第四章 指数函数与对数函数（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第一册）

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第四章指数函数与对数函数（B卷·能力提升练）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.【详解】由题知：，解得且.所以函数定义域为.故选：B2．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（       ）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【答案】C【解析】【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.【详解】由，当时，，则.故选：C.3．（2022·北京·高考真题）己知函数，则对任意实数x，有（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】，故A错误，C正确；，不是常数，故BD错误；故选：C．4．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.【详解】当时，，所以在上递减，是偶函数，所以在上递增.注意到，所以B选项符合.故选：B5．（2022·浙江·高考真题）已知，则（       ）A．25 B．5 C． D．【答案】C【解析】【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．【详解】因为，，即，所以．故选：C.6．（2021·天津·高考真题）若，则（       ）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】【分析】由已知表示出，再由换底公式可求.【详解】，，.故选：C.7．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．综上，．故选：A.8．（2020·全国·高考真题（理））设函数，则f(x)（       ）A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2022·福建泉州·高一期末）若，则（       ）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】【分析】利用对数运算化简已知条件，然后对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，所以，所以，A选项错误.，B选项正确.，C选项正确.，D选项正确.故选：BCD10．（2022·广东湛江·高一期末）下列函数为偶函数且在上是增函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【解析】【分析】根据各函数的性质直接判断即可【详解】对A，为偶函数且在上是增函数，故A正确；对B，为偶函数且在上是减函数，故B错误；对C，不为偶函数，故C错误；对D，为偶函数且在上是增函数，故D正确故选：AD11．（2022·江苏南通·高一期末）已知函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线，则下列结论正确的是（       ）A．若，则在内至少有一个零点B．若，则在内没有零点C．若在内没有零点，则必有D．若在内有唯一零点，，则在上是单调函数【答案】AC【解析】【分析】根据零点存在定理逐一判断即可．【详解】因为在，上连续，．（1），由零点存在定理可知，在内至少有一个零点，故正确；．当时，满足（1），但在内有一个零点，故错误；．在内没有零点，则必有（1）等价于（1），则在内有零点，由零点存在定理可知此命题是真命题，故正确；．在内有唯一零点，（1），但在上不一定是单调函数，比如，故错误．故选：．12．（2022·山东烟台·高二期末）若函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（       ）A．为偶函数 B．C． D．当时，【答案】ACD【解析】【分析】根据题意可得关于与对称，再根据对称性满足的等式化简，逐个选项判断即可【详解】对A，因为函数为偶函数，故，故关于对称.又为奇函数，关于原点对称，故关于对称.综上，关于与对称. 关于对称有，关于对称有，，故，即，所以为偶函数，故A正确；对B，由A，因为，，故B错误；对C，由A，，故C正确；对D，当时，，故，故D正确；故选：ACD三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2022·广东深圳·高二期末）若是奇函数，则实数___________.【答案】【解析】【分析】利用可求得，验证可知满足题意.【详解】定义域为，且为奇函数，，解得：；当时，，，为上的奇函数，满足题意；综上所述：.故答案为：.14．（2022·江西·横峰中学高一期末）已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则___________.【答案】【解析】【分析】根据，可得函数是以4为周期的周期函数，再根据函数的周期性和奇偶性即可得解.【详解】解：因为，所以函数是以4为周期的周期函数，又因是定义在上的奇函数，所以.故答案为：.15．（2022·浙江·乐清市知临中学高二期中）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】求出定点的坐标，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】当时，，所以，定点的坐标为，由已知可得，因为，则且，所以，.当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.16．（2022·湖北咸宁·高一期末）已知函数恰有个零点，则__________．【答案】##0.5【解析】【分析】先求得在上恰有个零点，则方程有个负根，时不成立，时，由一元二次方程的性质分和讨论求解即可.【详解】当时，令，解得，故在上恰有个零点，即方程有个负根.当时，解得，显然不满足题意；当时，因为方程有个负根，所以当，即时，其中当时，，解得，符合题意；当时，，解得，不符合题意；当时，设方程有个根，，因为，所以，同号，即方程有个负根或个正根，不符合题意．综上，．故答案为：0.5.四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）化简求值：(1)；(2).【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解.（2）根据对数的运算性质即可化简求值.(1)(2)18．（2022·湖南衡阳·高一期末）已知函数.(1)当时，求的定义域；(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据对数函数、指数函数的性质计算可得；（2）依题意可得对任意的恒成立，参变分离可得对任意的恒成立，再根据指数函数的性质计算可得；(1)解：当时，令，即，即，解得，所以的定义域为.(2)解：由对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立，因为是单调递减函数，是单调递减函数，所以在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，所以，即的取值范围为.19．（2022·四川乐山·高一期末）某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算知渗水现象正在以每天的速度扩散，当地政府积极组织工人进行抢修，已知每个工人平均每天可抢修渗水面积，每人每天所消耗的维修材料费25元，劳务费75元，另外给每人发放100元的服装补贴，每渗水的损失为75元．现在共派去x名工人，抢修完成共用n天．(1)写出n关于x的函数关系式；(2)要使总损失最小，应派多少名工人去抢修（总损失=渗水损失+政府支出）．【答案】(1)（且）(2)21名【解析】【分析】（1）根据抢修的面积等于渗水的面积列出方程，求出（且）；（2）求出总损失关于x的关系式，再利用基本不等式求出最小值，得到答案.(1)由题意知：抢修n天时，维修工人抢修的面积之和为，而渗水的面积为所以有，可得（且）．(2)设总损失为y，则，当且仅当时，即时，等号成立．所以应派21名工人去抢修，总损失最小．20．（2022·重庆长寿·高二期末）已知定义在上的函数为偶函数.(1)求的值，并判断在上单调性（只作判断，不用说明理由）；(2)若，求的范围.【答案】(1)，在上单调递减(2)或.【解析】【分析】（1）依题意可得，即可求出参数的值，即可得到的解析式，再根据偶函数的定义检验即可，最后根据复合函数的单调性判断函数的单调性；（2）根据函数的奇偶性与单调性得到，将两边平方，解一元二次不等式，即可得解；(1)解：因为函数的定义域是为，且函数为偶函数，则，即，所以.所以，则，经检验，时，为偶函数，符合题意.因为，令、、，因为在上单调递增，且，又对勾函数在上单调递增，所以在上单调递增，而在上单调递减，所以在上单调递减，即在上单调递减；(2)解：因为，则又因为在上单调递减，所以，即解得或.21．（2022·内蒙古赤峰·高一期末（文））已知函数（a为常数，且，）．请在下面三个函数：①；②；③中，选择一个函数作为，使得具有奇偶性．(1)请写出表达式，并求a的值；(2)当为奇函数时，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）根据所选条件，结合奇函数和偶函数的定义可得出的等式或表达式，可求得对应的实数的值；（2）由已知条件可得出，由参变量分离法得出，求出函数在区间上的最小值，由此可求得实数的取值范围；(1)若选①：， 则，定义域为，若函数为奇函数，则，故函数不能是奇函数，若函数为偶函数，则，由，可得，化简可得，则不为常数，即函数不可能为偶函数，不合乎题意；若选②，， 则.若函数为奇函数，则，不合乎题意；若函数为偶函数，则，由，可得，整理可得，则不为常数，不合乎题意.选③，，则，，当为奇函数，则，即，可得；当为偶函数，则，则，可得；(2)由（1）知，当为奇函数时，，，因为，所以，由于函数在上为增函数，函数在为减函数，所以，函数在上为增函数，则，若对于任意的，都有成立，所以，设，，任取、，且，即，则，，则，，可得，即，所以，函数在上为增函数，所以，，即.所以的取值范围是；22．（2022·江苏·南京市大厂高级中学高二期末）已知函数是定义在上的奇函数，(1)求的值；(2)设函数，判断的单调性，并用定义证明你的结论；(3)若函数（其中）在的最小值为，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)增函数，证明见解析(3)【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义可得出关于实数的等式，即可解得正实数的值；（2）求得，根据指数函数的单调性可判断出函数的单调性，再利用函数单调性的定义证明可得出结论；（3）令，，对实数的取值范围进行分类讨论，分析函数在上的单调性，结合已知条件可求得实数的取值范围.(1)解：因为为上的奇函数，则，因为，则，可得对任意的恒成立，所以，，，解得.(2)解：由（1）可知，函数为上的增函数，证明如下：任取、且，则，所以，，所以，，故在上为增函数.(3)解：因为，当时，令，，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，①当时，即当时，函数在上为增函数，此时，解得，合乎题意；②当时，即当时，，可得，不合乎题意；③当时，即当时，函数在上为减函数，此时，解得，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.