第08讲 幂函数及函数的综合 期末大总结(解析版) 试卷

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第8讲 幂函数及函数的综合 期末大总结目  录  速  览第一部分：必会知识结构导图第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳必会题型一：幂函数的概念与判断必会题型二：幂函数的定义域、值域及图象必会题型三：幂函数的奇偶性及单调性必会题型四：几类常见函数模型必会题型五：函数的综合应用 第一部分：知识结构导图速看第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结1．幂函数的概念：如果一个函数，底数是自变量x，指数是常数α(注：α为任意实数)，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．幂函数满足三个特征：(1)幂xα的系数为1；(2)底数只能是自变量x，指数是常数；(3)项数只有一项．只有满足这三个特征，才是幂函数．形如y＝(2x)α，y＝2·xα，y＝xα＋2等形式的函数不是幂函数．2．幂函数的图像及性质(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；幂函数的图像过定点(1，1)；(2)当α＞0时，在(0，＋∞)上单调递增；当α＜0时，在(0，＋∞)上单调递减．(3)当α≤0时，幂函数与坐标轴无交点3．幂函数的奇偶性：令‍(其中‍‍互质，‍．)(1)若‍‍为奇数，则‍‍的奇偶性取决于‍‍是奇数还是偶数．‍当‍‍是奇‍数时，‍‍是奇函数；当‍‍是偶数时，‍‍是偶函数．(2)若‍‍为偶数，则‍‍必是奇数，此时‍‍既不是奇函数，也不是偶‍函数．4．常见几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型 (，为常数，)二次函数模型 (，，为常数，)分段函数模型幂函数模型 (，，为常数，)第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳必会题型一：幂函数的概念与判断1．(2022·广东·深圳外国语学校致远高中高一阶段练习)下列函数是幂函数的是(    )A． B．C． D．【答案】C【分析】由幂函数定义可直接得到结果.【解析】形如的函数为幂函数，则为幂函数.故选：C.2．(2021·全国·高一专题练习)下列函数中，不是幂函数的是(    )A．y＝2x B．y＝x－1 C．y＝ D．y＝x2【答案】A【分析】根据幂函数的概念即可得结果.【解析】为指数函数；，，为幂函数；故选：A.3．[多选](2021·湖南·长沙市实验中学高一期中)(多选)下列函数是幂函数的是(    )A．y＝5x B．y＝x5C．y＝ D．y＝(x＋1)3【答案】BC【分析】根据幂函数的定义逐项验证即可得出答案.【解析】根据幂函数的定义，幂函数的一般形式为y＝5x是指数函数，不是幂函数，选项A错误；y＝ x5是幂函数，选项B正确；是幂函数，选项 C正确；y＝(x＋1)3不是幂函数，选项D错误；故选：BC. 必会题型二：幂函数的定义域、值域及图象1．(2022·全国·高一专题练习)已知幂函数的图象过点，则的定义域为(    )A．R B．C． D．【答案】C【分析】设，点代入即可求得幂函数解析式，进而可求得定义域.【解析】设，因为的图象过点，所以，解得，则，故的定义域为．故选：C2．(2022·黑龙江·大庆实验中学高一阶段练习)已知幂函数的图象不过原点，则实数m的取值为(    )A．-2 B．0 C．2 D．2或-2【答案】A【分析】由幂函数的定义求得m的值，再根据幂函数不过原点，舍去不合题意的值.【解析】因为为幂函数，所以，解得，当时，过原点，不合题意，舍去，当时，不过原点，合题意，综上所述，故选：A.3．已知幂函数(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则(    )A．p，q均为奇数，且B．q为偶数，p为奇数，且C．q为奇数，p为偶数，且D．q为奇数，p为偶数，且【答案】D【分析】根据给定函数的图象分析函数的性质，即可得出p、q的取值情况.【解析】因函数的图象关于y轴对称，于是得函数为偶函数，即p为偶数，又函数的定义域为，且在上单调递减，则有0，又因p、q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确.故选：D4．[多选](2022·甘肃·永昌县第一高级中学高一期中)下列说法正确的是(    )A．若幂函数的图象经过点，则幂函数的解析式为.B．若函数，则在区间上单调递减.C．若正实数，满足，则.D．若函数，则对任意，有.【答案】CD【分析】对于A，利用幂函数的概念及待定系数法求得该幂函数的解析式即可判断；对于B，先证得是偶函数，再利用幂函数在上的单调性及奇偶函数的对称性即可判断；对于C，利用幂函数在上的单调性即可判断；对于D，将题设条件依次变形成一个显而易见的结论，从而得证.【解析】对于A，不妨设该幂函数为，则有，解得，则该幂函数为，故A错误；对于B，因为，所以，定义域也关于原点对称，所以是偶函数，又在上单调递减，所以在区间上单调递增，故B错误；对于C，因为在上单调递增，所以由得，又因为，在上单调递减，所以，故C正确；对于D，因为，要证对任意，有，即证，即证，即证，即证，显然成立，故D正确.故选：CD.5．(1)函数的定义域是_____，值域是_____；(2)函数的定义域是_____，值域是_____；(3)函数的定义域是_____，值域是_____；(4)函数的定义域是_____，值域是_____.【答案】     R.     .     .     .     .     .     .     .【解析】将函数解析式化成根式的形式，从而得到函数定义域与值域.【解析】(1)的定义域为，值域为.(2)的定义域为，值域为.(3)的定义域为，值域为.(4)的定义域为，值域为.故答案为：  (1). ；.   (2)；.   (3) ；.  (4)；.【点睛】本题考查幂函数的定义域值域的计算，属于基础题.6．(2021·浙江·高一期中)已知幂函数在上单调递增.(1)求m的值和函数的解析式；(2)解关于x的不等式.【答案】(1),(2)【分析】(1)根据幂函数的性质即可得，结合为自然数，即可求解，(2)根据的单调性和奇偶性即可转化为指数不等式进行求解.【解析】(1)由于幂函数在上单调递增,所以，解得，又,所以,；(2)由可知：为奇函数，且在定义域内单调递增，所以由得,故，解得，故不等式的解为 必会题型三：幂函数的奇偶性及单调性1．(2022·辽宁·高三阶段练习)已知幂函数在上是减函数，则实数的值为(    )A．2 B．0 C． D．或2【答案】A【分析】由是幂函数知其系数为1，故，解之得的值，又根据在上是减函数知，从而确定参数的值.【解析】因为是幂函数，所以，所以或．若．则，是上的增函数，舍去；若，则，是上的减函数，满足题意， ．故选：A2．已知函数()是幂函数，其图像关于原点对称，且与轴､轴均无交点；则下列说法错误的是(    )A．函数既无最大值也无最小值B．函数恰有两个不同零点C．函数的定义域为D．函数为减函数【答案】D【解析】根据函数为幂函数以及相关性质可得，则，根据幂函数的性质画出函数图象，即可依次判断选项正误.【解析】是幂函数，，解得或3，当时，，是奇函数，图象关于原点对称，且定义域，符合题意；当时，过原点，不符合题意，，，图象如下：则由图可得既无最大值也无最小值，故A正确，不符合题意； 与有两个不同的交点，故函数恰有两个不同零点，故B正确,不符合题意；函数的定义域为，故C正确，不符合题意；在和分别单调递减，故D错误，符合题意.故选：D.3．[多选](2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高一期中)关于幂函数，下列说法正确的是(    )A．若，则的定义域是B．若，则是减函数C．若的图象经过点，则其解析式为D．若，则对于任意的，都有【答案】ACD【分析】A选项，保证分母不为0，所以定义域为；B选项，函数分为第一象限和第三象限的两支，只是在两个象限内单调递减，故B选项说法是错的，C选项代入点的坐标即可求解，D选项把不等式两边平方后利用基本不等式比较大小，即可求解.【解析】的定义域为，A选项正确；，定义域为，且在，单调递减，而不能说是定义域上是减函数，故B选项错误；把点代入，此时，解得：，所以，选项C正确；任意的，，，其中，，当且仅当时等号成立.所以，选项D正确故选：ACD4．(2022·内蒙古·阿拉善右旗第一中学高一期中)已知幂函数)是偶函数，且在上单调递增．(1)求函数的解析式；(2)若，求的取值范围；(3)若实数，，)满足，求的最小值．【答案】(1)；(2)；(3)2．【分析】(1)根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式；(2)由偶函数定义变形不等式，再由单调性去掉函数符号“”，然后求解；(3)由基本不等式求得最小值．【解析】解析：(1)．，，)即或在上单调递增，为偶函数即(2)，，，∴(3)由题可知，，当且仅当，即，时等号成立．所以的最小值是2． 必会题型四：几类常见函数模型1．(2022·河南·高一期中)某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件(单位：件)(∈N*)与货价p(单位：元/件)之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30(单位：元)，当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是___________【答案】10【分析】由题意，设该厂月获利为元，获利=总收入-成本，即，求解二次不等式即可.【解析】由题意，设该厂月获利为元，则：，当工厂日获利不少于1 000元时，即，即，解得：.故该厂日产量最少生产风衣的件数是10.故答案为：102．某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货(不分进货量大小)费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？【答案】4【分析】设每年购买和贮存元件总费用为y元，其中购买成本费为固定投入，设为c元，根据题意求出总费用y与进货次数n的的关系式，配方从而可得出答案.【解析】设每年购买和贮存元件总费用为y元，其中购买成本费为固定投入，设为c元，则，当且仅当，即n=4时，y取得最小值且ymin=4000+c．所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．3．(2021·福建·莆田第四中学高一阶段练习)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系.(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其收益最大为多少万元？【答案】(1)，；(2)投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品为万元时，收益最大为3万元.【分析】(1)设投资债券等稳健型产品收益为，投资股票等风险型产品收益为，结合已知，应用待定系数法求参数，即可写出函数关系式；(2)设投资债券等稳健型产品x万元，则投资股票等风险型产品为万元，可得收益函数为，应用换元法(注意定义域)及二次函数的性质求最大值即可.【解析】(1)设投资x万元时，投资债券等稳健型产品的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益为万元，由题意知：，即；，即，∴两类产品的收益与投资的函数关系式分别是：，；(2)设投资债券等稳健型产品x万元，则投资股票等风险型产品为万元，由题意，投资获得的收益 ，令，则，∴原问题为求的最大值. ，∴当，即万元时收益最大，最大为3万元.故投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品为万元时，收益最大为3万元.4．(2022·广东·福田外国语高中高一期中)第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.(1)求2022年该企业年利润W(万元)关于年产量x(千台)的函数关系式；(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.【答案】(1)(2)当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元【分析】(1)由题意可知时，R=4000，代入函数中可求出，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W(万元)关于年产量x(千台)的函数关系式，(2)分别当和求出函数的最大值，比较即可得答案【解析】(1)由题意知，当时，，所以a=300.当时，；当时，.所以，(2)当时，，所以当时，W有最大值，最大值为8740；当时，，当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.因为，所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元. 必会题型五：函数的综合应用1．(2022·辽宁·凤城市第一中学高一期中)已知函数的值域为，则实数的取值范围是(    )A． B．C． D．【答案】D【分析】根据复合函数的性质，由题意，可得内函数的值域，分类讨论，结合二次函数的性质，可得答案.【解析】由题意，令，则为其值域的一个子集，当时，，令，解得，故当时，；当时，，该函数为开口向下的二次函数，则必定存在最大值，故不符合题意；当时，，该函数为开口向上的二次函数，令，则，整理可得，即，解得或，此时符合题意.综上，可得.故选：D.2．[多选](2022·浙江省临安中学高一期中)某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是(    )A．函数的定义域是 B．函数的值域为C．函数在上单调递增 D．方程有实根【答案】ABD【分析】由解析式确定定义域，利用奇偶性、单调性定义判断的性质，进而判断各选项的正误.【解析】由且知：定义域，，即为偶函数，当时，令，则，所以上递增，又∵，当趋近于时，f(x)趋近于，∴函数的值域为由偶函数的对称性知在上递减，根据对称性其值域为，综上，在R上的值域为，故A、B正确，C错误；由上分析知与有交点，即有实根，D正确.故选：ABD3．[多选](2022·山东省青岛第十九中学高一期中)已知函数的图象关于轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的范围可以是下面选项中的(    )A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根据条件可得，函数为偶函数，在上单调递减.根据单调性与奇偶性的关系可得，函数在上单调递增，进而可推出恒成立.对是否为0进行讨论，利用基本不等式即可求得实数的范围.【解析】由已知可得，函数为偶函数，又对于，当时，恒成立，即，若，都有成立，则在上单调递减，又函数为偶函数，则在上单调递增.又对任意的恒成立，则可得.当时，不等式为显然成立；当时，原不等式可化为恒成立，只需要式子的最小值满足即可.因为，当且仅当，即时，等号成立.所以，，解得.综上所述，实数的范围是.故选：ABC.4．(2022·河南洛阳·高一期中)已知函数的定义域为R，对任意实数x，y，．当时，，．(1)求，的值；(2)判断函数的单调性并加以证明；(3)解不等式．【答案】(1)，2(2)减函数，证明见解析(3)【分析】(1)令，得，令，，得，解得答案.(2)函数是减函数，，，变换得到，得到证明.(3)不等式变换为，再根据函数的单调性得到答案.【解析】(1)令，得，即．令，，得，即．(2)函数是减函数，证明如下：，，当时，，则，，即，所以函数是减函数．(3)，所以，即，因为函数是减函数，不等式可化为，所以，解得，不等式的解集为．5．(2021·上海市光明中学高一期中)设函数，函数，其中为常数且，令函数为函数和的积函数.(1)求函数的表达式，并求其定义域；(2)当时，求函数的值域；(3)是否存在自然数，使函数的值域为.【答案】(1)，(2)(3)【分析】(1)首先求出的定义域，从而求出的解析式与定义域；(2)令，则，，再根据对勾函数的性质求出函数的值域；(3)令，则，结合对勾函数的性质，分和两种情况讨论，分别求出函数的值域，即可求出参数的取值范围，即可得解.【解析】(1)因为，所以，又，，所以，.(2)当时，，令，则且，则，令，， ， 在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，所以，即，所以的值域为.(3)令，因为，则且， ，， 在上单调递减，在上单调递增，因为且为自然数，当时在上单调递增，所以，即的值域为，符合题意；当时，在上单调递增，在上单调递减，所以当时取得最大值为，当时，即当时，由的值域为，令，解得或，所以，解得，综上可得，所以自然数的取值集合为．