第五章 三角函数（知识通关详解）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第一册）

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第五章 三角函数专题详解

一、任意角的概念与弧度制
1、将沿轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.
逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角
2、同终边的角可表示为
轴上角：
轴上角：
3、第一象限角：
第二象限角：
第三象限角：
第四象限角：
4、角度与弧度的转化：
5、角度与弧度对应表：
角度










弧度











6、弧长与面积计算公式
例1：1．角所在的象限为（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．把表示成，的形式，则的值可以是（       ）
A． B． C． D．
3．已知扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为（       ）
A． B．π C． D．
举一三
1．已知，则下列四个角中与角终边相同的是（       ）
A． B． C． D．
2．半径为，圆心角为的弧长为（       ）
A． B． C． D．
3．已知某扇形的周长是，面积是，则该扇形的圆心角的弧度数为（       ）
A．1 B．4 C．1或4 D．1或5

二、任意角的三角函数
1、正弦：；余弦；正切
其中为角终边上任意点坐标，.

2、三角函数值对应表：
度












弧度








































无




无


3、三角函数在各象限中的符号
口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c”）


第一象限： sina0,cosa0,tana0,
第二象限： sina0,cosa0,tana0,
第三象限： sina0,cosa0,tana0,
第四象限： sina0,cosa0,tana0,
例2：1．坐标平面内点的坐标为，则点位于第（       ）象限.
A．一 B．二 C．三 D．四
2．已知角的终边上有一点，且，则实数m取值为______．
举一三
1．“”是“”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知，且为第一象限角，则_________.
三、同角三角函数基本关系式




(，，，三式之间可以互相表示)
例3：1．（2022·陕西渭南·高一期末）若，则的值是（       ）
A． B． C． D．
2．（2022·福建南平·高二期末）若，则（       ）
A． B． C． D．
举一三
1．（2020·全国·高考真题（理））已知，且，则（       ）
A． B．
C． D．
2．（2022·四川甘孜·高一期末）已知 ​， 则=__________
.四.诱导公式
口诀：奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是中整数的奇偶性，把看作锐角)
；.
①.公式（一）：与
；；
②.公式（二）：与
；；
③.公式（三）：与
；；
④.公式（四）：与
；；
⑤.公式（五）：与
；；
⑥.公式（六）：与
；；
⑦.公式（七）：与
；；
⑧.公式（八）：与
；；
例4：1．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））若则（       ）
A． B． C． D．
2．（2023·福建漳州·三模）已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，a，β的终边关于y轴对称，a的终边过点（3，4），则（       ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2022·江西·横峰中学高一期末）下列转化结果正确的有（       ）
A． B．
C．化成弧度是 D．化成度是
4．（2022·安徽马鞍山·三模（理））已知，则的值为______．
举一三
1．（2022·河南·开封高中模拟预测（理））已知，则（       ）
A．2 B．－2 C． D．
2．（2022·广东韶关·高一期末）已知角的终边过点，则（       ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）已知为锐角，且，则的值为_________．
4．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角的终边经过点.
(1)求的值；
(2)求的值.

五、三角函数的图像与性质表格
函
数
性
质





图像



定义域



值域



最值
当时，；
当时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性



奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在上是增函数；
在
上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴

例5：1．（2022·山东济宁·高一期中）正弦函数的图象与直线交点的个数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·辽宁·大连市第十五中学高一期中）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（       ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2022·全国·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，则（       ）
A．是奇函数 B．的最小正周期是π
C．的一个对称中心是 D．的一个递增区间是
4．（2022·广西·桂林市第十九中学高一期中）函数的定义域为__________．
5．（2022·云南·峨山彝族自治县第一中学高一期中）已知函数，，则f（－a）＝___．
举一三
1．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（       ）
A． B． C． D．
2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））函数在上的图像大致是（       ）
A． B．
C． D．
3．（2022·广西·桂林市第十九中学高一期中）已知函数为偶函数，则不等式的解集为（       ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知函数在区间上有零点，则实数m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
5．（2022·广东·佛山一中高一期中）已知，则不等式的解集为______.


六．三角恒等变换
1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
(1）
(2）
(3）
(4）
(5）
(6）
例6：1．（2022·全国·高考真题）若，则（       ）
A． B．
C． D．
2．（2015·山东·高考真题）已知向量，，那么等于（       ）
A． B． C．1 D．0
3．（2020·全国·高考真题（文））已知，则（       ）
A． B． C． D．
.
4．（2022·江西·上高二中模拟预测（文））已知，则（    ）
A．-3 B．3 C． D．
举一反三
1．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知，，则（       ）
A． B． C．1 D．2或6
2．（2022·浙江·高考真题）若，则__________，_________．
3．（2022·江苏扬州·模拟预测）___________．
4．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知，则________.

辅角公式

(7) =(其中,辅助角所在象限由点所在的象限决定, ，该法也叫合一变形).

其中，
比如：



常见数据：，
, ,

(8)
例7：1．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）函数，，，则______________．
.
举一反三
1．（多选）（2022·江苏连云港·二模）已知函数，则（       ）
A．函数的最小正周期为
B．点是函数图象的一个对称中心
C．将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称
D．函数在区间上单调递减
2. 二倍角公式
（1）
（2）
（3）

3. 降幂公式：
（1） （2）
4. 升幂公式
（1） （2）
（3） （4）
（5）

5. 半角公式（符号的选择由所在的象限确定）
（1）， （2） ，
（3）

6. 万能公式:
（1）, （2）,
（3）
例8：1．（2022·北京·高考真题）已知函数，则（       ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
2．（2021·北京·高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
3．（2016·山东·高考真题（理））函数的最小正周期是（       ）
A． B．π C． D．2π
4．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知且，则的值为（       ）
A． B． C． D．
5．（2020·浙江·高考真题）已知，则________；______．
举一反三
1．（2021·全国·高考真题（文））（       ）
A． B． C． D．
2．（2017·山东·高考真题（文））已知，则（   ）
A． B． C． D．
3．（2019·全国·高考真题（文））已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
4．（2020·江苏·高考真题）已知 =，则的值是____.
5．（2020·全国·高考真题（文））若，则__________．
6．（2019·全国·高考真题（文））函数的最小值为___________．

七．函数y=Asin(wx+φ)的图象
1、将函数的图象上所有的点，向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象。
2、函数的性质：
①振幅：；②周期：；③频率：；④相位：；⑤初相：。
3、 周期函数：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，叫做该函数的周期.
4、⑴ 对称轴：令，得
对称中心：，得，；
⑵ 对称轴：令，得；
对称中心：，得，；
⑶周期公式:
①函数及的周期 (A、ω、为常数，且A≠0).
②函数的周期 (A、ω、为常数，且A≠0).

6. 五点法作的简图，设，取0、、、、来求相应的值以及对应的y值再描点作图。
7. 的的图像

8. 函数的变换：
（1）函数的平移变换
① 将图像沿轴向左（右）平移个单位
（左加右减）
② 将图像沿轴向上（下）平移个单位
（上加下减）
（2）函数的伸缩变换：
① 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍（缩短， 伸长）
② 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（伸长，缩短）

例9：1．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（       ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
      
2．（2022·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（       ）
A．1 B． C． D．3
4．（2020·全国·高考真题（理））设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（       ）

A． B．
C． D．
5．（多选）（2022·湖北武汉·高一期末）已知函数，下列关于此函数的论述正确的是（     ）
A．是的一个周期
B．函数的值域为
C．函数在上单调递减
D．函数在内有4个零点
6．（2011·江苏·高考真题）函数是常数，）的部分图象如图所示，则_____________

举一三
1．（2021·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（       ）
A． B． C． D．
2．（2020·天津·高考真题）已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（       ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
3．（2019·天津·高考真题（文））已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则
A． B． C． D．
4．（2013·全国·高考真题（文））若函数的部分图象如图，则（ ）

A． B． C． D．
5．（多选）（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高一期中）函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（       ）

A．
B．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是偶函数
C．函数的图像关于直线对称
D．若把函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数
6．（2020·江苏·高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
7．（2020·全国·高考真题（理））关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
8．（2022·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)若将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，求函数在区间上的值域．

三角函数的应用
例10：1．（2022·山东山东·高一期中）筒车是一种以水流作动力，取水灌田的工具，是中国古代人民伟大的发明之一.如图，已知某个半径为6m的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转2圈，筒车轴心O距水面3m，设筒车上某个盛水筒P，以P刚浮出水面时开始计算时间，则盛水筒P出水后第一次到达最高点的时间（单位：s）为（       ）

A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2022·山东济宁·高一期中）我市某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆O的半个圆弧（P为此圆弧的中点）和直径MN构成．已知圆O的半径为1千米．为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形ABCD；喷泉观景区的形状为．要求端点A，B均在直径MN上，端点C，D均在圆弧上．设OC与直径MN所成的角为．

(1)试用分别表示矩形ABCD和的面积；
(2)若在矩形ABCD两侧线段AD，BC的位置架起两座观景桥，已知建造观景桥的费用每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区费用每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为5万元．问：的角度为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值．（结果保留整数）


举一反三
1．（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高二期末）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：，，.已知当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在秒时h的值为（       ）

A．-2 B．2 C． D．
2．（2021·辽宁·大连二十四中高一期中）如图所示，ABCD是一块边长为4米的正方形铁皮，其中AMN是一个半径为3米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分可以利用．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一个长方形铁皮PQCR（其中P在上，Q、R分别在边BC和CD上）．设，长方形PQCR的面积为S平方米．


(1)求S关于的函数解析式，并求出S的最大值；
(2)若S取最大值时，求的值．