第01讲 集合 期末大总结(原卷版)
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第1讲 集合 期末大总结目 录 速 览第一部分：必会知识结构导图第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳必会题型一：集合的含义与表示必会题型二：集合间的基本关系必会题型三：集合的基本运算必会题型四：Venn图法解决集合运算问题必会题型五：分类讨论法解决元素与集合关系问题必会题型六：根据集合包含关系求参数值或范围第一部分：知识结构导图速看第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结1．集合与元素的概念(1)集合：一般地，指定的某些对象的全体称为集合．集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素．元素常用小写字母a，b，c，d，…标记．2．元素与集合的关系(1)属于：若a在集合A中，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：若a不在集合A中，就说a不属于集合A，记作a∉A．3．集合中元素的特性(1)确定性；(2)互异性(元素互不相同)；(3)无序性：如{1，2，3}和{3，2，1}表示同一个集合．4．集合的表示(1)列举法：列举法是把集合中的元素一一列举出来并用大括号“{}”括起来的方法(元素之间用“，”隔开)，如{1，2，3}．(2)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法。它的一般形式为{x∈A|p(x)}，如{(x，y)|xy＝0}、{x|(x＋1)(x－3)＝0}、{y|y＝x2}．5．常用数集及表示符号：自然数集N；正整数集N*或N＋；整数集Z；有理数集Q；实数集R。6．集合的分类(1)有限集：我们把含有限个元素的集合叫有限集．(2)无限集：含无限个元素的集合叫无限集．(3)空集：我们把不含有任何元素的集合叫作空集，记作∅．7．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合这种图称为Venn图(可以是圆，椭圆，矩形等封闭曲线)。8．集合相等、子集、真子集 [包含于(⊆)，包含(⊇)，真包含于()，真包含()]概念定义符号表示图形表示集合相等如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，称集合A与集合B相等A＝B子集如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素(若a∈A则a∈B )，那么集合A称为集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集AB或(BA)9．当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作AB(或BA)．10．常用结论(1)对于集合A，B，如果A⊆B且B⊆A则A＝B．(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C(注意A＝∅)．(3)对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC．(4)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即对任何一个集合A，都有∅⊆A．(5)空集只有一个子集，即它本身；空集无真子集．11．n个元素的集合有(1)2n个子集； (2)2n－1个真子集；(3)2n－1个非空子集；(4)2n－2个非空真子集．12．并集、交集与补集 并集A∪B交集A∩B补集∁U文字符号语言集合A和B的元素合并在一起组成的集合。A∪B＝{x|x∈A或x∈B}集合A和B的公共元素组成的集合。A∩B＝{x|x∈A且x∈B}全集U中不属于A的所有元素构成的集合。∁U A＝{x|x∈U且x∉A}图形语言常用运算A∪∅＝A；A∪B⊇A；B⊆A∪BA∪B＝A⇔B⊆A(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；A∩∅＝∅；A∩B⊆A；A∩B⊆B；A∩B＝A⇔A⊆B(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；∁UU＝∅；∁U∅＝U；∁U(∁UA)＝A；A∪∁UA＝U；A∩∁UA＝∅A⊆B⇔∁UB⊆∁UA．13．知识拓展(1)集合的分配律：A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)(2)德·摩根定律：∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB) [“交的补”等于“补的并”]； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB) [“并的补”等于“补的交”]德·摩根法则的理解如图：(3)全集与补集各部分的韦恩图表示(如图) (4)容斥定律(求集合元素的个数)：设有限集A的元素个数为card(A)，例如集合A＝{a，b，c}，则card(A)＝3；则在求集合元素个数时常用到以下公式及图形解释(如图)①card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)②card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩B)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳必会题型一：集合的含义与表示1． (2022·重庆市第二十九中学校高一期中)已知集合，则集合B中有( )个元素．A．1 B．2 C．3 D．4 2．(2022·海南华侨中学高一期中)已知集合，若，则必有( )A． B．C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 3．[多选](2022·贵州·贵阳一中高一阶段练习)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4． 下列结论正确的是( )A．2 022∈[2] B．－3∈[3]C． D．整数a，b属于同一个“类”的充要条件是 4．(2022·海南华侨中学高一期中)设集合，集合 (1)用列举法写出集合B(2)定义：，求中元素的个数． 必会题型二：集合间的基本关系1．(2022·上海市彭浦中学高一期中)下列表示错误的是( )A． B．C．= D．若则 2．[多选]已知集合，若，则的值可能为( )A． B．2 C． D．12 3．已知集合满足，则满足条件的集合的个数为( )A．8个 B．4个 C．2个 D．1个 4．(2022·上海·华师大二附中高一期中)已知集合有且仅有两个子集，则满足条件的实数组成的集合是___________ 必会题型三：集合的基本运算1．(广东省深圳科学高中2022-2023学年高一上学期期中数学试题)若全集，则( )A． B． C． D． 2．(2022·陕西·渭南市瑞泉中学高一阶段练习)已知集合，则( )A． B． C． D．3．[多选](辽宁省名校联盟2022-2023学年高一11月选科适应性考试数学试题)对于集合M，N，定义且，设全集，，则( )A． B．M的非空真子集个数为7C． D．4．(湖南省衡阳市田家炳实验中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题)已知集合，．(1)求：，．(2)求：，． 5．(浙江省台州市三门第二高级中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题)已知集合，，全集．(1)当时，求，；(2)若，求实数的取值范围． 必会题型四：Venn图法解决集合运算问题1．(2022·陕西·交大附中高一期中)已知集合，则如图中阴影部分表示的集合为( )．A． B． C． D．2．(重庆市璧山区2022-2023学年高一上学期10调研数学试题)图中阴影部分表示的集合为( )A． B． C． D． 3．[多选](江苏省苏州市第五中学2022-2023学年高一上学期10月阶段性测试数学试题)正确表示图中阴影部分的是( )A． B．C． D． 4．某年级举行数学、物理、化学三项竞赛，共有80名学生参赛，其中参加数学竞赛有40人，参加物理竞赛有45人，参加化学竞赛有30人，同时参加物理、化学竞赛有15人，同时参加数学、物理竞赛有20人，同时参加数学、化学竞赛有10人，这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有______名． 必会题型五：分类讨论法解决元素与集合关系问题1．(北京市第十五中学南口学校2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题)已知，，且⫋，则的值为( )A． B．4C．或4 D．1或 2．[多选](四川省成都市树德中学2022-2023学年高一上学期10月月考数学试题)下列四个命题：其中不正确的命题为( )A．已知集合，集合，则B．集合中有两个元素C．由方程的所有实根构成的集合中的元素之和为2D．记，则 3．(河南省南阳市六校2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题)已知集合，，若，，则______．4．(1)设集合，求实数a的值．(2)设集合，，若，求实数的值． 必会题型六：根据集合包含关系求参数值或范围1． (山东省菏泽市2022-2023学年高一上学期期中数学试题)设集合，集合，若，则a的取值范围为( )A． B．C． D． 2．(辽宁省朝阳市建平县实验中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题)集合或，若，则实数的取值范围是( )A． B．C． D． 3．(辽宁省朝阳市建平县实验中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题)已知集合，或 ．(1)若为非空集合，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围． 4．(山东省青岛市青岛第二中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题)已知集合．，或．(1)当时，求，；(2)若，求实数a的取值范围 5．(江苏省苏州市吴县中学教育集团2022-2023学年高一上学期10月学业质量阳光指标调研数学试题)设全集为，集合，或．(1)求如图阴影部分表示的集合；(2)已知集合，若，求实数的取值范围． 6．(山东省菏泽市2022-2023学年高一上学期期中数学试题)已知集合，或．(1)若，求；(2)若，求a的取值范围． 7．已知．(1)若，求出实数a的取值范围；(2)若，求． 8．(山东省临沂市2021-2022学年高一上学期期末数学试题)已知集合，．(1)若，求；(2)求实数的取值范围，使___________成立．从①，②，③中选择一个填入横线处求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
