第11讲 函数的应用(含零点问题) 期末大总结(解析版)

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第11讲 函数的应用(含零点问题) 期末大总结目  录  速  览第一部分：必会知识结构导图第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳必会题型一：二次函数的零点问题必会题型二：求函数的零点、判断个数及所在的区间必会题型三：与函数零点有关的参数范围问题必会题型四：函数的应用 第一部分：知识结构导图速看第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结1．函数零点的概念：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．函数零点的几种等价说法：(1)方程f(x)＝0的实数根叫作函数f(x)的零点．(2)若y＝f(x)＝m(x)－n(x)，则函数f(x)的零点可看成函数m(x)与函数n(x)交点的横坐标．2．函数零点存在性的判定：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个实数解．注意以下几点：(1)该判定方法只是用于判定方程实数解的存在性，不能判断具体有多少个实数解．(2)逆命题不成立．3．二次函数零点的分布常用定理：设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实数根为x1 x2且x1≤x2．定理一：x1＞0，x2＞0⇔；定理二：x1＜0，x2＜0⇔定理三：x1＜0＜x2⇔＜0；定理四：x1＝0，x2＞0⇔c＝0且＜0，(x1＜0，x2＝0⇔c＝0且＞0)4．二分法：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法．利用二分法求零点近似值的步骤(给定精确度ε)：第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0；第二步：求区间(a，b)的中点x1，第三步：计算f(x1)．(1)若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；(2)若f(a)·f(x1)＜0，则令b＝x1[此时零点x0∈(a，x1)]．(3)若f(x1)·f(b)＜0，则令a＝x1[此时零点x0∈(x1，b)]．第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二至四步．5．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较：在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)，y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且在不同的“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并会远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax．6．常见的函数模型(1)直线模型：即一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)，其增长特点是直线上升(x的系数k＞0)，通过画图可以很直观地认识它．(2)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b＞0，b≠1，a≠0)，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(b＞1，a＞0)，通常形象地称为指数爆炸．(3)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m≠0，a＞0，a≠1)，其增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(a＞1，m＞0)．(4)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)，其中最常见的是二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小(或增大)，后增大(或减小)．(5)反比例函数模型：y＝(k＞0)型，增长特点是y随x的增大而减小(x＞0)．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图像的直观运用，结合图像特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题相结合，如取整等．7．建立函数模型解决实际问题：在实际生活和社会实践中，常涉及一些量与量的关系，如果把这种函数关系写出来，就可以利用我们所学过的函数知识，进行研究，解决一些实际问题．数学建模的一般步骤是：(1)解读：领会题意，并把题中的文字语言译成数学语言；(2)建模：根据题目的要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型并注意题目对变量的限制条件；(3)解模：对已经“数学化”的问题，用所学过的数学知识处理，求出解；(4)检验：将数学问题的解代入实际问题检验，舍去不合题意的解，并作答． 第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳必会题型一：二次函数的零点问题1．(2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习)已知一元二次方程有两个实数根，，且，则m的值为(    )A．-4 B．-5 C．-6 D．-7【答案】A【分析】令，利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围．【解析】因为元二次方程有两个实数根，，且，令，则由题意可得，即解得，又，可得.故选：A.2．[多选](2022·湖北·宜城市第一中学高一期中)已知函数有两个零点，，则(    )A． B．且C．若，则 D．函数有四个零点或两个零点【答案】AC【分析】根据函数零点与方程根的关系可判断A，根据一元二次方程中韦达定理可判断B，C，根据特殊情况可判断D错误.【解析】由有两个零点可知：，故，故A正确，由韦达定理可得：，由于，故可正可负可为0，因此无法判断，的正负，故B错误；时，则，故C正确，，比如当时，令，可得，此时有3个零点，故D错误，故选:AC3．(2022·上海大学附属南翔高级中学高三期中)若函数在上有零点，则实数m的取值范围是_____________．【答案】【分析】首次按钮根据零点定义可得在上有解，参变分离可得，通过换元可得，由求范围即可得解.【解析】由，得，令，得，所以.故答案为 ：4．(2022·山西山西·高一阶段练习)已知关于的方程有两个不相等的实数根，且两个根均大于0，则实数的取值范围为______.【答案】或【分析】设方程的两个不相等的实数根为，由题得，解不等式即得解.【解析】设方程的两个不相等的实数根为，由题得或.由题得.综合得或.故答案为：或5．函数，(1)若函数有且仅有1个零点，求的值.(2)若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.(3)若，恒成立，求的取值范围.【答案】(1)或(2)(3).【分析】(1)分类讨论和，当时，计算判别式；(2)利用零点存在定理，结合二次函数的性质，即可求解；(3)分类讨论，和，利用最值分析法，三种情况分类讨论即可.【解析】(1)当时，，零点为，符合题意.当时，，.综上，或.(2)若，即，解得，满足题意；若，解得；若，，解得，；若，，解得，.(舍)综上，的取值范围为.(3)当时，，在上的最大值为8，不符合题意；当时，，∴，，舍去；当时，①，即时，，∴；②，即时，，，舍去.③，即时，∴，，舍去.综上，的取值范围是. 必会题型二：求函数的零点、判断个数及所在的区间1．(2022·黑龙江·宾县第二中学高一期中)设，现用二分法求关于的方程在区间内的近似解，已知，则方程的根落在区间(    )内A． B．C． D．不能确定【答案】B【分析】根据零点存在性定理结合已知条件分析判断即可．【解析】因为，，且的图象在上连续，所以在上至少存在一个零点，因为，所以在上存在零点，因为，所以在上存在零点，所以方程的根落在区间内，故选：B2．方程在区间上的根必定在(    )A．上 B．上 C．上 D．上【答案】D【分析】设，运用二分法，依次计算，，，，的值，再利用零点的存在性定理，即可得解．【解析】解析：设，则，，因为且，所以函数在上必有零点．又因为且，所以函数在上必有零点．又因为且，所以函数在上必有零点．即方程的根必在上．故选：D3．(2022·河北·邢台一中高一阶段练习)已知在定义域上为单调函数，对，恒有，则函数的零点是(    )A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】先根据单调，结合已知条件求出的解析式，然后再进一步研究函数的零点．【解析】因为是定义域为的单调函数，且对任意的，都有，故可设存在唯一的实数，使得，则设，所以，所以，则，由于函数在上单调递增，函数在上单调递减，又，所以，故，再令，，解得：，故函数的零点是．故选：C．4．(2022·浙江·高二阶段练习)已知分别是函数，的零点，则(    )A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】根据函数零点的定义，结合互为反函数的性质进行求解即可．【解析】显然，因为分别是函数，的零点，所以函数的图象与函数的图象的交点的横坐标分别为，而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，而函数的图象也关于直线对称，于是有，或舍去，所以，，故选：C5．(2022·江苏苏州·高三期中)已知函数则函数的所有零点之积等于________．【答案】【分析】由题意，表示出函数解析式，利用零点的定义，建立方程，可得答案．【解析】求函数的所有零点，则等价于求方程的根，当时，，则，解得；当且时，，则，，可得，，即，，解得 或或或；当时，，，不符合题意．综上，，故答案为：． 必会题型三：与函数零点有关的参数范围问题1．(2022·湖北·十堰市柳林中学高一阶段练习)已知函数若关于x的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是(    )A．) B． C． D．【答案】D【分析】首先根据题意求得，在结合图像，分析的范围，即可求解．【解析】根据的表达式，作图如下：因为为的根，且均大于，则，则，．因为有三个根，根据图像可得，则此时．则，所以的范围为．故选：D2．(2022·河北·高三阶段练习)已知函数若函数有3个零点，则的取值范围是(    )A． B． C． D．【答案】A【分析】要使函数有三个零点，则有三个不相等的实根，即与的图象有三个交点，结合函数的性质及图象即可得出．【解析】要使函数有三个零点，则有三个不相等的实根，即与的图象有三个交点，当时，在上单调递减，；当时，在上单调递增，；当时，在上单调递增，；由与的图象有三个交点，结合函数图象可得，故选：A．3．(2022·四川省绵阳南山中学高三阶段练习(理))已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为(    )A． B． C． D．【答案】B【分析】根据可得，由此可构造函数，根据f(x)的单调性即可判断a和c的大小；根据对数的计算法则和对数的性质可得b与2的大小关系；变形为，利用函数与函数的图象可判断两个函数的交点的横坐标c的范围，从而判断b与c的大小．由此即可得到答案．【解析】，故令，则，．易知和均为上的增函数，故在为增函数．∵，故由题可知，，即，则．易知，，作出函数与函数的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在内，即，，．故选：B．4．(2022·天津市南开中学滨海生态城学校高三阶段练习)已知函数，，若有6个零点，则的取值范围为(    )A． B．C． D．【答案】D【分析】解决复合函数零点个数问题的时候，常用数形结合分析，分析各种情况后，往往会用到零点的存在性定理或根的分布情况来确定参数的取值范围．作出函数图象，进行分析，最多有两个零点，根据最多4个零点，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果．【解析】根据图像可得，当或时，有两个解；当时，有4个解；当时，有3个解；当时，有1个解．因为，最多有两个解．因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，．则存在下列几种情况：①有2个解，有4个解，即或，，显然，则此时应满足    解得②有3个解，有3个解，设即，，则应满足    解得综上所述，的取值范围为或．故选：D．5．(2022·山西·太原市外国语学校高二阶段练习)设函数，关于x的方程有四个实根)，则的最小值为(    )A． B． C．9 D．10【答案】D【分析】作出函数的图象，再分析函数性质结合均值不等式求解作答．【解析】抛物线的对称轴，当时，图象关于直线对称，且，由解得或，作出函数的图象与直线，如图，关于x的方程有四个实根，则有直线与函数的图象有4个公共点，，则，由得：，因此，，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为10．故选：D 必会题型四：函数的应用1．(2022·广东东莞·高一期中)某食品的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：)满足函数关系为自然对数的底数，，为常数)．若该食品在的保鲜时间是100小时，在的保鲜时间是60小时，则该食品在的保鲜时间是(    )A．20小时 B．24小时 C．32小时 D．36小时【答案】D【分析】根据题意，求得，再结合指数运算，即可求得结果．【解析】由题可得：，故可得，故当时，，即该食品在的保鲜时间是小时．故选：D．2．(2022·江苏泰州·高一期中)为了落实“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户的消费资费，已知该公司共有移动用户10万人，人均月消费50元．经测算，若人均月消费下降x%(x为正数)，则用户人数会增加万人．若要保证该公司月总收入不减少，则x的取值范围为______．【答案】【分析】由题意可设该公司下调消费投资后的月总收入为y元，可得，结合题意列出关于x的不等式，即可得出答案．【解析】设该公司下调消费投资后的月总收入为y元，则，要保证该公司月总收入不减少，则，解得，∵x为正数，∴x的取值范围为．故答案为：3．(2022·上海市南洋模范中学高一阶段练习)如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设．  (1)要使矩形花坛的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？(2)要使矩形花坛的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？(精确到0.1米)【答案】(1)(2)当AN为6米时，用料最省【分析】(1)利用三角形相似得到，从而可得花坛的面积为求得，即AN的取值范围；(2)利用表示扩建部分面积，再利用基本不等式即可求得时，扩建部分面积最小，从而用料最省．【解析】(1)由题意可知，所以，又，所以，则，所以，则，所以矩形花坛的面积为，解得或，所以AN长的范围为．(2)结合(1)中结论，可得扩建部分面积为 ，当且仅当，即时，等号成立，所以当AN为6米时，扩建部分面积最小，用料最省．4．(2022·上海·曹杨二中高三阶段练习)新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，；当产量不小于60万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．(1)求口罩销售利润y(万元)关于产量x(万箱)的函数关系式；(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？【答案】(1)(2)当x=80时，所获利润最大值为1300万元【分析】对于(1)，由利润=售价成本，结合题目条件可得答案．对于(2)，由(1)解析式求最值即可．【解析】(1)售价固定为，当产量不足60万箱时，．当产量不小于60万箱时，．则．(2)设当时，．得在上单调递增，在上单调递减．则．当时，由基本不等式有当且仅当时取等号．又，得当x=80时，所获利润最大值为1300万元5．(2022·河南洛阳·高一期中)某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在2h内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．每毫升血液中的药物含量y(μg)与服药后的时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线段AB是函数，，k，a是常数)的图象，且，．(1)写出注射该药后每毫升血液中药物含量y关于时间t的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中药物含量不少于1μg时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？(3)若按(2)中的最迟时间注射第二次药物，则第二次注射后再过1．5h，该人每毫升血液中药物含量为多少μg(精确到0.1μg)？【答案】(1)(2)最迟13点注射药物(3)6.4μg【分析】(1)根据函数图象分段求解函数解析式即可；(2)根据题意列出不等式，求解出答案；(3)分别求解出第每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果．【解析】(1)解：当时，；当时，把，代入，，k，a是常数)，得，解得，故．(2)解：设第一次注射药物后最迟过t小时注射第二次药物，其中．则，解得，即第一次注射药物5h后开始第二次注射药物，即最迟13点注射药物．(3)解：第二次注射药物1.5h后，每毫升血液中第一次注射药物的含量，每毫升血液中第二次注射药物的含量，所以此时两次注射药物后的药物含量为．故该人每毫升血液中药物含量为6.4μg．