2023年中考数学一轮复习四边形专题《第五节 正方形》专练（通用版）

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第五章  四边形第五节  正方形点对点·本节内考点巩固10分钟1.下列命题是真命题的是(　　)A. 对角线相等的四边形是矩形              B. 对角线互相垂直的四边形是矩形C. 对角线互相垂直的矩形是正方形          D. 四边相等的平行四边形是正方形2. 我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．已知四边形ABCD的中点四边形是正方形，对角线AC与BD的关系，下列说法正确的是(　　)A. AC，BD相等且互相平分           B. AC，BD垂直且互相平分C. AC，BD相等且互相垂直           D. AC，BD垂直且平分对角3. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为(　　)A.          B. 3         C.           D. 5                  第3题图　                　4. 如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且CE＝CO，则BE的长度为(　　)A.        B.        C.       D. 2第4题图5. 如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是(　　)A.     B.         C. －1   D.                   第5题图　                  　6. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件__________，使四边形ABCD是正方形．(填一个即可)第6题图点对线·板块内考点衔接20分钟1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15，分别以AC，BC为边向△ABC外作正方形，两个正方形的面积分别记为S1，S2，则S1＋S2等于(　　)　 　 　　　　 　 　　　　 　 　　　 A. 30         B. 150         C. 200         D. 225                第1题图　　              　2. 如图所示，▱ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE＝40°，∠CEF＝15°，则∠C的度数是(　　)A. 115°       B. 105°        C. 75°         D. 65°第2题图3. 如图，在正方形ABCD中，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点E，连接AE，BE，CE，得到△ABE，则△ABE与正方形ABCD的面积比为(　　)A. 1∶2      B. 1∶3        C. 1∶4         D. 1∶                     第3题图　　                    　4. 如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是(　　)A. AB＝CD，AB⊥CD               B. AB＝CD，AD＝BCC. AB＝CD，AC⊥BD               D. AB＝CD，AD∥BC第4题图5. (全国视野创新题推荐)正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积(　　)A. 先变大后变小            B. 先变小后变大C. 一直变大                D. 保持不变第5题图6. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使D点落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是________．                    第6题图　                      　7. 如图，在正方形ABCD的右侧作等边三角形CDE，连接AE，则∠BAE的度数是________．第7题图8. (全国视野创新题推荐)把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为________．第8题图9. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是________．　                      第9题图　                          　10. 将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置(如图)，使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝________．(结果保留根号)第10题图11. (全国视野创新题推荐)如图，在正方形ABCD中，BE＝1，将BC沿CE翻折，使B点对应点刚好落在对角线AC上，将AD沿AF翻折，使D点对应点刚好落在对角线AC上，求EF＝________.第11题图12. 如图，在正方形ABCD中，点E, F分别在边CD，AD上，且AF＝CE.(1)求证：△ABF≌△CBE；(2)若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．第12题图        13. 如图，四边形ACEF为正方形，以AC为斜边作Rt△ABC，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE.(1)求正方形的边长；(2)求DE的长．第13题图         点对面·跨板块考点迁移 2分钟如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是(　　)题图A. (1，1)         B. (－1，－1)         C. (1，－1)          D. (－1，1)
      参考答案第五节  正方形点对点·本节内考点巩固1. C2. C　【解析】根据题意可得中点四边形一定是平行四边形，若AC与BD相等则中点四边形是菱形，若AC与BD互相垂直，则中点四边形是矩形，∴当AC与BD相等且互相垂直时，中点四边形是正方形．3. B　【解析】∵EC＝2，EB＝1，∠B＝90°，利用勾股定理可得BC＝，则正方形ABCD的面积为()2＝3.4. C　【解析】∵正方形ABCD的边长为，∴OB＝OC＝BC＝×＝1，OB⊥OC，∵CE＝OC，∴OE＝2，在Rt△OBE中，BE＝＝.5. C　【解析】如解图，连接EF.∵∠EAF＝60°，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝60°.∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABE＝∠ADF＝90°，AB＝AD.∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)．∴∠BAE＝∠DAF＝(90°－60°)＝15°.∴∠AEB＝∠AFD＝75°.∴∠CEF＝∠CFE＝180°－75°－60°＝45°.设CF＝EC＝x，则EF＝x，BE＝1－x.在Rt△ABE中，12＋(1－x)2＝(x)2，解得x1＝－1，x2＝－－1(舍去)．第5题解图6. ∠BAD＝90°　【解析】∵四边形ABCD为菱形，∴当∠BAD＝90°时，四边形ABCD为正方形．点对线·板块内考点衔接　1. D　【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15，∴由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2＝225，则S1＋S2＝AC2＋BC2＝225.2. A　【解析】∵四边形AEFG是正方形，∴∠AEF＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠C＝∠BAD.∴∠EAD＝180°－∠AEC＝180°－90°－15°＝75°.∴∠BAD＝40°＋75°＝115°.∴∠C＝115°.3. C　【解析】如解图，过E作EF⊥AB于F，由题意得，△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝60°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°，∴EF＝BE，设正方形的边长为a，则AB＝BE＝BC＝a，∴EF＝a，∴S△ABE＝AB·EF＝·a·a＝a2，S正方形ABCD＝a2，∴△ABE与正方形ABCD的面积比为1∶4.第3题解图4. A　【解析】∵点E，N分别是AD，BD的中点，∴EN是△DAB的中位线，∴EN∥AB，EN＝AB，∵F，M分别是BC，AC的中点，∴FM是△CBA的中位线，∴FM∥AB，FM＝AB，∴FM∥NE，FM＝NE，∴四边形ENFM是平行四边形，要让四边形ENFM是正方形，则需其邻边相等，且互相垂直．同样根据题意可知EM∥CD，且EM＝CD，∴当AB＝CD时EN＝EM，当AB⊥CD时，EN⊥EM，故A符合条件．5. D　【解析】如解图，连接DE，∵在正方形ABCD中，S△DEC＝AD·CD＝S正方形ABCD，在矩形ECFG中，S△DEC＝EC·GE＝S矩形ECFG.即点E从点A移动到点B的过程中，△DEC的面积保持不变，∴矩形ECFG的面积保持不变．第5题解图6. 4　【解析】设CH＝x，则DH＝EH＝9－x.∵BE∶EC＝2∶1，BC＝9，∴CE＝BC＝3.在Rt△ECH中，EH2＝EC2＋CH2，即(9－x)2＝32＋x2，解得x＝4，即CH＝4.7. 75°　【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AD＝DC，∵△CDE是等边三角形，∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，DE＝DC，∴∠ADE＝90°＋60°＝150°，AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝×(180°－150°)＝15°，∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝90°－15°＝75°.8. 12　【解析】设题图①中菱形对角线分别为a，b，且a>b.由题图②得a＋b＝5，即a＋b＝10.由题图③得a－b＝1，即a－b＝2.解方程组，得∴菱形的面积为ab＝×6×4＝12.9. 8　【解析】如解图，连接BD，BD与AC相交于点O，∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴CD＝AD，∠DAE＝∠DCF＝45°，BD⊥AC. ∵AE＝CF, ∴△DAE≌△DCF(SAS), ∴DE＝DF，同理可证DE＝BE，BE＝BF，∴四边形BEDF是菱形，∵AC＝8，AO＝OD，AE＝2，∴OE＝2，OD＝4，∴DE＝＝＝2.∴四边形BEDF的周长为4DE＝8.第9题解图10. －1　【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝1，∠CDA＝90°，∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，∴CF＝，∠CFE＝45°，∴△DFH为等腰直角三角形，∴DH＝DF＝CF－CD＝－1.11. 　【解析】过点F作FM⊥AB于点M，由折叠可知EX＝EB＝AX＝1，∴AM＝DF＝YF＝1，AE＝，∴正方形边长AB＝FM＝AE＋EB＝＋1，EM＝－1，∴EF＝＝＝.第11题解图12. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C，AB＝BC，在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE(SAS)；(2)解：∵AB＝4，AF＝1，∴S△ABF＝AB·AF＝×4×1＝2，又∵ △ABF≌△CBE，∴S四边形BEDF＝S正方形ABCD－2S△ABF＝4×4－2×2＝12.13. 解：(1)在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，∴AC＝＝＝2，∴正方形边长为2；(2)∵∠B＝90°，∴∠BAC＋∠BCA＝90°.∵∠ACE＝90°，∴∠BCA＋∠ECD＝90°.∴∠BAC＝∠ECD.又∵＝＝.∴△ABC∽△CED.∴＝＝，∴DE＝.点对面·跨板块考点迁移C　【解析】如解图，连接AC.∵四边形OABC是正方形，∴点A、C关于x轴对称，∴AC所在直线为OB的垂直平分线，即A、C的横坐标均为1，根据正方形对角线相等的性质，AC＝BO＝2，又∵A、C关于x轴对称，∴A点纵坐标为1，C点纵坐标为－1，故C点坐标(1，－1)．解图