【寒假自学】2023年人教A版高一数学必修第二册-第03讲《函数的概念与性质》寒假精品讲学案（含解析）

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第03讲 函数的概念与性质
【学习目标】
1、学习用集合语言和对应关系刻画函数概念．
2、通过函数的不同表示方法加深对函数概念的认识．
3、学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法，并通过幂函数的学习函数研究函数的基本内容、过程和方法．
【考点目录】
考点一：函数的概念
考点二：定义域
考点三：值域
考点四：函数的表示
考点五：单调性
考点六：奇偶性
考点七：幂函数
考点八：函数的应用
【基础知识】
知识点一、函数的概念
1、函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．
记作：，．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关．
3、区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
区间表示：
；
； ；
； ．

知识点二、函数的表示法
1、函数的三种表示方法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值．
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势．
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值．
2、分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
知识点三、函数定义域的求法
（1）确定函数定义域的原则
①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件．
②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义．
③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合．
（2）抽象函数定义域的确定
所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内．
（3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．
知识点四、函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．
知识点五、函数的单调性
1、增函数、减函数的概念
一般地，设函数的定义域为，区间
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
2、单调性与单调区间
（1）单调区间的定义
如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
3、证明函数单调性的步骤
（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；
（4）得出结论．
4、函数单调性的判断方法
（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（4）记住几条常用的结论
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
5、单调性定义的等价形式
（1）函数在区间上是增函数：
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，．
（2）函数在区间上是减函数：
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，．
6、复合函数单调性的判断
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；
（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．
列表如下：



增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：
（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；
（2）分别确定各个函数的定义域；
（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．
若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数．
7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．
（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．
若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．
（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．
（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．
8、利用函数单调性求参数的范围
若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．
（1）在上恒成立在上的最大值．
（2）在上恒成立在上的最小值．
实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题．
知识点六、基本初等函数的单调性
1、正比例函数
当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．
2、一次函数
当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．
3、反比例函数
当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；
当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间．
4、二次函数
若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；
若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．
知识点七、函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作．
2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作．
3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．
知识点八、函数的奇偶性概念及判断步骤
1、函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数．
奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数．
知识点诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
（3）的等价形式为：，
的等价形式为：；
（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有；
（5）若既是奇函数又是偶函数，则必有．
2、奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数．
3、用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；
（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性．
若，则是奇函数；
若=，则是偶函数；
若，则既不是奇函数，也不是偶函数；
若且，则既是奇函数，又是偶函数
知识点九、判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等．

（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可．
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．
知识点十、关于函数奇偶性的常见结论
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
知识点十一、幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．
知识点十二、幂函数的图象及性质
1、作出下列函数的图象：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．

知识点诠释：
幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
2、作幂函数图象的步骤如下：
（1）先作出第一象限内的图象；
（2）若幂函数的定义域为或，作图已完成；
若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性
如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象；
如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．
3、幂函数解析式的确定
（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．
（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．
（3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．
4、幂函数值大小的比较
（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．
（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．
（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．
知识点十三：解决实际应用问题
1、解决实际应用问题的过程

2、解决实际应用问题的步骤：
第一步：阅读理解，认真审题
读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息．
第二步：引进数学符号，建立数学模型
设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．
第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果．
第四步：再转译为具体问题作出解答．
【考点剖析】
考点一：函数的概念

例1．（2022·天津南开·高一期末）下列各组函数是同一函数的是（    ）
①与；    ②与；
③与；    ④与
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
例2．（2022·四川南充·高一期末）下列各图中，可表示函数的图象的是（    ）
A． B．
C． D．
例3．（2022·安徽·合肥市第六中学高一期末）已知定义在上的函数满足，则（    ）
A． B．
C． D．
考点二：定义域

例4．（2022·陕西·大荔县教学研究室高一期末）函数的定义域为（      ）
A． B． C． D．
例5．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ）
A． B． C． D．
例6．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为(    )
A． B． C． D．
考点三：值域

例7．（2022·上海徐汇·高一期末）函数的值域是________________．
例8．（2022·上海市第三女子中学高一期末）函数的值域是______.
例9．（2022·全国·高一专题练习）已知，且，则的取值范围是___________.
例10．（2022·辽宁营口·高一期末）为不超过的最大整数，若函数，，的值域为，则的最大值为______．
考点四：函数的表示

例11．（2022·浙江·杭十四中高一期末）若函数f(x)为一次函数，且f(x+1)= f(x)-2,f(x)的零点为1，则函数f(x)的解析式为________..
例12．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）已知，那么___________.
例13．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数，则=_________
考点五：单调性

例14．（2022·陕西·石泉县江南高级中学高一期中）函数的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
例15．（2022·江苏连云港·高一期末）函数是上的减函数，则实数的取值范围是______.
例16．（2022·广东揭阳·高一期末）已知函数在区间是单调递增函数，则实数的取值范围是______．
例17．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）已知函数，则不等式的x的解集是________．
例18．（2022·贵州黔西·高一期末）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；




例19．（2022·云南丽江·高一期末）已知定义在R上的偶函数，当时，．
(1)求函数在R上的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．




考点六：奇偶性

例20．（2022·湖北武汉·高一期末）已知函数为定义在上的奇函数，则的值为________．
例21．（2022·四川凉山·高一期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)求关于m的不等式式的解集.




例22．（2022·江苏连云港·高一期末）若定义在R上的函数满足：，，都有成立，且当时，.
（1）求证：为奇函数；
（2）求证：为上的增函数；
（3）若，且，，恒成立，求实数m的取值范围.




考点七：幂函数

例23．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________.
例24．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数为幂函数，且为奇函数.
(1)求的值，并确定的解析式；
(2)令，求在的值域.




例25．（2022·湖北·武汉东湖新技术开发区教育发展研究院高一期末）已知函数，.

(1)求方程的解集；
(2)定义：.已知定义在上的函数，求函数的解析式；
(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并根据图象写出函数的单调区间和最小值.




例26．（2022·湖北·监利市教学研究室高一期末）已知幂函数为偶函数
(1)求幂函数的解析式；
(2)若函数在上单调，求实数的取值范围.




考点八：函数的应用

例27．（2022·广东实验中学高一期末）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额x成正比，其关系如图1：投资股票等风险型产品的年收益与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2．

(1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元?




例28．（2022·浙江省杭州学军中学高一期末）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度单位：毫克/立方米随着时间单位：天变化的关系如下：当时，；当时，若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于毫克/立方米时，它才能起到净化空气的作用．
(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值．精确到，参考数据：取





【真题演练】
1．（2022·天津·高考真题）函数的图像为（    ）
A． B．
C． D．
2．（2021·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________．
5．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则___________.
6．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.
7．（2022·浙江·高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
8．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．


【过关检测】
一、单选题
1．（2022·广东揭阳·高一期末）函数的定义域是（    ）
A． B．
C． D．
2．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）函数的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
3．（2022·贵州六盘水·高一期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖北武汉·高一期末）若函数的定义域为，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．或
5．（2022·山东济宁·高一期末）已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
6．（2022·内蒙古赤峰·高一期末（理））设的定义域为R，且满足，，若，则（    ）
A．2023 B．2024 C．3033 D．3034
7．（2022·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集是（    ）
A． B．
C． D．
8．（2022·四川达州·高一期末（理））定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则的解集是（    ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2022·安徽合肥·高一期末）已知函数，则下列结论中正确的是（    ）
A．当时，最小值是2 B．是奇函数
C．在上单调递减 D．在上单调递增
10．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）已知函数的定义域为R，对任意都有，且，则下列结论正确的是（    ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．的周期为4 D．为偶函数
11．（2022·广东深圳·高一期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（    ）
A．的最小值为 B．在上单调递减
C．的解集为 D．存在实数满足
12．（2022·浙江省义乌中学高一期末）我们知道，函数的图象关系坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数. 有同学发现可以将其推广为: 函数的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. 现在已知，函数 的图像关于点对称，则（     ）
A．
B．
C．对任意，有
D．存在非零实数，使
三、填空题
13．（2022·湖北黄石·高一期末）幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为______．
14．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）的定义域为_________.
15．（2022·福建·福州四中高一期末）设函数若存在最小值，a的取值范围___________.
16．（2022·云南楚雄·高一期末）已知函数满足，，且，.若，则的取值范围是_______.
四、解答题
17．（2022·江苏连云港·高一期末）已知函数，．
(1)当时，求的最值；
(2)若的最小值为，求实数的值．




18．（2022·全国·高一期末）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.
(1)求的函数关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？




19．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知函数，，其中.
(1)若，，求的单调区间；
(2)对于给定的实数，若函数存在最大值，
（i）求证：；
（ii）求实数的取值范围（用表示）.




20．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数是定义在R上的增函数，并且满足，．
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围．




21．（2022·湖南·湘阴县教育科学研究室高一期末） 已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围．




22．（2022·湖北武汉·高一期末）已知函数.
(1)如果函数为幂函数，试求实数a、b、c的值；
(2)如果、，且函数在区间上单调递减，试求ab的最大值.