2022 奥赛希望杯六年级培训 100题——答案版

这是一份2022 奥赛希望杯六年级培训 100题——答案版，共39页。试卷主要包含了 【答案】4， 【答案】， 【答案】C， 【答案】2， 【答案】303， 【答案】81， 【答案】201， 【答案】8等内容，欢迎下载使用。


2022 希望少年俱乐部-六年级培训 100 题（解析）
1. 【答案】4
3
6
2+3 3+4 4+5 5+6 6+7
【解析】原式= + +
+
+
+
+
5
7
2×3 3×4 4×5 5×6 6×7
3
6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
7
= + + + + + + + + + + +
5
7
2
3
3
4
4
5
5
6
6
3
1
1
6
1
1
1
1
1
1
1
1
=（ + + ）+（ + ）+（ + + ）+（ + + + ）
5
5
5
7
7
2
4
4
3
3
6
6
=1+1+1+1
=4
1
9
2. 【答案】
15−1 218−2
1
11
【解析】原式=（
+
）÷ ×
90
990
3
111
154 216
3
11
=（
+
）× ×
990 990
1
111
37
3
11
=
=
× ×
99
1
111
1
9
3. 【答案】C
1
1
20 20
3
1
9
3
【解析】A=（ + ）×20= + =2+ + =2+ +
17 19
17 19
17 19
51 57
1
1
5
30
1
1
9
3
B=（ + ）×30= + =2+ + =2+ +
24 29
4
29
4
29
36 87
1
1
40 40
9
3
C=（ + ）×40= + =2+ +
31 37
31 37
31 37
1
1
50 50
9
3
D=（ + ）×50= + =2+ +
41 47
41 47
41 47
整数部分都是 2，观察分数部分，两个分数分子都是 9 和 3，
比较分母，C 的两个分母对应都是最小的，所以 C 结果最大。


4. 【答案】2
2009−1+2007×2009 2010−1+2008×2010
【解析】原式=
+
2008×2009−1
2009×2010−1
（2007+1）×2009−1 （2008+1）×2010−1
=
=
+
2008×2009−1
2009×2010−1
2008×2009−1 2009×2010−1
+
2008×2009−1 2009×2010−1
=1+1
=2
5. 【答案】303
【解析】数位对齐后发现结果没有进位，
所以结果的数字和与每个加数的数字和之和相同，
所以结果的数字和是：1×100+2×50+4×25+2+0+1+0=303
6. 【答案】81.4
【解析】
1
1
1
1
1
1
1
1
原式=1+3+ +5+ +7+ +9+ +11+ +13+ +15+ +17+
2×3
3×4
4×5
5×6
6×7
7×8
8×9
9×10
=（1+3+5+7+9+11+13+15+17）+
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
（ − + − + − + − + − + − + − + −
）
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
=81+0.4
=81.4
7. 【答案】4
1
1
【解析】
−
=0.416
1×2
3×4


1
1
−
=0.015476190
5×6
7×8
1
1
−
=0.0035
9×10
11×12
⋯⋯，
越往后计算结果越来越小，后面的加和不影响小数点第一位，所以小数点后第一位是 4。
8. 【答案】201
【解析】2010♥ 2010=2010×2010
=
2010
，
2010+2010
2
2010
×2010
+2010
2010
2
2010
3
♥ 2010=
♥ 2010=
2
=
=
，
2010
2
2010
×2010
+2010
2010
3
2010
4
3
，
2010
3
⋯⋯，
2010
×2010
+2010
2010
2010
10
♥ 2010=
9
=
= 201。
2010
9
9
9. 【答案】8
【解析】数字不重复所以 1～9 各使用一次，
2020=2×2×5×101
分析算式，AꢁꢁBꢁ+ꢁCꢁDꢁ只能是 101，
两位完全平方数只有 16，25，36，49，64，81，
ꢁꢁꢁ对应是其中一个，ꢁꢁꢁ对应 85，76，65（数字重复舍），52，37，20（有 0 舍），
CD AB
当AꢁꢁBꢁ+Cꢁ ꢁDꢁ=85+16，ꢁEꢁFꢁ=49，找不到 H，I，不符合；
当AꢁꢁBꢁ+Cꢁ ꢁDꢁ=76+25，ꢁEꢁFꢁ=49 或 81，找不到 H，I，不符合；
当AꢁꢁBꢁ+Cꢁ ꢁDꢁ=52+49，EꢁꢁFꢁ=16 或 36 或 81，找不到 H，I，不符合；
当AꢁꢁBꢁ+Cꢁ ꢁDꢁ=37+64，EꢁꢁFꢁ=25 或 81，此时当EꢁꢁFꢁ=25 时，H+I=1+9，G=8 符合算式，


也就是：（37+64）×25×8÷（1+9）=2020，
所以 G=8。
10. 【答案】1
【解析】原式=1！×（1+2）−2！×（1+3）+3！×（1+4）−4！×（1+5）+⋯⋯
+2009！×（1+2010）−2010！×（1+2011）+2011！
=1！+2！−2 ！−3！+3！+4！−4 ！−5！+⋯⋯+2009！+2010！−2010！−2011！+2011！
=1
6
11. 【答案】
11
4x
【解析】解：设这个分数分子加 2 后约简前是 ，
7x
4x−2 14
=
7x−2 25
25（4x−2）=14(7x−2)
100x−50=98x−28
2x=22
x=11
4×11−2 42
6
这个分数是
= = 。
7×11
77 11
12. 【答案】1
【解析】设 1+
1
=a，
1
3+
1
4+
1
⋯+
2009
1
1
原式=
+
1
1
1+1+
1+
1
1
1
3+
4+
1+
3+
4+
⋯+
1
1
1
⋯+
2009
1
2009


1
1
=
=
+
1
1+a 1+a
1
1
a+1
a
+
1+a
1
a
=
+
1+a a+1
=1
13. 【答案】1479
n
n
n
n−1
n−1
n−1
【解析】当 n 是 2，3，5 的倍数是，算式[ ]+[ ]+[ ]比[ ]+[ ]+[ ]会增加 1～3，所以
2
3
5
2
3
5
就会增加 1 种不同值，
找 1～2015 中 2，3，5 的倍数：
2015
[
2
2015
3
2015
]+[
5
2015
]−[
2×3
2015
]−[
2×5
2015
3×5
2015
]+[
]−[
]+[
]=1478
2×3×5
1
1
1
注意最开始[ ]+[ ]+[ ]=0 是 1 种值，
2
3
5
所以一共有：1+1478=1479 种不同的值。
14. 【答案】15
【解析】因为 48÷4=12 人，48÷5=9 人⋯⋯3 本，
所以第一组少于 12 人，多于 9 人，只能是 10 或 11 人；
因为 48÷3=16 人，48÷4=12 人
所以第二组少于 16 人，多于 12 人，只能是 13 或 14 或 15 人；
因为第二组比第一组多 5 人，所以第一组只能是 10 人，第二组只能是 15 人。
15. 【答案】200
【解析】利用三视图法求表面积：


从正面看：7 个小正方形面；
从右面看：8 个小正方形面；
从上面看：9 个小正方形面；
注意有三视图看不见的 2 个凹槽面；
所以一共有：（7+8+9）×2+2=50 个小正方形面，
一个小正方形面积：2×2=4 平方厘米，
所以它们的表面积是：50×4=200 平方厘米。
16. 【答案】1252
【解析】一般情况下，正方体八个顶点截取小正方体，表面积不会变。但当截取的棱长为 8
和 7 的小正方体相邻时，表面积就会发生变化，少了 2 个边长为 7 的正方形的面积。而其
他 6 个顶点不存在相同问题。所以当棱长为 8 和 7 的小正方体相邻时，表面积最小。
15×15×6-7×7×2=1350-98=1252。
17. 【答案】25.6
【解析】半米=50 厘米，
将铁棒提起 24 厘米，这时铁棒上至少有 24 厘米是湿的，
由于铁棒提起，水面会下降，水面下降部分的体积，是原来 24 厘米长铁棒待的体积：
15×15×24=5400 立方厘米，
而下降部分水的形状是一个类似环形柱体，
所以下降水的高：5400÷（602 − 152）=1.6 厘米
所以铁棒漏出水面一共浸湿的部分长为：24+1.6=25.6 厘米。




18. 【答案】2.048
【解析】假设非完全浸没：
铁块放进后水的形状类似环形柱体，
π × 102 × 8 ÷（π × 102 − 82）
=2512÷250
=10.048 厘米
10.048<15，符合非完全浸没，
所以水面上升了：10.048−8=2.048 厘米。
19. 【答案】25
【解析】根据题意知道，甲液面下降的高度加上乙液面下降的高度等于 1+1=2 厘米，
解：设甲液面下降的高度为 x 厘米，则乙液面下降的高度为（2-x）厘米。
30 30
:
=2:3
x 2−x
60 90
=
2−x
x
60x=90(2−x)
60x=180−90x
150x=180
x=1.2
所以甲的底面积是：30÷1.2=25 厘米。
20. 【答案】75
【解析】采用切片法，从上往下：


第 1,5 层
第 2 层
第 3 层
第 4 层
所以还剩：22×2+11+11+9=75 个。
21. 【答案】70
【解析】
连接 AF，作 FI 平行于 GC，交 EC 于点 I，
有题意可知，IF=GC=DF，


根据△EDC 和△IFC 金字塔模型，FC：FI=DC：DE=2:1
所以 FC：DF=2:1，BG：GC=2:1，
1
1
2
1
1
2
1
7
△AFG 的占比：1− × 1 × − × 1 × − × × =
，
3
2
3
2
3
3
2
18
7
1
所以△AHG 的面积：360× × =70
18
2
22. 【答案】25
【解析】
根据 DQ，CP，ME 平行，
可等积变形，△QEM=△DEM，△PEM=△CEM，
所以阴影面积变成了△DEC 的面积，
（5+7）×8÷2—5×5÷2—3×7÷2=25
23. 【答案】13
【解析】


通过分割图形，每个小正三角形的面积是 6÷6=1，
根据毕克定理格点面积公式：（6+3÷2—1）×2=13，13×1=13。
24. 【答案】76
【解析】设这三个正方形的边长分别是 a，b，c，
那么ꢂ2+ꢃ2+ꢄ2=132=169
经尝试，当 a=3，b=4，c=12,时，满足题意，
三个正方形的周长的和：3×4+4×4+12×4=76。
25. 【答案】1325
【解析】
如图，将五边形恢复成一个大正方形，
5×5=25，2×3÷2×2=6，25—6=19
19
五边形占大正方形面积的占比：
25
19
那么大正方形面积：2014÷ =2650 平方厘米
25
那么△ACE 的面积是：2650÷2=1325 平方厘米。


26. 【答案】288
【解析】
如图将阴影面积分成 8 个三角形，通过构造弦图，可知三角形的高是 12÷2=6 厘米
所以阴影面积是：12×6÷2×8=288 平方厘米。
27. 【答案】2
【解析】
通过分割补法，阴影面积可以变成一个正方形，这个正方形面积可以通过分成 4 个等腰直
角三角形去算面积，
1×1÷2×4=2


2
28. 【答案】 π
3
【解析】
连接 AF，FB，AE，
因为 AF，FB，AB 都是圆的半径，所以都相等，△AFB 是等边三角形，
∠FAB=60°，所以∠DAF=90—60=30°，同理∠EAB=30°，那么∠FAE=90—30—30=30°，
30
2
那么阴影部分周长是： ×π×1×2×4= π
360
3
29. 【答案】2:1:2
【解析】
设大圆直径为 10，
1
1
1
A 的面积：π×5×5× —π×3×3× +π×2×2× =10π，
2
2
2
C 的面积跟 A 一样，那么 B 面积：π×5×5—10π×2=5π


那么 A、B、C 三部分的面积比为：10π：5π：10π=2:1:2
30. 【答案】π
3
【解析】
连接 EC，因为 BC、EC、BE 都是圆的半径，所以都相等，△BEC 是等边三角形，
∠EBC=60°，所以∠ABE=90—60=30°
30
ꢅ
扇形 BAE 的面积是： ×π×2×2=3
360
31. 【答案】300
2
5
1
【解析】（1 − ）× = ，
5
9
3
2
5
1
1
× = ，
4
10
2
1
1
量率对应：（20+30）÷（1 − − −
）
5
3
10
1
6
=50÷
=300 米
32. 【答案】600
【解析】相同时间内，甲乙丙的速度比为：


1
1
1
甲：乙：丙= ： ： =15：18：20，
6
5
4.5
20
一共 1590 个，按比分配丙分得：1590×
=600 个。
15+18+20
33. 【答案】7.5
【解析】经过分析，这三种情况都不能是完整循环，否则不成立，
①：甲、乙、丙、甲、乙、丙、⋯⋯、甲、乙、丙、甲；
②：丙、甲、乙、丙、甲、乙、⋯⋯、丙、甲、乙、丙、0.5 甲；
③：乙、丙、甲、乙、丙、甲、⋯⋯、乙、丙、甲、乙、丙；
①②对比，甲=丙+0.5 甲，可知甲=2 丙；
②③对比，丙+0.5 甲=乙+丙，可知甲=2 乙，
1
1
1
1
因为乙= ，所以甲= × 2= ，丙= ，
30
30
15
30
1
1
1
所以甲乙丙合作需要：1÷（ + + ）=7.5 天。
15 30 30
34. 【答案】1100
【解析】甲乙合作的工作效率：（ + ）×（1+20%）=
1
1
27
，
16 20
200
1
4
27 50
50 220
1
3
÷
= 天，10−
=
天，1− = ，
200 27
27 27
4
4
3
220 81
所以遇到地下水之后的效率和是： ÷
=
，
4
27 880
27
81
189
189
−
=
，47.25÷
=1100 方土。
200
880 4400
4400
4
35. 【答案】
9
【解析】设全年级男生有 5a 人，那么三班男生是 2a 人，那么一班和二班男生人数之和是
5a−2a=3a 人，


因为一班男生跟二班女生人数一样，将二班女生替换成一班男生，相当于二班总人数等于一
班和二班男生人数之和，也就是每个班 3a 人，三个班总共：3a×3=9a 人，女生总人数是：
9a−5a=4a 人，
4a
4
所以全部女生人数占全年级人数的： = 。
9a
9
36. 【答案】20
【解析】解：设加的数是 x，
43+x
61+x
7
9
=
9(43+x)=7(61+x)
387+9x=427+7x
2x=40
x=20
所以加的数是 20。
49
37. 【答案】
50
a−b a+b−2b
2b
【解析】a+b
=
=1−
，
a+b
a+b
2b
只要让 a 尽量大，b 尽量小， 就越小，整个结果越大，
a+b
99−1 49
所以当 a=99，b=1 时，整个结果是：99+1= 。
50
38. 【答案】50
【解析】开始时，请假人数：出席人数=1：9，
中途离开一个人后，请假人数：出席人数=3：22，


请假人数加出席人数总和不变，1+9=10，3+22=25，总份数统一成 50，
1：9=5：45，
3：22=6：44，
一份对应：1÷（6−5）=1 人/份，
所以总人数是：（5+45）×1=50 人。
7
39. 【答案】
12
2
5
5
【解析】得到的票占全部的： × = ，
3
6
9
3
5
7
还需要得到全部的： − = ，
4
9
36
2
1
总票还剩下：1− = ，
3
3
7
1
7
还需要得到的票占剩下的： ÷ = 。
36
3
12
40. 【答案】60
【解析】设刚开始总人数是 100 人，小学生人数是 100× 30%=30 人，
学生总人数增加后是：100× （1 + 20%）=120 人，
此时小学生人数是：120× 40%=48 人，
小学生增加了：（48−30）÷30=60%。
41. 【答案】75
【解析】解：设总枚数是 100 枚，其中 1 分有 x 枚，
100× 15%=15 枚，1 角数量：100−15−x=85−x，1 角=10 分，
[1× x+5×15+10(85−x)]×40%=10(85−x)


(925−9x)×40%=850−10x
370−3.6x=850−10x
6.4x=480
x=75
75
所以 1 分的数量是占 =75%
100
42. 【答案】37.5
【解析】设满杯容量 100，
先将乙的一半倒入甲后，这时甲的浓度：50×50%÷100=25%，
再将甲的一半倒入乙后，这时乙的浓度：（50×25%+50×50%）÷100=37.5%
43. 【答案】20
【解析】解：设 B 溶液的浓度是 x，则 A 溶液的浓度是 2x。
100×2x+400x+1000×15%=(100+400+1000)×14%
600x+150=210
600x=60
x=10%
则 A 溶液的浓度是：10%×2=20%
44. 【答案】192
【解析】设山路长度为：[200，240，150]=1200 米，
平均速度=总路程÷总时间，


总路程：1200×4=4800 米，
总时间：1200÷200+1200÷240+1200÷150+1200÷200=25 分，
所以平均速度：4800÷25=192 米/分。
45. 【答案】300
【解析】甲的路程：100×10+80×（25−10）+60×（30−25）=2500 米，
乙的路程：100×20+80×（30-20）=2800 米
所以乙比甲多行：2800−2500=300 米。
46. 【答案】1470
【解析】甲第一次追上乙，甲比乙多过 2 个顶点，
多耽误 15×2=30 秒，乙这段时间能多走 30÷60×80=40 米，
（200+200+40）÷（100−80）=22 分钟，
甲走一条边需要：200÷100=2 分钟，22÷2=11 条，甲走完完整边追上乙，说明甲乙同时
到达同一个顶点，
一共花了 22×60+（11−1）×15=1470 秒。
47. 【答案】400
【解析】第一圈速度比甲：乙=3：2，设甲第一圈的速度为 3，乙第一圈的速度为 2，第一
3
次相遇地点距离甲出发点占全程的 3÷（3+2）= ，
5
2
2
1
当甲跑完一圈后，乙只跑 圈，也就是还差 1− = 回到出发点，
3
3
3
1
1
1
2
甲第二圈提速后的速度：3×（1+ ）=4，当乙跑完剩下 时，甲能回头跑 ÷ 2 × 4= ，还剩
3
3
3
3


2
1
距离甲出发点 1− = ，
3
3
1
1
乙第二圈提速后的速度：2×（1+ ）=2.4，剩下 的路程相遇，相遇点距离甲出发点：
5
3
1
3
2.4
1
×
= ，
4+2.4
8
3
1
所以椭圆形跑道全长：190÷（ − ）=400 米。
5
8
48. 【答案】2.6
【解析】
如图，100÷25=4，所以人数分成 4 份，
第一组从 A 开始上车被放到 D1 点；然后汽车回到 C1 接到第二组，放到 D2；
接着汽车回到 C2 接到第三组，放到 D3；最后汽车回到 C3 接到第四组，放到 B，
这样最后同时到达时间最短，那么每个组的步行距离都是一样的；
当第一组从 A 送到 D1 再回到 C1，另外三组都步行从 A 走到 C1，
（AD1+D1C1）：AC1=55：5=11：1
设 AC1 为 1 份，那么 AD1 是（11+1）÷2=6 份，AB 是 9 份
11
33÷9= 千米/份，
3
11
11
所需时间是： ×3÷5+ ×6÷55=2.6 小时。
3
3
49. 【答案】30
【解析】
n 小时内ꢆ +ꢆ =60 千米
乙
丙


2n 小时内ꢆ +ꢆ =120 千米
乙
丙
设甲、乙、丙、丁 2n 小时内的路程差为 x，
ꢆ =ꢆ —x，ꢆ =ꢆ +x，
乙
甲
丙
丁
所以 2n 小时内ꢆ +ꢆ =120 千米
甲
丁
而 2n 小时内甲追上丁：ꢆ —ꢆ =600 千米
甲
丁
解得 2n 小时内，ꢆ =90 千米，ꢆ =30 千米
甲
丁
所以 BC 两地距离是 30 千米。
50. 【答案】139
【解析】解：设这个三位数是ꢂꢁ ꢁꢃꢁꢄꢁ，
ꢁꢁꢁꢁ+ꢁꢁꢁꢁ+ꢁꢁꢁꢁ+ꢁꢁꢁꢁ+ꢁꢁꢁꢁ+ꢁꢁꢁꢁ=2886
abc acb bac bca cab cba
100a+10b+c+100a+10c+b+100b+10a+c+100b+10c+a+100c+10a+b+100c+10b
+a=2886
222a+222b+222c=2886
a+b+c=13
其中最小的三位数是当 a+b+c=1+3+9=13
此时最小的三位数是：139。
51. 【答案】24 和 30
【解析】解：设这两个数的最大公因数是 m，这两个数分别是 ma 和 mb，注意 a 和 b 是
互质关系，
ma+mb=54，mab−m=114




m(a+b)=54=2× 32，m(ab−1)=114=2×3×19，
当 m=2 时，a+b=27，ab−1=57，无整数解；
当 m=3 时，a+b=18，ab−1=38，无整数解；
当 m=2×3=6 时，a+b=9，ab−1=19，此时 a=4，b=5；
ma=24，mb=30。
52. 【答案】197
【解析】分子是 1 时，分母可以是 1～59，有 59 个，分母刨去 1 的剩 59−1=58 个；
分子是 2 时，分母是 60−60÷2=30 个，分母刨去 1 的剩 30−1=29 个；
分子是 3 时，分母是 60−60÷3=40 个，分母刨去 1，2 的剩 40 −2=38 个；
分子是 4 时，4=2×2，分母是 60−60÷2=30 个，分母刨去 1，3 的剩 30 −2=28 个；
分子是 5 时，分母是 60−60÷5=48 个，刨去 1，2，3，4 的剩 48−4=44 个；
所以一共有：58+29+38+28+44=197 个。
53. 【答案】33
【解析】设余数都是 a
16520÷m⋯⋯a
14903÷m⋯⋯a
14177÷m⋯⋯a
(16520−14903)÷m⋯⋯0
(14903−14177)÷m⋯⋯0
1617÷m⋯⋯0




726÷m⋯⋯0
1617=3×7×7×11，726=2×3×11×11
（1617，726）=3×11=33，所以 m 最大可能是 33。
54. 【答案】240
【解析】根据因数个数定理反推，
20=19+1，符合a19的形式，最小是219=524288；
20=（3+1）×（4+1），符合a3b4的形式，最小是3324=432；
20=（1+1）×（9+1），符合a1b9的形式，最小是3129=1536；
20=（1+1）×（1+1）×（4+1），符合a1b1c4的形式，最小是315124=240。
所以恰有 20 个因数的最小自然数是：240。
55. 【答案】96
【解析】6=2×3，所以 A、B 正确的话 C 也正确，不符合；
33和62都是 9 的倍数，那么数字和也是 9 的倍数，而 15 不是 9 的倍数，所以要么是 A、D
对，要么是 B、C 对；
当 A、D 对时，24=32，能被 32 整除的数有 32，64，96，96 是符合题意；
当 B、C 对时，找不到符合的数；
所以两位数 n 的取值是 96。
56. 【答案】4
【解析】当小圆上蚂蚁回到出发点，大圆上的蚂蚁走到离出发点半圈位置时，两只蚂蚁离得




最远，设小圆走了 m 圈，大圆走了 n 圈多半圈，
30π ×m=48π ×n+48π ÷2
5m=8n+4
当 m=4，n=2 时，第一次相距最远，此时小圆上的蚂蚁爬了 4 圈。
57. 【答案】39951
【解析】5 个四位数的和最多是一个五位数，这个五位数的数字和除以 9 的余数，与 5 个四
位数的数字和之和除以 9 的余数一样，
（0+1+2+3+4+5+6+7+8+9）×2=90，90 除以 9 余 0，所以要求的五位数也是除以 9
余 0，
这个五位数开头顶多是 4，由于只能是奇数数字，首位最多是 3，千位和百位最多是 9，399__
__，
如果十位是 9，数字和要被 9 整除，个位只能是 6，不是奇数；
如果十位是 7，数字和要被 9 整除，个位只能是 8，不是奇数；
如果十位是 5，数字和要被 9 整除，个位只能是 1，是奇数，
此时可以构造 5 个四位数：
9207+9317+8326+8451+4650=39951
58. 【答案】91
【解析】根据题意，
①a÷3……1
②a÷5……1




③a÷7……0
符合①②的两位数：16，31，46，61，76，91，
只有 91 符合③，所以 a=91。
59. 【答案】153
【解析】十位尽量都大结果就大，
0~2__/0~5__/0~5__/0~1__/0~3__，
十位最大的安排：13/59/48/06/27，
那么这 5 个数的和最大是：
13+59+48+06+27=153
60. 【答案】2520
【解析】48 个因数，根据因数个数定理反推，有以下可能：
48=47+1=（1+1）×（23+1）=（2+1）×（17+1）=（3+1）×（11+1）
=（5+1）×（7+1）=（1+1）×（1+1）×（11+1）=（1+1）×（2+1）×（7+1）=（1+1）
×（3+1）×（5+1）=（1+1）×（1+1）×（1+1）×（5+1）
=（1+1）×（1+1）×（2+1）×（3+1）
=（1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）×（2+1）
10 个连续的因数尽量小，1～10，
1，2，3，4=22，5，6=2×3，7，8=23，9=32，10=2×5，
至少包含23 × 32 ×5×7，符合（1+1）×（1+1）×（2+1）×（3+1）的形式，
所以这个自然数最小是：23 × 32 ×5×7=2520。




61. 【答案】1122
【解析】每握一次手，两个人的转身可以看作是这两个人交换位置，朝向不变，
这样的话，最后相当于 3 号要走到 1 号位置，要交换 2 次位置，即握 2 次手；
6 号要走到 2 号位置，要交换 4 次位置，即握 4 次手；
9 号要走到 3 号位置，要交换 6 次位置，即握 2 次手；
……
99 号要走到 33 号位置，要交换 66 次位置，即握 66 次手；
所以一共要握手：2+4+6+8+……+66=（2+66）×33÷2=1122 次。
60
62. 【答案】
7
a
a
1
a
10
a
20
【解析】设这个数是 ， ÷ 1 、 ÷ 、 ÷ 都是自然数，
b
b
14
b
21
b
49
a
14
a
21
a
49
也就是 × 、 × 、 × 都是自然数，
b
15
b
10
b
20
a=[15，10，20]=60，b=(14，21，49)=7，
60
所以这个数最小是： 。
7
63. 【答案】70950
【解析】（3n+2，5n+1）=（（3n+2）×5，（5n+1）×3）=（15n+10，15n+3）
=（15n+10−（15n+3），15n+3）=（7，15n+3）
分子和分母的最大公因数：只能是 7，
那么 3n+2 和 5n+1 都是 7 的倍数，符合条件的三位数最小是 102，间隔是 7，最大是 998，
102+109+116+……+998


=（102+998）×129÷2
=70950
64. 【答案】5936
【解析】如果是奇数，则剩下的 5 个数字必有偶数，不符合，所以这个四位数必为偶数；
根据题意 1 跟 2 不能选，如果四位数不包含数字 3，则四位数是 3 的倍数，有因为这个四
位数是偶数，则不包含 6，此时剩下数字 4，5，7，8，9，因数是 3 的倍数所以要数字和
整除 3，只能选 4，5，7，8，但是 4+5+7+8=24 不是 9 的倍数，所以假设不成立，四位
数一定包含数字 3；
这个四位数不能整除 3，那么一定不能整除 6，9，所以四位数一定包含 3，6，9；
如果这个四位数不包含数字 5，那么四位数得整除 5，末尾没有 0 可选择；
所以这个四位数是由 3，5，6，9 组成，6 在末尾保证是偶数，
为了使得四位数能满足被 1，2，4，7，8 整除，
通过调整尝试，四位数只能是 5936。
65. 【答案】7776
【解析】因为 6=2×3，这个四位数和 6 的积是一个完全立方数，所以这个四位数至少要含
有23m−1 × 33m−1；
这个四位数和 6 的商是一个完全平方数，所以这个四位数至少要含有22n+1 × 32n+1；
3m−1=2n+1 最小值是 3×2−1=2×2+1=5；
这个四位数至少得包含25 × 35，而25 × 35=7776，无法再多乘一个大于 1 的数，
所以这个四位数是 7776。




66. 【答案】36
【解析】最小公倍数每新增一个不同质因数就会增加一个不同的值，
21～26，31～34，51～52，71～72，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，
53，59，61，67，71，73，79，83，89，97；
注意从开始的最小公倍数为 1，一共有 1+6+4+2+2+1×21=36 种。
67. 【答案】69
【解析】设五位回文数是ꢂꢃꢄꢃꢂ，根据 13 整除特征，
ꢄꢃꢂ − ab是 13 的倍数，
100c+10b+a−(10a+b)=100c+9b−9a=100c+9(b−a)=91c+9c+9(b−a)=7×13c+9(c+
b−a)
当 c+b-a=0 时，有 2+3+4+5+6+7+8+9+10=54 个；
当 c+b-a=13 时，有 5+4+3+2+1=15 个；
所以一共有 54+15=69 个。
68. 【答案】385
【解析】总决赛总决赛=总决赛 ×1001=总决赛 ×7×11×13，
考察完全平方数除以 7 和 11 的余数，
完全平方数除以 7 的余数只能是：0、1、2、4；
完全平方数除以 11 的余数只能是：0、1、3、4、5、9；
两个完全平方数之和是 7 的倍数，只能两个数都是 7 的倍数；


两个完全平方数之和是 11 的倍数，只能两个数都是 11 的倍数；
2
2
所以这两个数为 7 和 11 的公倍数，设这两个数为（77a） ，（77b）
2
2
那么总决赛 ×7×11×13=（77a） + （77b）
总决赛 ×13=77（a2+b2）
总决赛是 77 的倍数，可能是 77×2、77×3、……、77×12；
a2+b2可能是 13×2、13×3、……、13×12；
当总决赛=77×5=385，a2+b2=13×5=65=12+82=42+72，
所以总决赛代表的三位数是 385。
69. 【答案】2547
【解析】9 一定是被除数，通过尝试可以得到：
7÷3……1、8÷6……2、9÷5……4；
那么三个加数的和是：731+862+954=2547。
70. 【答案】96327
【解析】AB和CD是 6 和 8 的倍数，所以 B 和 D 代表的数字是偶数，
当 D 是 2 时，只有 27 是 9 的倍数，E=7，
8 的倍数只有 32 和 72 是以 2 结尾，所以 C=3，
7 的倍数只有 63 以 3 结尾，B=6，
6 的倍数只有 36，66，96 是以 6 结尾，所以 A=9，
此时五位数是 96327，经检验能够整除 7 和 9，满足题意。
所以这个五位数是 96327。


71. 【答案】13
【解析】45=5×9，
①这个数除以 5 的余数是 3，
②这个数除以 9 的余数是数字和除以 9 的余数，2018×2018÷9 余 4，
满足①的数是：3，8，13，18，23，……
满足①②最小是 13，
所以这个数除以 45 的余数是 13。
72. 【答案】1114
【解析】1 位“吉祥数”是：1，5，6；
2 位“吉祥数”是：25，76；
3 位“吉祥数”是：625，376；
所有不超过 3 位数的“吉祥数”之和是：1+5+6+25+76+625+376=1114。
73. 【答案】41
【解析】根据因数个数可知，至少有一个因数个数是奇数个，奇数个因数一定是完全平方数，
所以只需要找完全平方数附近的数去找，两位完全平方数有：16，25，36，49，64，81；
可以尝试知道，43，49，55 的因数个数分别是 2，3，4 个，
所以其中最小的两位数是 43。
74. 【答案】10




【解析】2 位“黄梅数”：12，15，24，36，48；
3 位“黄梅数”：120，150，240，360，480；
因为各位数字互不相同，所以没有 3 位以上的“黄梅数”；
一共有 10 个“黄梅数”。
75. 【答案】270
【解析】1～16 的最小公倍数是：24 × 32 ×5×7×11×13
三个不同的两位数的最小公倍数至少包含这些质因数，
24 × 32 ×5×7×11×13=80×99×91，不能再多乘多于的质因数，
这三个两位数之和：80+99+91=270。
76. 【答案】22
【解析】每位数字小于 9，任意相邻 2 个数字和都是质数可知，数字和只能是 2，3，5，7，
11，13，17；
所有数字和是质数的平方只有：4，9，25；
数字和是 4 的四位数，分成前后两段 2+2：1111，1120，2020；
数字和是 9 的四位数，分成前后两段 2+7：1116，1125，1143，1161，2025，2034，
2052，2070，
分成前后两段 7+2：1611，2502，2520，3411，4302，4320，5202，5211，6111，
6120，7020；
数字和是 25 的四位数，分成前后两段 2+23，两个数的数字和不能是 23；
所以一共有 22 个这样的四位数。




77. 【答案】85
【解析】有 2 个↑：最多 1 次；
有 2 个↑：最多 1×2+1=3 次；
有 3 个↑：最多 3 ×2+1=7 次；
有 4 个↑：最多 7 ×2+1=15 次；
有 5 个↑：最多 15×2+1=31 次；
有 6 个↑：最多 31×2+1=63 次；
↑
↓
↑
↓ ↑ ↓ ↑
从右往左依次操作，一共最多 1+1+3+1+15+1+63=85 次。
78. 【答案】77
【解析】2，3，5，7，22，23，25，27，32，33，35，37，52，53，55，57，72，73，
75，77，所以第 20 个“好数”是 77。
79. 【答案】345600
【解析】采用捆绑法，把童话书和漫画书各看成一个整体，与 3 本故事书 5 个元素进行全
排列，然后童话书和漫画书各自内部排列：
5×4×3×2×1×5×4×3×2×1×4×3×2×1=345600 种。
80. 【答案】84
【解析】甲可能的分数：10，20，30，40，50，60，70，80，90；




乙可能的分数：12，24，36，48，60，72，84，96；
丙可能的分数：14，28，42，56，70，84，98；
因为乙知道所有人的分数，如果他是第一名或者第二名，他不可能知道比他名次低的分数，
所以他一定是第三名，只有乙得 84 分是第三名时，他才能知道甲是 90 分，丙是 98 分。
所以乙的分数是 84 分。
81. 【答案】202
【解析】当正方形内部有 1 个点时，有 4 个三角形，当新增一个点时，就会将一个三角形
分成 3 个三角形，相当于新增 2 个三角形，
所以当有 100 个点时：一共有：4+（100−1）×2=202 个三角形。
82. 【答案】896
【解析】先从 1～8 这 8 个数中选取 5 个数有：C58=56 种；
假设取 1，2，3，4，5 这 5 个数，
①当黑格填的是 5 和 4，剩下 1，2，3 随便填，有 2×3×2×1=12 种；
②当黑格填的是 5 和 3，4 只能填在 5 的旁边，有 2×2×1=4 种；
所以一共有（12+4）×56=896 种填法。
83. 【答案】丙
【解析】采用假设法，假设（1）丙得第一是对的，那么乙得第二就是错的；
所以（2）丙得第二是错的，丁得第三是对的；
（3）甲得第二是对的，丁得第四是错的；




所以第 1 是丙，第 2 是甲，第 3 是丁，第 4 是乙，没有矛盾；
所以第 1 名是丙。
84. 【答案】甲必胜
【解析】根据相邻的两个自然数一定互质，所以甲先擦 2，然后（3，4）、（5，6）、……、
（999，1000）分组，接下来乙每次拿哪一组中的一个数，甲就拿这一组中的另外一个，
最后剩下两个数是同一组的，所以这两个数一定互质。
85. 【答案】216
【解析】根据题意，每种颜色的灯泡都至少用一个，即用了四种颜色的灯进行安装，分 3
步进行，
第一步：A、B、C 三个点选 3 种颜色有 4×3×2=24 种；
第二步：A 、B 、C 中选一个装第 4 种颜色的灯泡，有 3 种位置，假设A ；
1
1
1
1
第三步：为剩下的B 、C 两个灯选颜色，
1
1
当B 与 A 同色，那么C 只能选 B 点的颜色；
1
1
当B 与 C 同色，那么C 可以选 A、B 点的颜色；
1
1
所以B 、C 有 3 种选择。
1
1
所以一共有：24×3×3=216 种。


86. 【答案】96
【解析】优先涂相邻区域多的块，涂的顺序依次是：D、A、B、C、E；
所以一共有：4×3×2×2×2=96 种。
87. 【答案】4683
【解析】[2，3，7]=42，以 42 为一组，剩下 18 个数：
1，5，7，11，13，14，17，19，21，23，25，28，29，31，35，37，41，42；
2007÷18=111 组……9 个，第 9 个是 21，
111×42+21=4683
88. 【答案】24
【解析】
如图在这样一组平行线中，有 8 个面积为 3 的梯形，
所以一共有 8×3=24 个。


89. 【答案】16
【解析】
图中对应颜色选择相对应，例如红色的其中一个选择 1，其他对应只有一种情况，
所以总共有 2×2×2×2=16 种
90. 【答案】82
【解析】有 2 种情况，
①：当班长听对了，小明也听对了，可能性是：90%×90%=81%；
②：当班长听错了，小明也听错了，可能性是：10%×10%=1%；
所以小明认为看电影的日期是正确的可能性是：81%+1%=82%。
91. 【答案】15
【解析】先安排中间的正方体，有 5 种方法，假设将金放中间；
然后安排银的位置随意放都一样，接着银的对面有 3 种选择，安排完后其他通过旋转是一
样的，
所以一共有：5×3=15 种。


92. 【答案】不能
【解析】
如图采用间隔染色法，第 1 步是紫色，第 2 步一定是白色，第 3 步一定是紫色，……，那么
第 36 步一定是白色，但是出口是紫色，所以不能。
49
93. 【答案】
111
【解析】分母的规律是 3，6，9，……等差数列，分子最多到分母减 1，
2+5+8+11+……+107=（2+107）×36÷2=1962
2+5+8+11+……+110=（2+110）×37÷2=2072
2072−2011=61
110−61=49
49
所以第 2011 个分数是：
。
111


94. 【答案】87.5°
【解析】分针的速度：6°/分，时针的速度：0.5°/分，
现在短针是 6°/分，长针是 0.5°/分，长针落后短针 90 度，
短针第二次指向“4”，一共走了：（30+360）÷6=65 分，
长针走：65×0.5=32.5°，
此时长针和短针所夹锐角是：90+30−32.5=87.5°
95. 【答案】625π
【解析】瓶子的容积等于水的体积加空白部分的体积，两个图的水的体积和空白体积都一样，
所以计算左边空白部分体积，右边水的体积之和即可：
2
2
π × （10 ÷ 2） ×10+π × （10 ÷ 2） ×15=625π
96. 【答案】49
【解析】设 a 和 b 互质，
1
1
1
a+b
a
b
+ = =
=
+
m
n
6
（
）
6（
）
（
a+b）
6
a+b
a+b
6
1
1
1
7
6 一定要被 a 和 b 整除，当 a=1，b=6 时， = +
6
42
此时 m+n 最大是 42+7=49。
97. 【答案】90
【解析】符合“居中四位数”的形式有以下几种：
a0a0：有 9 个；
aa0a：有 9 个；


a0ab：有 9×8=72 个；
所以一共有 9+9+72=90 个。
98. 【答案】C
【解析】三角形每条边变成 4 小段，四边形每条边变成 5 小段，五角形每条边变成 6 小段，
以此类推，
1
1
1
1
1
1
=
， = ， = ，……，
a3 3×4
a
4×5
a
5
5×6
4
1
1
1
1
2014
+ + +……+ =
a3
a
4
a
a
n
6051
5
1
1
1
1
2014
+
+
+……+
=
3×4 4×5 5×6
n×(n+1) 6051
1
3
1
1
1
1
1
1
1
2014
− + − + − +……+ −
=
4
4
5
5
6
n
n+1 6051
1
3
1
2014
−
=
n+1 6051
1
1
=
n+1 2017
n=2016
99. 【答案】15
【解析】设甲乙相遇时，乙走了 a 千米，
2
a
a
当甲到 B 地时，乙走了 ×a= 千米，
60
60
a2
1
此时甲乙相差：a−
=
×a（60−a）
60 60
a 和（60−a）和固定得 60，差小积大原理，60−a=a，a=30，
1
此时甲乙相差最远： ×30×（60−30）=15 千米。
60


100. 【答案】9
【解析】当 5 条直线互相平行时，n 最少为 0，
当 5 条直线中任意两条都相交于不同的点时，n 最多为 1+2+3+4=10 条，
n=2，3 的情况不存在；
n=1，4，5，6，7，8，9，10 的情况分别如下图所示：