第08讲 幂函数及函数的综合 期末大总结(原卷版)

第8讲 幂函数及函数的综合 期末大总结

目  录  速  览

第一部分：必会知识结构导图

第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结

第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳

必会题型一：幂函数的概念与判断

必会题型二：幂函数的定义域、值域及图象

必会题型三：幂函数的奇偶性及单调性

必会题型四：几类常见函数模型

必会题型五：函数的综合应用

第一部分：知识结构导图速看

第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结

1．幂函数的概念：如果一个函数，底数是自变量x，指数是常数α(注：α为任意实数)，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．幂函数满足三个特征：

(1)幂xα的系数为1；

(2)底数只能是自变量x，指数是常数；

(3)项数只有一项．只有满足这三个特征，才是幂函数．

形如y＝(2x)α，y＝2·xα，y＝xα＋2等形式的函数不是幂函数．

3．幂函数的奇偶性：令‍(其中‍‍互质，‍．)

(1)若‍‍为奇数，则‍‍的奇偶性取决于‍‍是奇数还是偶数．‍当‍‍是奇‍数时，‍‍是奇函数；当‍‍是偶数时，‍‍是偶函数．

(2)若‍‍为偶数，则‍‍必是奇数，此时‍‍既不是奇函数，也不是偶‍函数．

4．常见几类函数模型

第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳

必会题型一：幂函数的概念与判断

1．(2022·广东·深圳外国语学校致远高中高一阶段练习)下列函数是幂函数的是(    )

A． B．

C． D．

2．(2021·全国·高一专题练习)下列函数中，不是幂函数的是(    )

A．y＝2x B．y＝x－1 C．y＝ D．y＝x2

3．[多选](2021·湖南·长沙市实验中学高一期中)(多选)下列函数是幂函数的是(    )

A．y＝5x B．y＝x5

C．y＝ D．y＝(x＋1)3

必会题型二：幂函数的定义域、值域及图象

1．(2022·全国·高一专题练习)已知幂函数的图象过点，则的定义域为(    )

A．R B．

C． D．

2．(2022·黑龙江·大庆实验中学高一阶段练习)已知幂函数的图象不过原点，则实数m的取值为(    )

A．-2 B．0 C．2 D．2或-2

3．已知幂函数(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则(    )

A．p，q均为奇数，且

B．q为偶数，p为奇数，且

C．q为奇数，p为偶数，且

D．q为奇数，p为偶数，且

4．[多选](2022·甘肃·永昌县第一高级中学高一期中)下列说法正确的是(    )

A．若幂函数的图象经过点，则幂函数的解析式为.

B．若函数，则在区间上单调递减.

C．若正实数，满足，则.

D．若函数，则对任意，有.

5．(1)函数的定义域是_____，值域是_____；

(2)函数的定义域是_____，值域是_____；

(3)函数的定义域是_____，值域是_____；

(4)函数的定义域是_____，值域是_____.

6．(2021·浙江·高一期中)已知幂函数在上单调递增.

(1)求m的值和函数的解析式；

(2)解关于x的不等式.

必会题型三：幂函数的奇偶性及单调性

1．(2022·辽宁·高三阶段练习)已知幂函数在上是减函数，则实数的值为(    )

A．2 B．0 C． D．或2

2．已知函数()是幂函数，其图像关于原点对称，且与轴､轴均无交点；则下列说法错误的是(    )

A．函数既无最大值也无最小值

B．函数恰有两个不同零点

C．函数的定义域为

D．函数为减函数

3．[多选](2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高一期中)关于幂函数，下列说法正确的是(    )

A．若，则的定义域是

B．若，则是减函数

C．若的图象经过点，则其解析式为

D．若，则对于任意的，都有

4．(2022·内蒙古·阿拉善右旗第一中学高一期中)已知幂函数)是偶函数，且在上单调递增．

(1)求函数的解析式；

(2)若，求的取值范围；

(3)若实数，，)满足，求的最小值．

必会题型四：几类常见函数模型

1．(2022·河南·高一期中)某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件(单位：件)(∈N*)与货价p(单位：元/件)之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30(单位：元)，当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是___________

2．某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货(不分进货量大小)费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？

3．(2021·福建·莆田第四中学高一阶段练习)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.

(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系.

(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其收益最大为多少万元？

4．(2022·广东·福田外国语高中高一期中)第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.

(1)求2022年该企业年利润W(万元)关于年产量x(千台)的函数关系式；

(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.

必会题型五：函数的综合应用

1．(2022·辽宁·凤城市第一中学高一期中)已知函数的值域为，则实数的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

2．[多选](2022·浙江省临安中学高一期中)某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是(    )

A．函数的定义域是 B．函数的值域为

C．函数在上单调递增 D．方程有实根

3．[多选](2022·山东省青岛第十九中学高一期中)已知函数的图象关于轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的范围可以是下面选项中的(    )

A． B． C． D．

4．(2022·河南洛阳·高一期中)已知函数的定义域为R，对任意实数x，y，．当时，，．

(1)求，的值；

(2)判断函数的单调性并加以证明；

(3)解不等式．

5．(2021·上海市光明中学高一期中)设函数，函数，其中为常数且，令函数为函数和的积函数.

(1)求函数的表达式，并求其定义域；

(2)当时，求函数的值域；

(3)是否存在自然数，使函数的值域为.