深圳市罗湖外语初中学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

深圳市罗湖外语初中学校九年级上学期期末测试卷

一、选择题 (每题 3 分， 共 30 分)

1．如图所示的几何体的俯视图是(    )

        A ．  B ．  C ．   D ．

2．在直角△ABC 中， ∠C=90°, BC=3, sinA= ,求tan B 为 (     )

A.         B．              C．                  D．

3．菱形不具备的性质是(    )

A．四条边都相等   B．对角线一定相等 C．对角线平分对角  D．是中心对称图形

4.  如图，点 P 是反比例函数y =    图像上的一点，PF⊥x 轴于 F 点，且 Rt△POF 面积为 4。 x

若点 B  (﹣ 2 ，m)也是该图像上的一点， 则 m 的值为(    )

A. ﹣ 2                               B. ﹣ 4                               C.2                                 D.4

y

P

F     O                      x

          (4 题图)                               (6 题图)

5.我国于 12 月中旬开始放开新冠疫情管控，经专家推算，每轮传播过程中，1 个人可以传播

给 x 个人， 经过两轮传播后，共有 81 人被传染。则可列方程为(     )

A.  1+(1+ x)x = 81                                        B.    1+ x +(1+ x)x = 81

C.    (1+ x)x = 81                                             D.    x +(1+ x)x = 81

6．如图， 在平面直角坐标系 xOy 中，两个“E”字是位似图形，位似中心点 O ，①号“E” 与②号“E”的位似比为 2 ：1．点 P  (﹣ 6 ，9)在①号“E”上， 则点 P 在②号“E”上的

7．关于抛物线y = (x −1)2 − 2 ，下列说法中错误的是 (   ) .

A.顶点坐标为(1，-2)

C.当x > 1时， y 随 x 的增大而减小

B.对称轴是直线x = 1

D.开口方向向上

8．二次函数y＝ax2+bx+c  (a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线 x＝1，下列结论：

①ab＜0；②b2＞4ac；③a-b+c＞0；④2a+b=0．其中正确的是(    )

A ．①③④         B ．②③④          C ．①②③         D ．①②③④

(8 题图)                    (10 题图)                     (13 题图)

9.  如图， 在△ABC 中， AD 平分∠BAC，按如下步骤作图：

第一步，分别以点 A、D 为圆心， 以大于AD 的长为半径在AD 两侧作弧， 交于两点 M、N；

第二步，连接 MN 分别交AB、AC 于点 E、F；

第三步，连接 DE、DF．

若 BD=6 ，CD=3 ，CF=2 ，则 AE 的长是_______                                                (9 题图)

A. 3                            B. 4                              C. 5                                                D. 6

10．如图， 正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 F 是 CD 上一点，OE⊥OF 交

BC 于点 E，连接AE，BF 交于点 P，连接 OP．则下列结论：①AE⊥BF；② OAP∽EAC；

③四边形 OECF 的面积是正方形 ABCD 面积的；④AP ﹣ BP＝OP；  ⑤若BE：CE＝2： 3，则 tan∠CAE＝．其中正确的结论有 (    ) 个

A ．2 个              B ．3 个             C ．4 个            D ．5 个

二、填空题 (每题 3 分， 共 15 分)

11．已知，则 ＝       ．

12. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 ﹣2x+m＝0 有实数根， 则 m 的取值范围为      ．

13．如图，四边形 ABCD 是边长为cm 的菱形，其中对角线 BD 的长为 2cm，则菱形 ABCD 的面积为        cm2．

14.如图， 在某校的 2022 年新年晚会中， 舞台 AB 的长为 20 米， 主持人站在点 C 处自然得

体，已知点 C 是线段 AB 上靠近点 B 的黄金分割点，则此时主持人与点 A 的距离为     

      米．

(14 题图)

15．如图， 直线y＝x﹣2 交双曲线y＝ (x＞0)于点 A，交 x 轴于

点 B ，直线y＝3x 交双曲线y＝ (x＞0) 于点 C，若 OA＝OC，

则 k 的值为          ．

三、解答题

16．计算题(每题 3 分， 共 9 分)                                 (15 题图)

(1) 解方程 x2 ﹣ x ﹣ 6＝0；                 (2) 解方程：2x  (x ﹣ 1)＝1 ﹣ x．

(3) 计算：   − 2 cos 60o + ()−1 − (冗 − tan 60o )0

17．(6  分) 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情

况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A ：60≤x＜70；B ：70≤x＜80；C：80 ≤x＜90；D ：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图．

解答下列问题：

(1) 本次调查的学生共有        人．

(2) 求被抽取的学生成绩在 C：80≤x＜90

组的有多少人？ 并补齐条形统计图．

(3)学校要将 D 组最优秀的 4 名学生分成两组，每组 2 人到不同的社区进行“交通法规” 知识演讲．已知这 4 名学生 1 名来自七年级，1 名来自八年级，2 名来自九年级，请用列  表或画树状图的方法，求九年级的 2 名学生恰好分在同一个组的概率．

18 ．(6 分) 如图， 从楼层底部 B 处测得旗杆 CD 的顶端 D 处的仰角是53°，

从楼层顶部 A 处测得旗杆 CD 的顶端 D 处的仰角是 45°， 已知楼层AB

的楼高为 3 米． 求旗杆 CD 的高度约为多少米？  (参考数据： sin53°≈，

cos53°≈ ，tan53°≈．)

19 ．(8 分) 某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元售出， 平均每月能售出 600 个，调查表 明：售价在 40 元至 60 元范围内，这种台灯的售价每上涨 1 元，其销售量就将减少 10 个， 设该商场决定把售价上涨 x  (0＜x＜20)元．

(1) 售价上涨 x 元后， 该商场平均每月可售出       个台灯(用含 x 的代数式表示)；    (2) 为了实现平均每月 10000 元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台 灯多少个？

(3) 台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？

20 ．(8 分) 如图， 在口ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，过点 B 作BE⊥CD 于点 E， 延长 CD 到点 F，使 DF＝CE，连接 AF．

(1) 求证：四边形ABEF 是矩形；

(2) 连接 OF，若 AB＝6 ，DE＝2，∠ADF＝45°，求 OF 的长度．

21．(9 分) 如图，一次函数y＝k1x+b 的图象与反比例函数y＝的图象相交于点 A (3，1)， B  (﹣ 1 ，n) 两点．

(1) 分别求出一次函数和反比例函数的解析式；

(2) 根据图象，直接写出满足 k1x+b≥的 x 的取值范围；

(3) 连接 BO 并延长交双曲线于点C，连接 AC，求△ABC 的面积．

22 ．(9 分)【推理】如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 上一动点，将正方形沿着 BE

折叠， 点 C 落在点 F 处， 连结 BE，CF，延长 CF 交 AD 于点 G．

(1) 求证：△BCE≌△CDG．

【运用】(2)如图 2，在【推理】条件下，延长 BF 交 AD 于点 H．若 ，CE＝9，

求线段 DE 的长．

【拓展】(3) 将正方形改成矩形，同样沿着 BE 折叠，连结 CF，延长 CF，BF 交直线AD

参考答案

一、选择题

1-5：CDBDB     6-10：ACDBC

二、

11.  ；12. ；13. 4； 14. ； 15. 3 

三、

16.（1）       (2)     (3)3

17. 解：（1）本次调查的学生共有：16÷20%＝80（人），故答案为：80；

（2）被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有：80﹣8﹣16﹣24＝32（人），

补全的条形统计图如下所示：

（3）把1名来自七年级的学生记为甲，1名来自八年级的学生记为乙，2名九年级学生记为丙、丁，

根据题意，画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种，

∴九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率为＝．

18. 解：过A作AE⊥CD于E，如图所示：

则BC＝AE，∠AED＝90°，

由题意得：∠DAE＝45°，∠DBC＝53°，AB＝3米，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴AE＝DE，

设BC＝AE＝DE＝x米，则CD＝（x+3）米，

∵tan∠DBC＝＝tan53°≈，

∴≈，

解得：x≈9，

∴CD＝9+3＝12（米），

答：旗杆CD的高度约为12米．

19. 解：（1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出（600﹣10x）个台灯．

故答案为：（600﹣10x）．

（2）依题意，得：（40﹣30+x）（600﹣10x）＝10000，

整理，得：x2﹣50x+400＝0，

解得：x1＝10，x2＝40（不合题意，舍去），

∴40+x＝50，600﹣10x＝500．

答：这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个．

(3)

  ∵-10<0  ∴,y随着x的增大而增大

  ∴当x=20时，y取得最大值，最大值为12000.

20. （1）证明：∵在▱ABCD中，

∴AD∥BC且AD＝BC，

∴∠ADF＝∠BCE，

在△ADF和△BCE中，

∵

∴△ADF≌△BCE（SAS），

∴AF＝BE，∠AFD＝∠BEC＝90°，

∴AF∥BE，

∴四边形ABEF是矩形；

（2）解：由（1）知：四边形ABEF是矩形，

∴EF＝AB＝6，

∵DE＝2，

∴DF＝CE＝4，

∴CF＝4+4+2＝10，

Rt△ADF中，∠ADF＝45°，

∴AF＝DF＝4，

由勾股定理得：AC＝＝＝2，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，

∴OF＝AC＝．

21. 解：（1）将点A（3，1）代入反比例函数y＝，

得k2＝3×1＝3，

∴反比例函数解析式：，

将点B（﹣1，n）代入，

得n＝﹣3，

∴B（﹣1，﹣3），

将点A，B代入一次函数y＝k1x+b，

得，

解得，

∴一次函数解析式：y＝x﹣2．

（2）根据图象可知，k1x+b≥的x的取值范围：x≥3或﹣1≤x＜0；

（3）连接OA，如图所示：

根据题意可知，C与B关于原点对称，

∵B（﹣1，﹣3），∴C（1，3），

∴S△AOC＝＝4，

∴S△ABC＝2S△AOC＝8， ∴△ABC的面积为8．

22. （1）证明：如图1中，

∵△BFE是由△BCE折叠得到，∴BE⊥CF，∴∠ECF+∠BEC＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠BCE＝90°，∴∠ECF+∠CGD＝90°，

∴∠BEC＝∠CGD，∵BC＝CD，∴△BCE≌△CDG（AAS）．

（2）如图2中，连接EH．

∵△BCE≌△CDG，

∴CE＝DG＝9，

由折叠可知BC＝BF，CE＝FE＝9，

∴∠BCF＝∠BFC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，

∴∠BCG＝∠HGF，

∵∠BFC＝∠HFG，

∴∠HFG＝∠HGF，

∴HF＝HG，

∵＝，DG＝9，

∴HD＝4，HF＝HG＝5，

∵∠D＝∠HFE＝90°，

∴HF2+FE2＝DH2+DE2，

∴52+92＝42+DE2，

∴DE＝3或﹣3（舍弃），

∴DE＝3．

（3）如图3中，连接HE．

由题意＝，可以假设DH＝4m，HG＝5m，设＝x．

①当点H在点D的左侧时，

∵HF＝HG，

∴DG＝9m，

由折叠可知BE⊥CF，

∴∠ECF+∠BEC＝90°，

∵∠D＝90°，

∴∠ECF+∠CGD＝90°，

∴∠BEC＝∠CGD，

∵∠BCE＝∠D＝90°，

∴△CDG∽△BCE，

∴＝，

∵＝＝k，

∴＝，

∴CE＝＝FE，

∴DE＝，

∵∠D＝∠HFE＝90°

∴HF2+FE2＝DH2+DE2，

∴（5m）2+（）2＝（4m）2+（）2，

∴x＝或﹣（舍弃），

∴＝．

②当点H在点D的右侧时，如图4中，

同理HG＝HF，△BCE∽△CDG，

∴DG＝m，CE＝＝FE，

∴DE＝，

∵HF2+FE2＝DH2+DE2，

∴（5m）2+（）2＝（4m）2+（）2，

∴x＝或﹣（舍弃），

∴＝．

综上所述，＝或．