【备考2023江苏中考】江苏省南京市近三年中考（含一模、二模）真题重难点汇编——填空题

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南京市历年中考数学（含一模、二模）真题重难点汇编
填空题

1．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F．若AB=a，，则BE的长为____．（用含a，b的代数式表示）．

2．（2022·江苏南京·统考二模）在△ABC中，AB=2，AC=1，BC=3．若点P在△ABC内部（含边界）且∠PBC≤∠PCB≤∠PBA，则所有满足条件的P组成的区域的面积为______．
3．（2022·江苏南京·南京市花园中学校考模拟预测）匈牙利著名数学家爱尔特希（P. Erdos，1913-1996）曾提出：在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点A、B、C、D、O构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则的度数是_____．

4．（2022·江苏南京·一模）▱ABCD中，CD=2， ，BD=23，对角线AC，BD交于点O，将△CDO绕点O顺时针旋转，使点D落在AD上D'处，点C落在C'处，C'O交AD于点P，则△OPD'的面积是___________．

5．（2022·江苏南京·统考二模）点A在函数y=6x的图像上，点B在反比例函数y=kx的图像上，点C、D在x轴上．若四边形ABCD是正方形且面积为9，则k＝______．
6．（2022·江苏南京·统考二模）一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．若x2+81x+2022是完全平方数，则正整数x的值为______．
7．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在五边形AECDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AE=2，CD=1，以DE为直径的半圆分别与AB、BC相切于点F、G，则DE的长为______．

8．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD边的中点，G为AD边上的一点，将矩形沿BG翻折，使得点A落在EF上的A'处．若AB=4，则BG的长为______．

9．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在△ABC 中，∠C＝2∠B，BC的垂直平分线DE交AB于点D，垂足为E，若AD＝4，BD＝6，则DE的长为______．

10．（2022·江苏南京·统考二模）如图，菱形ABCD和正五边形AEFGH，F，G分别在BC，CD上，则∠1－∠2＝______°．

11．（2022·江苏南京·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），则点D的坐标为 _____．

12．（2022·江苏南京·校联考一模）如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 _____．

13．（2022·江苏南京·统考一模）如图，点A是函数y=2x图像上的任意一点，点B、C在反比例函数y=kx的图像上．若AB//x轴，AC//y轴，阴影部分的面积为4，则k=______．

14．（2022·江苏南京·统考一模）如图，“爱心”图案是由函数y=-x2+6的部分图像与其关于直线y=x的对称图形组成．点A是直线y=x上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若AB=42，则点A的坐标是______．

15．（2022·江苏南京·校联考一模）若x＋y＝5，则xy＋1的最大值为______．
16．（2022·江苏南京·校联考一模）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝60°，DC⊥BC，DC＝BC，则AD的长的最大值为______．

17．（2022·江苏南京·校考一模）如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF=30°，则n=__________________．

18．（2022·江苏南京·统考一模）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是__________．

19．（2022·江苏南京·统考一模）在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．若点P在△ABC内部（含边界）且满足∠PBC≤∠PCB，则所有点P组成的区域的面积为________．
20．（2022·江苏南京·统考一模）若二次函数y＝ax2－bx＋2有最大值6，则y＝－a（x＋1）2＋b（x＋1）＋2的最小值为____．
21．（2022·江苏南京·南京市第一中学校考一模）函数y=-x3+x的部分图像如图所示，当y＞0时，x的取值范围是____________．

22．（2022·江苏南京·南京市第一中学校考一模）如图，将菱形ABCD沿直线EF翻折，点C落在边AB上的点G处，若EG⊥CD，AB＝5，BG＝1，则CE的长为______________．

23．（2022·江苏南京·统考一模）如图，点D是等边△ABC的边BC上的一个动点，连结AD，将射线DA绕点D顺时针旋转60°交AC于点E，若AB＝4，则AE的最小值是_____．

24．（2022·江苏南京·统考一模）如图，在直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙A与直线l:y=512x只有一个公共点时，点A的坐标为________________．

25．（2022·江苏南京·统考一模）如图，点P是函数y=k1xk1>0,x>0的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数y=k2xk2>0,x>0的图像于点C、D，连接OC、OD、CD、AB，其中k1>k2，下列结论：①CD∥AB；②S△OCD=k1-k22；③S△DCP=k1-k222k1，其中正确的是_____________．

26．（2021·江苏南京·南师附中新城初中校联考二模）如图，A为y轴负半轴上一点，M、N是函数y=-34x+3的图像上的两个动点，且AM⊥AN．若MN的最小值为10，则点A的坐标为______．

27．（2021·江苏南京·南师附中新城初中校联考二模）如图，点P是反比例函数y=kxx>0上一点，⊙P与坐标轴的交点分别为O、A、B（O是坐标原点）．若点A的坐标为4,0，点B的坐标为0,3，则k=______．

28．（2021·江苏南京·统考一模）如图，在△ABC中，AB=82，BC=10，DE是AC的垂直平分线，分别交AC、AB于点D、E，O是线段DE上一点，若OB=OC，OB⊥OC，则DE=__________．

29．（2021·江苏南京·南师附中树人学校校考一模）二次函数y＝﹣x2+2mx+n（m，n是常数）的图象与x轴两个交点及顶点构成等边三角形，若将这条抛物线向下平移k个单位后（k＞0），图象与x轴两个交点及顶点构成直角三角形，则k的值是___．
30．（2021·江苏南京·南师附中树人学校校考一模）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA于点O，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠BCO的度数等于_____°．

31．（2021·江苏南京·统考二模）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则___°．

32．（2021·江苏南京·统考二模）如图是四个全等的正八边形和一个正方形拼成的图案，已知正方形的面积为4，则一个正八边形的面积为____．

33．（2021·江苏南京·南京市金陵汇文学校校考一模）如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为边AB上一点且AE长为1，P为射线BC上一点．把△EBP沿EP折叠，点B落在点B'处．若点B'到直线AD的距离为3，则BP长为______．

34．（2021·江苏南京·南京市金陵汇文学校校考一模）如图，点A、B、C、D在⊙O上，B是AC的中点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点E．若∠AEC＝80°，则∠ADC＝_____°．

35．（2021·江苏南京·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，菱形DEFG顶点D、E在边AB上，F、G分别在边BC、AC上，则DE的取值范围是_____________．

36．（2021·江苏南京·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心，2个单位长度为半径画圆．若一次函数y=kx+5k（k为常数，k≠0）的图像与⊙O有公共点，则k的取值范围是_________．
37．（2021·江苏南京·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠BAC=30°．将△ABC绕点C顺时针旋转后得△A'B'C，且点B'落在AB边上，连接AA'．若BC=2，则四边形AB'CA'的面积为_________．

38．（2021·江苏南京·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=3，AD⊥BC，点P为直线AD上一点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BQ，则点A、Q距离的最小值为______．

39．（2021·江苏南京·统考二模）已知一次函数y＝12x＋1的图像与y轴交于点A，将该函数图像绕点A旋转45°，旋转后的图像对应的函数关系式是_____．
40．（2021·江苏南京·统考二模）如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则AFEF的值为______．

41．（2021·江苏南京·统考二模）如图，正五边形ABCDE的边长为2，对角线BD、CE相交于点F，则DF·BD的值为_______．

42．（2021·江苏南京·统考二模）如图，直线经过正五边形ABCDE的中心O，与AB、CD边分别交于点P、Q，点C1是点C关于直线的对称点，连接，AC1，则∠CC1A的度数为______°．

43．（2021·江苏南京·统考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交BC边于点N，垂足为M，若BN=6，，则MN的长为______．

44．（2021·江苏南京·统考一模）如图，在边长为2 cm的正方形ABCD中，直线l经过点D，作BE⊥l，垂足为E，连接AE．若AE＝BE，则△ABE的面积为____cm2．

45．（2021·江苏南京·统考中考真题）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB'C'D'的位置，使点B'落在BC上，与CD交于点E，若AB=3,BC=4,BB'=1，则CE的长为________．

46．（2021·江苏南京·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点(1,3)，且与x轴的夹角为30°，则直线l与坐标轴所围成的三角形的周长是_________．

47．（2021·江苏南京·统考一模）如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是DA、AB、BC、CD上靠近A、B、C、D的四等分点，I、J、K、L分别是EF、FG、GH、HE上靠近E、F、G、H的四等分点，则 S正方形ABCDS四边形IJKL＝_____．

48．（2021·江苏南京·统考一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝BD，∠ADC＝150°，∠DCB＝60°，则AC的最大值是_____．

49．（2021·江苏南京·统考一模）如图，在菱形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE，将△ABE沿直线AE翻折，使得点B落在DE上的点B'处，连接AB'并延长交CD于点F，则的值为__________．

50．（2021·江苏南京·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M，N分别是BC，DC边上的点，若⊙O经过点A，且与BC，DC分别相切于点M，N，则⊙O的半径为__________．


参考答案：
1．4a2-b2
【分析】过点E作EG∥CF，EH∥AB，得到∠BGE=∠BCF，∠HEB=∠ABE，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，推出四边形EGCF与四边形ABHE都是平行四边形，推出EG=CF=b，EH=AB=a，根据角平分线的定义得到∠ABE=∠HBE=12∠ABC，∠BCF=∠DCF=12∠BCD，推出∠HBE+∠BCF=90°，得到∠HBE+∠BGE=90°，推出∠BEG=90°，根据∠HBE=∠HEB，推出∠HGE=∠HEG，推出BH=EH=GH=a，得到BG=2a，根据勾股定理得到BE=4a2-b2．
【详解】过点E作EG∥CF，EH∥AB，
则∠BGE=∠BCF，∠HEB=∠ABE，
∵▱ABCD中， AD∥BC，
∴四边形EGCF与四边形ABHE都是平行四边形，
∴EG=CF=b，EH=AB=a，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE=∠HBE=12∠ABC，∠BCF=∠DCF=12∠BCD，
∵∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠HBE+∠BCF=90°，
∴∠HBE+∠BGE=90°，
∴∠BEG=90°，
∵∠HBE=∠HEB，
∴∠HGE=∠HEG，
∴BH=EH=GH=a，
∴BG=2a，
∴BE=BG2-EG2=4a2-b2．
故答案为：4a2-b2．

本题主要考查了平行四边形，角平分线，等腰三角形，勾股定理等，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握平行四边形性质和判定，角平分线定义，等角对等边，勾股定理解直角三角形．
2．14π-338
【分析】作△ABC，作BC的垂直平分线DE交∠ABC的角平分线BD于点D，作△BCD的外接圆弧，圆心为O，连接OB，OC，OE，利用∠PBC≤∠PCB≤∠PBA，判断出点P所在区域，利用扇形COD的面积减去△OCE的面积即可求解．
【详解】解：如图，作△ABC，作BC的垂直平分线DE交∠ABC的角平分线BD于点D，作△BCD的外接圆弧，圆心为O，连接OB，OC，OE，

∵AB=2，AC=1，BC=，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵sin∠A=BCAB=32，
∴∠A=60°，∠ABC=30°，
∵∠PBC≤∠PBA，
∴点P在BD左侧，
∵∠PBC≤∠PCB，
∴点P在DE下侧，
∵BC=3，
∴CE=32，
∵∠DBE=12∠ABC=15°，
∴∠BDE=90°-∠DBE=75°，
∴∠BDC=2∠BDE=150°，
当点P在圆弧CD上时，∠BPC=∠BDC=150°，
∴∠PBC+∠PCB=30°，
∵∠PBC+∠PBA=30°，
∴∠PCB=∠PBA，
∵∠PCB≤∠PBA，
∴点P在圆弧内侧，
∵OB=OC=OD，
∴∠OBD=∠ODB=75°，
∴∠OBE=60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB=OC=BC=，∠OCD=30°，
在Rt△OCE中，由勾股定理可得：
OE=OC2-CE2=32，
∴S扇形OCD=30°πOB2360°=14π，S△OCD=12CEOE=338，
∴点P组成的区域的面积为14π-338，
故答案为：14π-338．
本题考查勾股定理逆定理，扇形面积，直角三角形性质，线段垂直平分线性质等知识点；能够结合条件判断点P所在区域是解题的关键．
3．18°
【分析】先证明△AOB≌△BOC≌△COD，得出∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC，∠AOB=∠BOC=∠COD，然后求出正五边形每个角的度数为108°，从而可得∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC=54°，∠AOB=∠BOC=∠COD=72°，可计算出∠AOD=144°，根据OA=OD，即可求出∠ADO．
【详解】∵这个五边形由正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成，
∴根据正五边形的性质可得OA=OB=OC=OD，AB=BC=CD，
∴△AOB≌△BOC≌△COD，
∴∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC，∠AOB=∠BOC=∠COD，
∵正五边形每个角的度数为：5-2×1805=108°，
∴∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC=54°，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=（180°-2×54°）=72°，
∴∠AOD=360°-3×72°=144°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=12（180°-144°）=18°，
故答案为：18°．
本题考查了正多边形的内角，正多边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，求出∠AOB=∠BOC=∠COD=72°是解题关键．
4．33
【分析】过点O作OE⊥AD，作，，E，G，F为垂足，根据CD=2，，BD=23，可证ΔBCD是直角三角形，∠DBC=30°，可求△各边长，以及的长，由可求OP的长，即可求的面积．
【详解】解：过点O作OE⊥AD，作，，E，G，F为垂足，

，，BD=23，
，
BC2=16，
∴CD2+BD2=BC2．
∴∠BDC=90°，
，
∴∠DBC=30°，
是平行四边形，
，CO=AO，，
，
在中，，
∵旋转，
，，，，
，OE⊥AD，
，，
，，
，
，，
，
，
∵OE⊥AD，，
，
∴，
且，
，
，
故答案为33．
本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，关键是灵活运用这些性质解决问题．
5．15
【分析】由四边形ABCD是正方形得AB//x轴，k>0，延长AB交y轴于E，根据反比例系数k的意义得，，即，即k-6=9，即可得．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，
即AB//x轴，k>0，
如图所示，延长BA交y轴于E，

∵，，正方形ABCD的面积为9，
∴，
即k-6=9，
k=15，
故答案为：15
本题考查了反比例系数k的意义，正方形的性质，解题的关键是掌握反比例系数k的意义．
6．341或86．
【分析】设x2+81x+2022=m2m>0，则4x2+324x+8088=4m2，然后运用完全平方公式变形整理得到4m2-2x+812=1527，再因式分解得出两个二元一次方程组，解之可得．
【详解】解：设x2+81x+2022=m2m>0，
则4x2+324x+8088=4m2，
∴2x+812-812+8088=4m2，整理得：2x+812+1527=4m2，
∴4m2-2x+812=1527，
∴2m+2x+812m-2x-81=1527，
∵1527=1×1527=3×509，
∴2m+2x+81=15272m-2x-81=1或2m+2x+81=5092m-2x-81=3，
∴x=341或86，
故答案为：341或86．
本题主要考查了完全平方公式的应用以及因式分解的应用，正确理解“完全平方数”的定义，灵活运用乘法公式是解题的关键．
7．5
【分析】作出如图的辅助线，推出四边形OFBG是正方形，设⊙O的半径为r，则OE=OD=OE=OG=BG=AM= r，ME=r -2，ON=r-1，证明Rt△OME≌Rt△OND，得到OM= ON=r-1，在Rt△OME中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：取DE的中点O，连接OF、OG，延长GO与AE的延长线相交于点M，过点D作DN⊥MG于点N，

∵BC切⊙O于点G，∴CG⊥BG，
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABGM、四边形GCDN和四边形OFBG都是矩形，
∵OF=OG，
∴四边形OFBG是正方形，
设⊙O的半径为r，则OE=OD=OE=OG=BG=AM= r，
∵AE=2，CD=1，
∴ME=r -2，ON=r-1，
在Rt△OME和Rt△OND中，∠M=∠OND=90°∠EOM=∠DONOE=OD，
∴Rt△OME≌Rt△OND，
∴OM= ON=r-1，
在Rt△OME中，OE2=ME2+OM2，
∴r2=( r -2)2+( r-1)2，
解得：r=1(舍去)或5，
故答案为：5．
本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股中位线定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
8．833
【分析】连接AA'，根据轴对称的性质，即可得到ΔABA'是等边三角形，根据轴对称的性质，即可得到∠A'BG=30°，再根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】如图，连接AA'，

由折叠得EF垂直平分AB，
∴AA'=A'B，
由折叠得，AB=A'B=4,∠A'BG=12∠A'BA
∴ΔABA'是等边三角形，
∴∠A'BA=60°，
即∠A'BG=30°，
在RtΔA'BG中，，A'B=4
设AG=x，则BG=2x
由勾股定理得，x2+42=(2x)2
解得，x=433，
∴BG=833
故答案为：833
本题主要考查了轴对称的性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
9．362
【分析】连接CD，由线段的垂直平分线的性质可得CD=BD=6，进而可得∠DCB=∠B，可推出∠ADC=2∠B=∠ACB，易证△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质可求得AC，继而可求得BC，然后根据线段的垂直平分线的性质和勾股定理即可求得答案．
【详解】解∶如图，连接CD，

∵DE是BC的垂直平分线，
∴CD=BD=6，
∴∠DCB=∠B，
∴∠ADC=∠B+∠DCB=2∠B=∠ACB，
又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ACAB=ADAC=CDBC，
即：AC4+6=4AC=6BC，
解得：AC=210,BC=310，
∴BE=12BC=3102，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE=BD2-BE2=62-31022=362．
故答案为：362．
本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，根据相似三角形的性质求出BC是解题的关键．
10．36
【分析】如图，过E作EM∥AD, 证明AD∥EM∥BC,利用平行线的性质可得：∠2=180°-108°-∠AEM=72°-∠AEM, ∠1=108°-∠AEM, 从而可得答案.
【详解】解：如图，过E作EM∥AD,
∵正五边形AEFGH，
∴∠AEF=∠EAH=5-2×180°5=108°,

∵菱形ABCD,
∴AD∥BC,
∴AD∥EM∥BC,
∴∠AEM+∠DAE=180°,∠1=∠FEM,
∴∠AEM+∠2+∠EAH=180°,
∴∠2=180°-108°-∠AEM=72°-∠AEM,
∵∠1=∠FEM,
∴∠1+∠AEM=108°, 即∠1=108°-∠AEM,
∴∠1-∠2=108°-∠AEM-72°+∠AEM=36°.
故答案为：36
本题考查的是菱形的性质，正五边形的性质，平行线的性质，作出适当的辅助线是解本题的关键.
11．
【详解】设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，先根据垂径定理可得EA＝EB＝4，FC＝FD，进而可求出OE＝2，再设P（2，m），即可利用勾股定理表示出PC2，PA2，最后利用PA＝PA列方程即可求出m值，进而可得点D坐标．
【解答】解：设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，则EA＝EB＝AB2＝4，FC＝FD，

∴OE＝EB﹣OB＝4﹣2＝2，
∴E（2，0），
设P（2，m），则F（0，m），
连接PC、PA，
在Rt△CPF中，PC2＝（3﹣m）2+22，
在Rt△APE中，PA2＝m2+42，
∵PA＝PC，
∴（3﹣m）2+22＝m2+42，
∴m＝±12（舍正），
∴F（0，-12），
∴CF＝DF＝＝72，
∴OD＝OF+DF＝＝4，
∴D（0，﹣4），
故答案为：（0，﹣4）．
本题考查垂径定理，涉及到平面直角坐标系，勾股定理等，解题关键是利用半径相等列方程．
12．455
【分析】设PQ与AC交点为O，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线OP'，然后根据△P'OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出OP'，得到PQ的最小值．
【详解】解：设PQ与AC交点为O，
∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴BC＝AC2+AB2＝25，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP'，
∵∠ACB＝∠P'CO，∠CP'O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP'O，
∴COBC=OP'AB，
∴225=OP'2，
∴OP'＝255，
∴则PQ的最小值为2OP'＝455，
故答案为：455．

本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作垂线段，构建相似三角形．
13．6
【分析】延长CA交x轴于点F，延长BA交y轴于点E，过点B作BG⊥x轴于点G，过点C作CD⊥y轴于点D，设Am,n，可得到四边形AEOF、AEDC、AFGB都是矩形，点A是函数y=2x图像上的任意一点，可得Am,2m，根据点B、C在反比例函数y=kx的图像上，从而得到Cm,km，Bkm2,2m，然后根据阴影部分的面积为4列方程即可解答．
【详解】解：延长CA交x轴于点F，延长BA交y轴于点E，过点B作BG⊥x轴于点G，过点C作CD⊥y轴于点D，设Am,n
∵AB//x轴，AC//y轴，
又∵在平面直角坐标系中，x轴和y轴互相垂直，
∴CF⊥x轴，BE⊥y轴，CA⊥AB，
∴四边形AEOF、AEDC、AFGB都是矩形，
∴AE=CD=FO，OE=AF=BG，
∵点A是函数y=2x图像上的任意一点，
∴，
∴Am,2m，
∵点B、C在反比例函数y=kx的图像上，
∴Cm,km，Bkm2,2m，
∴FG=OG-OF=km2-m，
∴S阴影=S矩形OFCD+S矩形AFGB-S△OCD-S△OGB，
即k+2mkm2-m-12k-12k=4，
解得：k=6．
故答案为：6．

本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值k，过图像上一点作坐标轴的垂线构建矩形是常用的解题方法．由几何图形的性质将阴影部分的面积进行转化是解题的关键．
14．-2,2或1,5
【分析】根据对称性表示出A，B两点的坐标，利用勾股定理列式求解即可．
【详解】∵A，B关于直线y=x对称，
∴设Aa,b，则Bb,a，
如图所示，

∴BC=xB-xA，AC=yA-yB，
∴AB=xB-xA2+yA-yB2，
∴42=b-a2+a-b2，
∴422=b-a2+a-b2，
∴32=2b-a2，
∴b-a2=16，
∴b-a=4或（舍），
∴b=a+4，
∵Aa,b在y=-x2+6上，
∴b=-a2+6，
即a+4=-a2+6，
整理得：a2+a-2=0，
解得a1=-2，a2=1，
当a=-2时，b=a+4=-2+4=2，
当a=1时，b=a+4=1+4=5，
∴点A的坐标为-2,2或1,5；
故答案是-2,2或1,5．
本题主要考查了二次函数的应用及对称点的表示，解题的关键是设点的坐标，表示出AB的长度．
15．294
【分析】由x＋y＝5得x＝5-y，代入xy＋1得（5-y）y＋1=-y2+5y+1，进而求出最值．
【详解】解：由x＋y＝5得x＝5-y，
∴xy＋1=（5-y）y＋1=-y2+5y+1=-（y-52）2+294，
∵-1