2023临沂兰陵县四中高一12月线上摸底测试数学试题含解析

兰陵四中2022-2023学年度高一数学12月线上摸底考试题

考试范围：必修第一册1-4章；5.1考试时间：120分钟；

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题

1. 设全集，集合，，则=（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出的补集，再根据交集的运算法则计算即可．

【详解】解：由已知易得，

．

故选：B．

2. “为整数”是“为整数”的（    ）

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】为整数能推出为整数，为整数时，不一定为整数，即可得到答案.

【详解】若为整数，则一定为整数，但当时，也为整数，故为整数是“为整数”的充分不必要条件

故选：B.

3. 已知函数，，则图象如图的函数可能是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】结合函数图像奇偶性和单调性即可判断.

【详解】由图可知，该函数为奇函数，和为非奇非偶函数，故A、B不符；

当x＞0时，单调递增，与图像不符，故C不符；

为奇函数，当x→＋时，∵y＝的增长速度快于y＝lnx的增长速度，故＞0且单调递减，故图像应该在x轴上方且无限靠近x轴，与图像相符.

故选：D.

4. 函数的零点所在的大致区间是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.

【详解】解：的定义域为，又与在上单调递增，

所以在上单调递增，

又，，，

所以，所以在上存在唯一的零点.

故选：C

5. 中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数对计算度电成本具有重要影响．等年值系数和设备寿命周期具有如下函数关系，为折现率，寿命周期为年的设备的等年值系数约为，则对于寿命周期约为年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知可得出，解出，然后将代入计算即可得解.

【详解】由已知可得，解得，

当时，则.

故选：D.

6. 函数的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的函数值与函数的单调性进行判断即可.

【详解】由题知当时，函数，排除A，C，

又由，，，排除B.

故选：D.

【点睛】本题主要考查函数的图像问题，解决此类问题，基本就是排除法进行解题，往往就是函数的特殊值，奇偶性，单调性，周期性等等进行判断即可.

7. 已知，记，则的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据，利用指数函数和对数函数的单调性求解.

【详解】解：因为，

所以，

所以，

故选：A

8. 已知是定义为R上的奇函数，f(1)＝0，且f(x)在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由是定义为R上的奇函数可知函数关于点对称；再结合，即可得出.再结合f(x)在上单调递增，在上单调递减，可知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.再分类讨论即可你求出答案.

【详解】因为是定义为R上的奇函数,

所以;函数关于点对称.

当时：；

当时：;

所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

所以当时，解得;

当时，解得;

当时，解得;

综上所述：不等式的解集

故选：D.

二、多选题

9. 给定下列命题，其中真命题为（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. ，不等式成立

【答案】BD

【解析】

【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用不等式的性质可判断B选项；利用作差法可判断CD选项.

【详解】对于A选项，若，取，，则，A错；

对于B选项，若，由不等式性质可得，B对；

对于C选项，若，则，即，C错；

对于B选项，，，即，D对.

故选：BD.

10. 已知，设函数，，，若的最大值为，最小值为，那么和的值可能为（    ）

A. 4与1 B. 5与2 C. 5与3 D. 6与4

【答案】CD

【解析】

【分析】构造新函数，根据新函数的奇偶性，结合函数奇偶性的性质进行求解即可.

【详解】令，，

∴，∴为奇函数，

设的最大值为t，最小值为，

∴，，可得，

∵，∴2b为偶数，

故选：CD．

11. 已知是实数，则下列不等关系表述，一定正确的有（    ）

A. 若，则 B.

C.  D. 若.则

【答案】CD

【解析】

【分析】可以通过作差，再利用不等式的性质可以判断A；使用基本不等式，对于任意正实数，，当且仅当时取等号，可以判断B；使用基本不等式，对于任意实数，，当且仅当时取等号，可以判断C；利用不等式的性质可以判断D.

【详解】对于A：

由于 ，实数的符号不确定，故的符号也不确定，故A错误；

对于B：

若 ，所以 ，当且仅当，即时取等号，但是，若，则不成立，故B错误；

对于C：

等价于等价于，当且仅当 时取等号，对于任意实数 都成立，故C正确；

对于D：

由于 ，则，又因为，所以，故D正确.

故选：CD

12. 现将一条长为10的细绳截成两段，分别围成一个正方形以及一个三边长的比例为3:4:5的三角形，则下列说法正确的是（    ）

A. 两个图形的面积之和的最小值为

B. 两个图形的面积之积的最大值为

C. 若两个图形的面积之和大于，则正方形周长的取值范围是

D. 若两个图形的面积之和大于，则正方形周长与三角形周长之比的最大值不存在

【答案】CD

【解析】

【分析】设将长为10的细绳截成两段后的长分别为x，y，分别表示出正方形和三角形的面积，即可依次判断每个选项的正误.

【详解】设将长为10的细绳截成两段后的长分别为x，y．将长度为x的细绳围成正方形，其面积为．将长度为y的细绳围成三边长的比例为3:4:5的直角三角形，即三边长分别为，，，其对应的面积为．

对A，两个图形的面积之和．又，所以，当时，S取到最小值，最小值为，故选项A错误；

对B，两个图形的面积之积．由基本不等式得，则，即Z的最大值为，当且仅当时，等号成立，故选项B错误；

对C，令，解得，故选项C正确；

对D，正方形与三角形周长之比为，显然不存在最大值，故选项D正确.

故选：CD．

第II卷（非选择题）

三、填空题

13. _________

【答案】1

【解析】

【分析】根据角度与弧度的换算即可求解.

【详解】因为，所以，

故答案为：.

14. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则_________．

【答案】2

【解析】

【分析】根据对数运算法则可知，，再根据偶函数性质得，代入计算即可得出结果.

【详解】由题意可知，，

又因为函数是定义域为的偶函数，所以，

即，而，所以；

所以，.

故答案：2.

15. 已知为奇函数，当时，，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用奇函数的性质，结合函数的解析式进行求解即可.

【详解】因为为奇函数，所以，

故答案为：

16. 已知，且，则的最小值是___________.

【答案】4

【解析】

【分析】将已知化为，所求通分变形为，利用基本不等式即可求解.

【详解】解：，

，又

（当且仅当时等号成立）.

的最小值为4.

故答案为：4.

【点睛】关键点点睛：基本不等式中最值定理“和定积最大，积定和最小”是解本题的关键，对所求式子分析知，只需把已知条件因式分解，所求前两个分式通分即可求解.

四、解答题

17. 化简求值：

（1）

（2）

【答案】（1）1    （2）1

【解析】

【分析】（1）根据指数幂的运算进行化简求值；

（2）根据对数的运算性质进行化简求值.

【小问1详解】

原式

【小问2详解】

原式

18. 已知函数，且．

（1）求证：函数有两个不同的零点；

（2）设是函数的两个不同的零点，求的取值范围

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）先求出，再求出的判别式即得证；

（2）先写出韦达定理，再求出即得解.

【小问1详解】

证明：∵，∴．

∴．

对于方程，，

∴恒成立．

又，∴函数有两个不同的零点．

【小问2详解】

解：由是函数的两个不同的零点，得是方程的两个根．

∴，．

∴．

∴的取值范围是.

19. 已知实数，，满足．

（1）若，求证：；

（2）若，，求 的最小值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）1

【解析】

【分析】对于（1），利用做差法可得答案；

对于（2），由题可得为方程的根，由可得答案.

【小问1详解】

证明：.

因，，则.

故.

得，即.

【小问2详解】

因，，则.

故为方程的根，则.

又，，可知.则，

当且仅当，即时取等号.故 的最小值为1.

20. 某乡镇响应“绿水背山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元．己知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．

（1）求函数的解析式；

（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）   

（2）当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400元

【解析】

【分析】（1）利用，即可求解；

（2）对进行化简，得到，然后分、讨论取值，进而得到答案.

【小问1详解】

根据题意，，化简得，

；

【小问2详解】

由（1）得

，

当时，，

当时，，所以

，

当且仅当时，即时等号成立，

因为，所以当时，，

故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400元.

21. 已知集合，或.

（1）当时，求；

（2）当时，若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）将代入求出集合，再求即可；

（2）化简，将已知条件转化为，列出不等式求解可得答案.

【小问1详解】

当时，由不等式，得，

故，又或，

所以；

【小问2详解】

若“”是“”的充分条件，等价于，

因为，由不等式，得，

又或，

要使，则或，又因为，解得.

综上可得实数a的取值范围为.

22. 已知函数，且）．

（1）若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且点在函数的图象上，求实数的值；

（2）已知函数，．若的最大值为8，求实数的值．

【答案】（1）4    （2）或2

【解析】

【分析】（1）由题意可知，然后将点代入可求出的值，

（2）由（1）得，令，则，然后分和两种情况结合二次函数的性质求解即可.

【小问1详解】

因为函数，且）的图象与函数的图象关于直线对称，

所以（，且），

因为点在函数的图象上，

所以，解得，或（舍去），

【小问2详解】

．令．

①当时，由，有，

二次函数的对称轴为，

可得最大值为，

解得或（舍去）；

②当时，由，有，

二次函数的对称轴为，

可得最大值为，解得或（舍去），

综上，实数的值为或2．