高中3.2 基本不等式复习练习题

第3讲 不等式与基本不等式 期末大总结

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第一部分：必会知识结构导图

第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结

第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳

必会题型一：不等关系和不等式性质

必会题型二：利用基本不等式求函数和代数式的最值

必会题型三：应用“1”的代换转化为基本不等式求最值

必会题型四：含有多个变量的条件最值及恒成立问题

必会题型五：基本不等式综合问题

第一部分：知识结构导图速看

第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结

1．实数‍a，b‍大小的比较

；；

2．性质‍‍传递性‍‍：如果‍‍且‍那么‍‍

3．性质‍‍可加性‍‍：‍如果‍那么‍‍

4．性质‍‍可乘性‍

‍如果‍‍那么‍

‍如果‍‍那么

5．性质‍4(‍同向可加性‍)‍：如果‍那么‍．

6．性质‍5(‍同向同正可乘性‍)：

‍如果‍‍那么‍

‍如果‍‍那么‍

推论‍‍正数乘方性‍‍当‍‍时其中‍

‍7．性质‍6(‍正数开方性‍)：‍当‍‍时‍其中‍

8．基本不等式

‍当且仅当‍‍时，等号成立．

这个不等式称为基本不等式，其中，‍‍称为‍‍的算术平均值‍称为‍‍的几何平均值．‍因此，基本不等式又称为均值不等式．

10．当‍‍均为正数时，下面的命题均成立：

(1)‍若‍‍为定值‍则当且仅当‍‍时，‍‍取得最大值‍

(2)‍若‍‍为定值‍‍则当且仅当‍‍时，‍‍取得最小值‍．

第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳

必会题型一：不等关系和不等式性质

1．(2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一阶段练习)下列命题中正确的是(    )

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

2．[多选](2022·黑龙江·大庆实验中学高一阶段练习)下列结论中不正确的是(    )

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，则

3．[多选](2022·山东青岛·高一期中)对实数a，b，c，下列说法正确的是(    )

A．若，则 B．若，则

C．若则 D．恒成立

4．(2022·辽宁·建平县实验中学高一阶段练习)(1)若，求的取值范围；

(2)已知，，求的取值范围．

必会题型二：利用基本不等式求函数和代数式的最值

1．(2022·北京市昌平区前锋学校高一期中)已知，则的最小值是(    )

A．2 B．3 C．4 D．5

2．(2022·江苏·常州田家炳高中高一期中)已知，那么的最小值为(    )

A． B． C． D．

3．(2022·海南·海口中学高一期中)当时，则的最大值为______．

4．(2022·浙江·高一期中)若，则的最小值是__________

5．(2022·江苏·常州田家炳高中高一期中)已知正实数满足：．

(1)求的最小值；

(2)求的最小值．

必会题型三：应用“1”的代换转化为基本不等式求最值

1．(2023·四川资阳·模拟预测)已知a，b均为正数，且，则的最小值为(    )

A．8 B．16 C．24 D．32

2．(2022·安徽·砀山中学高三阶段练习)若正实数x，y满足，则(    )

A．有最小值8 B．有最小值9 C．有最大值8 D．有最大值9

3．(2022·四川成都·高二期中)已知，，且，则当取最小值时，=______．

4．(2022·上海市松江二中高一期中)已知，则的最小值为__________．

5．(2022·上海交通大学附属中学浦东实验高中高一期中)已知，，．

(1)求的最小值；

(2)求的最大值；

必会题型四：含有多个变量的条件最值及恒成立问题

1．(2022·江苏省奔牛高级中学高一阶段练习)实数a，b，c满足，，，则的最小值为(    )

A． B．1 C． D．

2．(2022·江苏·星海实验中学高一期中)若正实数，，满足，则的最大值为(    )

A．2 B．3 C．4 D．6

3．[多选](2022·江苏省扬中高级中学高一期中)已知正实数满足，当取最小值时，下列说法正确的是(    )

A． B．

C．的最大值为1 D．的最小值为

4．(2022·江苏南通·高一期中)若不等式，对一切恒成立，则实数的取值范围(    )

A． B． C． D．

5．(2022·上海·华师大二附中高一期中)已知正实数x、y满足．

(1)求xy的最小值，并求取最小值时x、y的值；

(2)若的最小值为9，求a的值．

必会题型五：基本不等式综合问题

1．(2022·辽宁·高三期中)若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为(    )

A．6 B．5 C．4 D．3

2．[多选](2022·陕西·西安南开高级中学高一期中)下列命题中，正确的是(    )

①若，则；②若，则；

③若，则；④若，则

A．① B．② C．③ D．④

3．(2022·上海·高一专题练习)若，，且，则下列不等式中恒成立的是(　　)

A． B． C． D．

4．[多选](2022·山东济南·高一期中)若正实数a，b满足，则下列说法正确的是(    )

A．最大值为 B．最小值为

C．ab最小值为 D．最小值为

5．[多选](2021·江西省遂川中学高一阶段练习)下列结论中，所有正确的结论是(    )

A．若，则函数的最大值为

B．若，，则的最小值为

C．若，，，则的最大值为4

D．若，，，则的最小值为

6．(2022·浙江杭州·高一期中)已知a，b为正实数且，求下列式子的最值

(1)求的最大值;

(2)求的最小值;

(3)求的最小值．

7．(2022·广东·深圳外国语学校致远高中高一阶段练习)为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为32平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为米，公司整体报价为元．

(1)试求关于的函数解析式；

(2)公司应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用．

8．(2022·山东德州·高三期中)第二届中国(宁夏)国际葡萄酒文化旅游博览会于2022年9月6—12日在银川市成功举办，某酒庄带来了葡萄酒新品参展，与采购商洽谈，并计划大量销往海内外．已知该新品年固定生产成本40万元，每生产一箱需另投入100元．若该酒庄一年内生产该葡萄酒万箱且全部售完，每万箱的销售收入为万元，

(1)写出年利润(万元)关于年产是(万箱)的函数解析式(利润销售收入成本)；

(2)年产量为多少万箱时，该酒庄的利润最大？并求出最大利润．