第01讲 集合 期末大总结(解析版) 试卷

这是一份第01讲 集合 期末大总结(解析版)，共16页。
第1讲 集合 期末大总结
目 录 速 览
第一部分：必会知识结构导图
第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结
第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳
必会题型一：集合的含义与表示
必会题型二：集合间的基本关系
必会题型三：集合的基本运算
必会题型四：Venn图法解决集合运算问题
必会题型五：分类讨论法解决元素与集合关系问题
必会题型六：根据集合包含关系求参数值或范围
第一部分：知识结构导图速看

第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结
1．集合与元素的概念
(1)集合：一般地，指定的某些对象的全体称为集合．集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．
(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素．元素常用小写字母a，b，c，d，…标记．
2．元素与集合的关系
(1)属于：若a在集合A中，就说a属于集合A，记作a∈A．
(2)不属于：若a不在集合A中，就说a不属于集合A，记作a∉A．
3．集合中元素的特性
(1)确定性；(2)互异性(元素互不相同)；
(3)无序性：如{1，2，3}和{3，2，1}表示同一个集合．
4．集合的表示
(1)列举法：列举法是把集合中的元素一一列举出来并用大括号“{}”括起来的方法(元素之间用“，”隔开)，如{1，2，3}．
(2)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法。它的一般形式为{x∈A|p(x)}，如{(x，y)|xy＝0}、{x|(x＋1)(x－3)＝0}、{y|y＝x2}．
5．常用数集及表示符号：
自然数集N；正整数集N*或N＋；整数集Z；有理数集Q；实数集R。
6．集合的分类
(1)有限集：我们把含有限个元素的集合叫有限集．
(2)无限集：含无限个元素的集合叫无限集．
(3)空集：我们把不含有任何元素的集合叫作空集，记作∅．
7．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合这种图称为Venn图(可以是圆，椭圆，矩形等封闭曲线)。
8．集合相等、子集、真子集 [包含于(⊆)，包含(⊇)，真包含于()，真包含()]
概念
定义
符号表示
图形表示
集合相等
如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，称集合A与集合B相等
A＝B

子集
如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素(若a∈A则a∈B )，那么集合A称为集合B的子集
A⊆B(或B⊇A)

真子集
如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集
AB或(BA)

9．当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作AB(或BA)．
10．常用结论
(1)对于集合A，B，如果A⊆B且B⊆A则A＝B．
(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C(注意A＝∅)．
(3)对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC．
(4)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即对任何一个集合A，都有∅⊆A．
(5)空集只有一个子集，即它本身；空集无真子集．
11．n个元素的集合有
(1)2n个子集； (2)2n－1个真子集；
(3)2n－1个非空子集；(4)2n－2个非空真子集．
12．并集、交集与补集

并集A∪B
交集A∩B
补集∁U
文字符号语言
集合A和B的元素合并在一起组成的集合。
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
集合A和B的公共元素组成的集合。
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
全集U中不属于A的所有元素构成的集合。
∁U A＝{x|x∈U且x∉A}
图形语言



常用运算
A∪∅＝A；
A∪B⊇A；B⊆A∪B
A∪B＝A⇔B⊆A
(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；
A∩∅＝∅；
A∩B⊆A；A∩B⊆B；
A∩B＝A⇔A⊆B
(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；
∁UU＝∅；∁U∅＝U；
∁U(∁UA)＝A；
A∪∁UA＝U；
A∩∁UA＝∅
A⊆B⇔∁UB⊆∁UA．
13．知识拓展
(1)集合的分配律：A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)
(2)德·摩根定律：∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB) [“交的补”等于“补的并”]；
∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB) [“并的补”等于“补的交”]
德·摩根法则的理解如图：

(3)全集与补集各部分的韦恩图表示(如图)

(4)容斥定律(求集合元素的个数)：设有限集A的元素个数为card(A)，例如集合A＝{a，b，c}，则card(A)＝3；则在求集合元素个数时常用到以下公式及图形解释(如图)
①card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)
②card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩B)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)
第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳
必会题型一：集合的含义与表示
1． (2022·重庆市第二十九中学校高一期中)已知集合A={0，1，2}，B={x|x=ab，a∈A，b∈A}，则集合B中有(　　　)个元素．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据集合B的定义，求得集合B，即可求得结果．
【解析】根据题意可得，集合B={0，1，2，4}，故其元素有4个．
故选：D．
2．(2022·海南华侨中学高一期中)已知集合A=xx=2k，k∈Z，B=xx=2m+1，m∈Z，C=xx=4n+1，n∈Z，若a∈A，b∈B，则必有(        )
A．a+b∈A B．a+b∈B
C．a+b∈C D．a+b不属于集合A、B、C中的任何一个
【答案】B
【分析】设出a，b的表示形式，计算a+b后比较各集合的代表元形式可得．
【解析】由题意设a=2k，b=2m+1，其中k，m都是整数，
则a+b=2k+2m+1=2(k+m)+1，其中k+m是整数，可以是奇数也可以是偶数，
∴a+b∈B，
故选：B．
3．[多选](2022·贵州·贵阳一中高一阶段练习)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4． 下列结论正确的是(    )
A．2 022∈[2]
B．－3∈[3]
C．Z=0∪1∪2∪3∪4
D．整数a，b属于同一个“类”的充要条件是a−b∈[0]
【答案】ACD
【分析】根据“类”的定义对选项进行分析，从而确定正确答案．
【解析】2022=404×5+2，所以2022∈2，A选项正确．
−3=−5+2，所以−3∈2，B选项错误．
整数是由5的倍数、5的倍数加1、5的倍数加2、5的倍数加3、5的倍数加4所构成，
所以Z=0∪1∪2∪3∪4，C选项正确．
当a，b属于同一个“类”时，设a=5n1+k，b=5n2+k，n1，n2∈Z，k=0，1，2，3，4，
所以a−b=5n1−n2∈0；
当a−b∈[0]时，a−b=5n，n∈Z，所以a=5n+b，a=5n+b=b，
即a被5除所得余数和b被5除所得余数相等，也即a，b属于同一个“类”．
综上所述，整数a，b属于同一个“类”的充要条件是a−b∈[0]，D选项正确．
故选：ACD
4．(2022·海南华侨中学高一期中)设集合A＝−1，0，1，集合B＝x∈N|6x+1∈N
(1)用列举法写出集合B
(2)定义：A∗B＝x，yx∈A∩B，y∈A∪B，求A∗B中元素的个数．
【答案】(1)B＝0，1，2，5 (2)10
【分析】(1)由x∈N，6x+1∈N，解得x；
(2)先求出A∩B＝0，1，A∪B＝−1，0，1，2，5，根据定义求出A∗B，继而得解．
【解析】(1)由x∈N，6x+1∈N，所以x可以取0，1，2，5，所以B＝0，1，2，5．
(2)由题意可知：B＝0，1，2，5．
∴A∩B＝0，1，A∪B＝−1，0，1，2，5
∵A∗B＝(x，y)x∈A∩B，y∈A∪B
∴A∗B＝(0，−1)，0，0，0，1，0，2，0，5，1，−1，1，0，1，1，1，2，1，5．
∴A∗B中元素的个数为10．

必会题型二：集合间的基本关系
1．(2022·上海市彭浦中学高一期中)下列表示错误的是(    )
A．0∉∅ B．∅⊆1，2
C．x，y2x+y=103x−y=5=3，4 D．若A⊆B，则A∪B=B
【答案】C
【分析】由元素与集合的关系可判断A；由集合与集合的包含关系可判断B；由描述法可判断C；由集合的包含关系与并集的定义可判断D
【解析】对于A：因为空集没有任何元素，故0∉∅，故A正确；
对于B：因为空集是任何集合的子集，故∅⊆1，2，故B正确；
对于C：x，y2x+y=103x−y=5表示2x+y=10与3x−y=5的交点所构成的集合，
所以x，y2x+y=103x−y=5=3，4，故C错误；
对于D：若A⊆B，则A∪B=B，故D正确；
故选：C
2．[多选]已知集合A=0，a+b，ab，A=2，2-b，c若A=B，则a+b+c的值可能为(    )
A．32 B．2 C．232 D．12
【答案】ABD
【分析】根据A=B，得到2-b=0或c=0，分类讨论得到a的值，根据元素的互异性，舍去不合要求的解，求出a+b+c的值．
【解析】因为A=B，所以2-b=0或c=0．
①当b=2时，A=0，a+2，a2，B=2，0，c，
所以a+2=2或a2=2，得a=0或4．
当a=0时，A=0，2不合题设，舍去．
当a=4时，A=0，6，2，c=6，此时a+b+c=12．
②当c=0时，A=0，a+b，ab，B=2，2-b，0，
所以a+b=2ab=2-b或a+b=2-bab=2，解得：a=0b=2或a=1b=1或a=1b=12
当a=0时，A=0，2不合题设，舍去．
当a=1b=1时，A=B=0，2，1，此时a+b+c=2．
当a=1b=12时，A=B=0，32，2，此时a+b+c=32．
故选：ABD
3．已知集合A满足1，2⊆A⊆1，2，3，4，5，2，3⊆A⊆1，2，3，5，6，则满足条件的集合A的个数为(    )
A．8个 B．4个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据给定的条件，确定集合A中元素即可求解作答．
【解析】因1，2⊆A⊆1，2，3，4，5，2，3⊆A⊆1，2，3，5，6，则有1，2，3都是集合A中元素，4，6都不在A中，5可以在A中，
因此集合A可以是{1，2，3}或{1，2，3，5}，
所以满足条件的集合A的个数为2．
故选：C
4．(2022·上海·华师大二附中高一期中)已知集合A=xax2+3x−2=0有且仅有两个子集，则满足条件的实数a组成的集合是___________
【答案】−98，0
【分析】根据集合A的子集的个数得到集合A中只有一个元素，然后分a=0和a≠0两种情况求解即可．
【解析】因为集合A有且仅有两个子集，所以集合A中只有一个元素，即方程ax2+3x−2=0只有一个解，
当a=0时，3x−2=0，只有一个解，满足要求；
当a≠0时，Δ=9+8a=0，解得a=−98，所以a=−98或0．
故答案为：−98，0．
必会题型三：集合的基本运算
1．(广东省深圳科学高中2022-2023学年高一上学期期中数学试题)若全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,2,3,5},B={1,2,4,6,7,8}，则∁UA∪∁UB=(    )
A．∅ B．{3,4,5,6,7,8,9} C．{9} D．{1,2}
【答案】B
【分析】由补集与并集的概念求解，
【解析】由题意得∁UA={4,6,7,8,9}，∁UB={3,5,9}，∁UA∪∁UB={3,4,5,6,7,8,9}
故选：B
2．(2022·陕西·渭南市瑞泉中学高一阶段练习)已知集合M＝x−1