是定值，即；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；在图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
 

19.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
或，
，． 

【解析】利用因式分解法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法、直接开平方法、公式法、配方法．
 

20.【答案】证明：，
，
，
，
，
∽． 

【解析】根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，由相似三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，为所作．
 

【解析】分别连接、、，再取它们的中点、、，则满足条件．
本题考查了作图位似变换，掌握位似图形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：四边形是菱形，
，
，即，
整理得：，
解得，
当时，原方程为，
解得：．
故当时，四边形是菱形，菱形的边长是． 

【解析】此题考查了菱形的性质，与一元二次方程根的判别式，利用解一元二次方程得到菱形的边长是解决本题的关键．
由题意可知：、的长是关于的方程的两个实数根，也就是方程有两个相等的实数根，利用根的判别式为即可求得，进而求得方程的根即为菱形的边长．
 

23.【答案】解：这种测量方法可行． 
理由如下：
设旗杆高过作于，交于如图．
所以∽．
因为，，，
所以，．
由∽，
得，
即，
所以，
解得米
答：旗杆的高为米． 

【解析】根据已知得出过作于，交于，利用相似三角形的判定得出∽，再利用相似三角形的性质得出即可．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出∽是解题关键．
 

24.【答案】解：设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得：
，
，
，或舍，
答：进馆人次的月平均增长率为．
进馆人次的月平均增长率为，
第四个月的进馆人次为：，
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 

【解析】根据进馆人次的月平均增长率相同列方程求解；
根据所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与比较大小即可．
本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．
 

25.【答案】解：把代入得：，
反比例函数的解析式是，
代入反比例函数得：，
的坐标是，
把、的坐标代入一次函数得：，
解得：，
一次函数的解析式是；
把代入一次函数的解析式是得：，
解得，
，
；
从图象可知：当时自变量的取值范围是或． 

【解析】把的坐标代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，把的坐标代入求出的坐标，把、的坐标代入一次函数即可求出一次函数的解析式；
求出的坐标，求出和的面积，即可求出答案；
根据函数的图象和、的坐标即可得出答案．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，用了数形结合思想，题目比较好．
 

26.【答案】解：是；
结论成立．
理由：，，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
点是的中点．
如图中，取的中点，连接则．

，
，
在中，，
，
在中，，
，，
∽，
，
，
，
． 

【解析】

【分析】
本题属于三角形综合题，考查了直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
证明可得结论；
结论成立：利用等角的余角相等证明，推出，再证明即可解决问题；
如图中，取的中点，连接则利用勾股定理以及相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】
解：如图中，

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为是．
见答案；
见答案．