专题29 全国初中数学竞赛分类汇编卷（六）不等式（组）（提优）初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练含解析卷

这是一份专题29 全国初中数学竞赛分类汇编卷（六）不等式（组）（提优）初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练含解析卷，共12页。试卷主要包含了按如图的程序进行操作，规定等内容，欢迎下载使用。
专题29 全国初中数学竞赛分类汇编卷（六）不等式（组）（提优）
1．已知a1，a2，…，a2004都是正数，如果M＝（a1+a2+…+a2003）（a2+a3+…+a2004），N＝（a1+a2+…+a2004）（a2+a3+…+a2003），那么M、N的大小关系是（　　）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不确定的


2．已知△ABC的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8


3．若方程组3x−y=k+1x+y=3的解为x，y，且2＜k＜4，则x﹣y的取值范围是（　　）
A．0＜x﹣y＜3 B．0＜x﹣y＜1 C．﹣3＜x﹣y＜﹣1 D．﹣1＜x﹣y＜1


4．已知方程组y−2x=m2y+3x=m+1的解x，y满足2x+y≥0，则m的取值范围是　 　．


5．甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有　 　件．


6．满足不等式|5﹣x|+|x﹣1|＜37的整数解共有　 　个．


7．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否＞487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 　 　．


8．[a]表示不大于a的最大整数，那么方程[3x+1]＝2x−12的所有根的和是　 　．
9．已知k是满足1910＜k＜2010的整数，并且使二元一次方程组5x−4y=74x+5y=k有整数解．问：这样的整数k有多少个？


10．某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产此两种型号挖掘机，所生产的此两种型号挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：
型号
A
B
成本（万元/台）
200
240
售价（万元/台）
250
300
（1）该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？
（2）该厂如何生产能获得最大利润？
（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m＞0），该厂应该如何生产获得最大利润？（注：利润＝售价﹣成本）


11．一般地，对任意的实数x，可记x＝[x]+{x}．其中：
符号[x]叫做x的整数部分，表示不大于x的最大整数（例如[3]＝3，[3.14]＝3，[﹣3.14]＝﹣4；符号{x}叫做x的小数部分，即0≤x＜1（例如{3.14}＝0.14，{3.86}＝0.86）．
试求出所有的x，使得13x+5[x]＝100






12．（探索题）某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商店出售的这种瓷砖有大，小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大，小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少？






13．某校决定购买一些跳绳和排球．需要的跳绳数量是排球数量的3倍，购买的总费用不低于2200元，但不高于2500元
（1）商场内跳绳的售价20元/根，排球的售价为50元/个，设购买跳绳的数量为x，按照学校所定的费用，有几种购买方案？每种方案中跳绳和排球数量各为多少？
（2）在（1）的方案中，哪一种方案的总费用最少？最少费用是多少元？
（3）由于购买数量较多，该商规定20元/根跳绳可打九折，50元/个的排球可打八折，用（2）中的最少费用最多还可以多买多少跳绳和排球？



14．为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．
（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？
（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍．其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；
（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：

A地
B地
C地
运往D县的费用（元/吨）
220
200
200
运往E县的费用（元/吨）
250
220
210
为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？







专题29 全国初中数学竞赛分类汇编卷（六）不等式（组）（提优）
1．已知a1，a2，…，a2004都是正数，如果M＝（a1+a2+…+a2003）（a2+a3+…+a2004），N＝（a1+a2+…+a2004）（a2+a3+…+a2003），那么M、N的大小关系是（　　）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不确定的
【解答】解：设S＝a2+a3+…+a2003，则M＝（a1+S）（S+a2004）＝a1S+Sa2004+S2+a1a2004，
N＝（a1+S+a2004）S＝a1S+Sa2004+S2，
∴M﹣N＝a1•a2004＞0（a1，a2，…，a2004都是正数），
∴M＞N．
故选：A．
2．已知△ABC的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：设△ABC的面积为S，所求的第三条高线的长为h，则三边长分别为2S5，2S20，2Sℎ，则2S5＞2S20．
由三边关系，得2S20+2Sℎ＞2S52S20+2S5＞2Sℎ，
解得4＜ℎ＜203．
所以h的最大整数值为6，即第三条高线的长的最大值为6．
故选：B．
3．若方程组3x−y=k+1x+y=3的解为x，y，且2＜k＜4，则x﹣y的取值范围是（　　）
A．0＜x﹣y＜3 B．0＜x﹣y＜1 C．﹣3＜x﹣y＜﹣1 D．﹣1＜x﹣y＜1
【解答】解：两个方程相减，得：2x﹣2y＝k﹣2，
∴x﹣y=k−22，
∵2＜k＜4，
∴0＜k﹣2＜2，
则0＜k−22＜1，即0＜x﹣y＜1，
故选：B．
4．已知方程组y−2x=m2y+3x=m+1的解x，y满足2x+y≥0，则m的取值范围是　m≥−43　．
【解答】解：2x−y=−m①3x+2y=m+1②，
①×2+②得：7x＝﹣m+1，即x=−m+17，
将x=−m+17代入①得：y=5m+27，
根据题意得：2x+y=−2m+27+5m+27≥0，
解得：m≥−43．
故答案为：m≥−43
5．甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有　12　件．
【解答】解：设共购商品2x件，9元的商品a件，则8元商品为（2x﹣a）件，根据题意得：
8（2x﹣a）+9a＝172，
解得a＝172﹣16x，
∵依题意2x≥a，且a＝172﹣16x≥0，x为大于0的自然数，
∴可得9.6≤x≤10.75，
∴x＝10，则a＝12．
所以9元的商品12件，
故答案为：12．
6．满足不等式|5﹣x|+|x﹣1|＜37的整数解共有　7　个．
【解答】解：①当x＜1时，不等式变形为5﹣x+1﹣x＜37，
解得：x＞6−372，
即6−372＜x＜1，
整数解是0；
②当1≤x＜5时，不等式变形为：5﹣x+x﹣1＜37
即4＜37，
此时的整数解是：1，2，3，4有三个．
③当x≥5时，不等式转化为x﹣5+x﹣1＜37，
则2x＜6+37，
则x＜3+372，
则整数解是：5，6．
则原不等式的整数解是：0，1，2，3，4，5，6，共7个．
故答案为：7．
7．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否＞487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 　7＜x≤19　．
【解答】解：前四次操作的结果分别为
3x﹣2；
3（3x﹣2）﹣2＝9x﹣8；
3（9x﹣8）﹣2＝27x﹣26；
3（27x﹣26）﹣2＝81x﹣80；
由已知得：27x−26≤48781x−80＞487，
解得：7＜x≤19．
容易验证，当7＜x≤19时，3x﹣2≤487 9x﹣8≤487，
故x的取值范围是：7＜x≤19．
故答案为：7＜x≤19．
8．[a]表示不大于a的最大整数，那么方程[3x+1]＝2x−12的所有根的和是　﹣2　．
【解答】解：设x＝n+a（n为整数，0≤a＜1），
代入原方程得：[3n+3a+1]＝2n+2a−12，即3n+1+[3a]＝2n+2a−12，
∴n+1+[3a]＝2a−12①，
则n+[3a]＝2a−32
于是2a−32是整数，又∵0≤a＜1，
∴−32≤2a−32＜12，
∴2a−32=0或﹣1，
当2a−32=0时，解得a=34，
把a=34代入①式，n+[94]＝0，
∴n＝﹣2．
于是得x1=−2+34；
当2a−32=−1时，a=14代入①式，n+[14]＝﹣1，
∴n＝﹣1．
于是得x2=−1+14，
则x1+x2=(−2+34)+(−1+14)=−2，
故所有根的和是﹣2．
故答案为：﹣2．
9．已知k是满足1910＜k＜2010的整数，并且使二元一次方程组5x−4y=74x+5y=k有整数解．问：这样的整数k有多少个？
【解答】解：解方程组可得解：x=35+4k41y=5k−2841．
设当35+4k=41m28−5k=41n（其中m和n是整数）（1）时方程组有整数解．
消去上面方程中的k，得到5m+4n＝7．（2）
∵m=7−4n5=1﹣n+2+n5且m和n是整数，
∴只要满足2+n5=l（l是整数）即可，即n＝5l﹣2，代入（2）式得m＝3﹣4l，
∴从（2）解得m=3−4ln=5l−2（其中l是整数）．（3）
将（3）代入（1）中一个方程得：35+4k＝123﹣164l，解得k＝22﹣41l．
∵k是满足1910＜k＜2010的整数，
∴1910＜22﹣41l＜2010，
解不等式得−198841＜l＜−189041，即﹣482041＜l＜﹣46441，
因此共有2个k值使原方程有整数解．
答：这样的整数k有2个．
10．某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产此两种型号挖掘机，所生产的此两种型号挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：
型号
A
B
成本（万元/台）
200
240
售价（万元/台）
250
300
（1）该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？
（2）该厂如何生产能获得最大利润？
（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m＞0），该厂应该如何生产获得最大利润？（注：利润＝售价﹣成本）
【解答】解：（1）设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机（100﹣x）台，
由题意得22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，
解得37.5≤x≤40．
∵x取非负整数，
∴x为38，39，40．
∴有三种生产方案
①A型38台，B型62台；
②A型39台，B型61台；
③A型40台，B型60台．
答：有三种生产方案，分别是A型38台，B型62台；A型39台，B型61台；A型40台，B型60台．

（2）设获得利润W（万元），由题意得W＝50x+60（100﹣x）＝6000﹣10x，
∴当x＝38时，W最大＝5620（万元），
答：生产A型38台，B型62台时，获得最大利润．

（3）由题意得W＝（50+m）x+60（100﹣x）＝6000+（m﹣10）x
当0＜m＜10，则x＝38时，W最大，即生产A型38台，B型62台；
当m＝10时，m﹣10＝0则三种生产方案获得利润相等；
当m＞10，则x＝40时，W最大，即生产A型40台，B型60台．
答：当0＜m＜10时，生产A型38台，B型62台获利最大；当m＝10时，3种方案获利一样；当m＞10时，生产A型40台，B型60台获利最大．
11．一般地，对任意的实数x，可记x＝[x]+{x}．其中：
符号[x]叫做x的整数部分，表示不大于x的最大整数（例如[3]＝3，[3.14]＝3，[﹣3.14]＝﹣4；符号{x}叫做x的小数部分，即0≤x＜1（例如{3.14}＝0.14，{3.86}＝0.86）．
试求出所有的x，使得13x+5[x]＝100
【解答】解：令[x]＝n，代入原方程得13x+5n＝100，即x=100−5n13，
又∵[x]≤x＜[x]+1，
∴n≤100−5n13＜n+1．
整理得13n≤100﹣5n＜13n+13，
即296＜n≤509，
∴n＝5．
代入原方程得13x+5×5＝100，
解得：x=7513．
经检验，x=7513是原方程的解．
12．（探索题）某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商店出售的这种瓷砖有大，小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大，小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少？
【解答】解：依题意有三种购买方案
方案一：只买大包装，则需买包数为48050=485由于不折包装，
所以只需买10包，所付费用为30×10＝300元．
方案二：只买小包装，则需买包数为48030=16，所付费用为16×20＝320元．
方案三：既买大包装，又买小包装并设买大包装x包，小包装y包，
所需费用为w元，根据题意得
50x+30y≥480w=30x+20y，
所以w=−103x+320
因为0＜50x＜480，且x为正整数
所以0＜x＜9.6．
所以x＝9时，w最小＝290（元）
即购买9包大包装瓷砖和1包小包装瓷砖时，所付费用最少，最少为290元．
13．某校决定购买一些跳绳和排球．需要的跳绳数量是排球数量的3倍，购买的总费用不低于2200元，但不高于2500元
（1）商场内跳绳的售价20元/根，排球的售价为50元/个，设购买跳绳的数量为x，按照学校所定的费用，有几种购买方案？每种方案中跳绳和排球数量各为多少？
（2）在（1）的方案中，哪一种方案的总费用最少？最少费用是多少元？
（3）由于购买数量较多，该商规定20元/根跳绳可打九折，50元/个的排球可打八折，用（2）中的最少费用最多还可以多买多少跳绳和排球？
【解答】解：（1）根据题意得：
20x+50×x3≥220020x+50×x3≤2500
解得60≤x≤68211．
∵x为正整数
∴x可取60，61，62，63，64，65，66，67，68
∵13x也必需是整数
∴13x可取20，21，22．
∴有三种购买方案：
方案一：跳绳60根，排球20个；
方案二：跳绳63根，排球21个；
方案三：跳绳66根，排球22个．

（2）在（1）中，方案一购买的总数量最少，所以总费用最少
最少费用为：60×20+20×50＝2200．
答：方案一购买的总数量最少，所以总费用最少，最少费用为2200元．

（3）设用（2）中的最少费用最多还可以多买的排球数量为y，20×90%（60+3y）+50×80%（20+y）≤2200，
解得：y≤31947，
∵y为正整数，
∴满足y≤31947的最大正整数为3
∴多买的跳绳为：3y＝9（根）．
答：用（2）中的最少费用最多还可以多买9根跳绳和3个排球．
14．为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．
（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？
（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍．其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；
（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：

A地
B地
C地
运往D县的费用（元/吨）
220
200
200
运往E县的费用（元/吨）
250
220
210
为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？
【解答】解：（1）设这批赈灾物资运往D县的数量为a吨，运往E县的数量为b吨．
由题意，得a+b=280a=2b−20
解得a=180b=100
答：这批赈灾物资运往D县的数量为180吨，运往E县的数量为100吨．

（2）由题意，得120−x＜2xx−20≤25
解得x＞40x≤45即40＜x≤45．
∵x为整数，∴x的取值为41，42，43，44，45．
则这批赈灾物资的运送方案有五种．
具体的运送方案是：
方案一：A地的赈灾物资运往D县41吨，运往E县59吨；B地的赈灾物资运往D县79吨，运往E县21吨．
方案二：A地的赈灾物资运往D县42吨，运往E县58吨；B地的赈灾物资运往D县78吨，运往E县22吨．
方案三：A地的赈灾物资运往D县43吨，运往E县57吨；B地的赈灾物资运往D县77吨，运往E县23吨．
方案四：A地的赈灾物资运往D县44吨，运往E县56吨；B地的赈灾物资运往D县76吨，运往E县24吨．
方案五：A地的赈灾物资运往D县45吨，运往E县55吨；B地的赈灾物资运往D县75吨，运往E县25吨．

（3）设运送这批赈灾物资的总费用为w元．
由题意，得w＝220x+250（100﹣x）+200（120﹣x）+220（x﹣20）+200×60+210×20＝﹣10x+60800．
因为w随x的增大而减小，且40＜x≤45，x为整数．
所以，当x＝41时，w有最大值．则该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多为：w＝60390（元）．