寒假提前学：平面向量的概念 高一数学人教A版（2019）必修第二册寒假作业

（11）寒假提前学：平面向量的概念

—— 高一数学人教A版（2019）寒假作业

基础知识

1.向量的定义：既有大小，又有方向的量叫做向量.

2.向量的模：向量的大小称为向量的长度（或称模），记作.

3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作（或）.

4.单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.

5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量.

6.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

练习

1.下列说法正确的是(   )
A.零向量没有方向  B.向量就是有向线段

C.只有零向量的模等于0 D.单位向量都相等

2.如图,在四边形ABCD中,O为两条对角线的交点,且,则必有(   )

A. B. C. D.

3.已知在边长为2的菱形ABCD中, ,则(   )
A.1 B. C.2 D.

4.有下列结论：
①表示两个相等向量的有向线段,若它们的起点相同,则终点也相同;
②若,则不是共线向量;
③若，则四边形ABCD是平行四边形;
④若,则;
⑤有向线段就是向量,向量就是有向线段.
其中,错误的个数是(   )
A.2 B.3 C.4 D.5

5.下列说法中正确的是(   )。

A.与线段的长度不相等 B.对任一向量总是成立的

C.  D.若满足,则

6.设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论错误的是(   )
A. B. C.与共线 D.

7.（多选）下列说法中正确的是(   )

A.零向量与任一向量平行

B.方向相反的两个非零向量不一定共线

C.零向量的长度为0

D.方向相反的两个非零向量必不相等

8.（多选）下列说法正确的是(   )
A.两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量

B.若任意两个非零向量相等，则表示它们的有向线段的起点与终点是一平行四边形的四个顶点

C.若向量与不共线，则与都是非零向量

D.若，则

9.如图所示,点O是正六边形ABCDEF的中心,则以图中点A,B,C,D,E,F,O中的任意一点为起点,与起点不同的另一点为终点的所有有向线段表示的向量中,与向量共线的向量共有__________个.
 

10.给出下列说法：

①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等，其中正确的是_______(填序号).

11.在等腰梯形ABCD中,,则下列结论中正确是__________.(写出所有正确结论的序号)
①;②;
③;④.

12.如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形.

(1)找出与相等的向量.

(2)找出与共线的向量.

答案以及解析

1.答案：C

解析：零向量的方向是任意的，故A选项错误；有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故B选项错误；只有零向量的模等于0，故C选项正确；单位向量的模相等，单位向量若方向不同，则不是相等向量，故D选项错误.故选C.

2.答案：D

解析：在四边形ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,.

3.答案：D

解析：易知,且.设AC与BD交于点O,则,在中,易得,则,所以.故选D.

4.答案：B

解析：对于①，表示两个相等向量的有向线段，若他们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若，也有可能长度不等，但方向相同或相反,即共线，②错误;对于③，若不一定相等，四边形ABCD不一定是平行四边形，③错误；对于④，若，则，④正确；对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误.综上，错误的是②③⑤，共3个.故选B.

5.答案：C

解析：都与线段的长度相等,所以A不正确,C正确；,对任一向量总成立,所以B不正确；对于D,向量不能比较大小,故D不正确。

6.答案：D

解析：如图所示，点O是正方形ABCD的中心，则，A正确；显然与共线，即,B正确；又，所以与共线，C正确；，但，D错误.故选D.
 

7.答案：ACD

解析：零向量与任一向量平行，零向量的方向不确定，但模确定为0，故A与C都是正确的；根据共线向量的定义，方向相反的两个非零向量一定共线，故B错误；对于D，因为向量相等的定义是长度相等且方向相同的向量，所以方向相反的两个非零向量必不相等，故D正确.

故选：ACD.

8.答案：CD

解析：有公共终点的有向线段的方向不一定相同或相反，故A不正确.两个相等的非零向量可以在同一直线上，故B不正确.若向量与不共线,则与都是非零向量，否则不妨设为零向量，则与共线，这与与不共线矛盾,故C正确.若，则的长度相等且方向相同；若，则的长度相等且方向相同，所以的长度相等且方向相同，故，故D正确.

9.答案：9

解析：与向量共线的向量有,共9个.

10.答案：②③④

解析：由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；

由零向量的定义知②正确；

由单位向量的模是1，知④正确.

11.答案：③

解析：如图，四边形ABCD为等腰梯形，与的大小相等,但方向不同，故.
 

12.答案：(1).

(2).

解析：(1)由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知，

与的长度相等且方向相同，所以与相等的向量为.

(2)由题干图可知，与方向相同，与方向相反，所以与共线的向量有.