2021年中考数学复习第二节　代数式与整式学案

这是一份2021年中考数学复习第二节　代数式与整式学案

代数式与整式命题点一　整式的运算1.(2019河南)下列计算正确的是(　D　)A.2a+3a=6a B.(-3a)2=6a2C.(x-y)2=x2-y2 D.32−2=22解析　2a+3a=5a,选项A错误;(-3a)2=9a2,选项B错误;(x-y)2=x2-2xy+y2,选项C错误;32−2=22,选项D正确.故选D.2.(2018河南)下列运算正确的是(　C　)A.(-x2)3=-x5 B.x2+x3=x5C.x3·x4=x7 D.2x3-x3=1解析　(-x2)3=-x6,选项A错误;x2与x3不是同类项,不能合并,选项B错误;x3·x4=x3+4=x7,选项C正确;2x3-x3=x3,选项D错误.故选C.3.(2016河南)下列计算正确的是(　A　)A.8−2=2 B.(-3)2=6C.3a4-2a2=a2 D.(-a3)2=a5解析　选项A,8−2=22−2=2;选项B,(-3)2=9;选项C,3a4与-2a2不是同类项,不能合并;选项D,(-a3)2=a6.故选A.命题点二　整式的化简求值4.(2017河南)先化简,再求值:(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y),其中x=2+1,y=2-1.解析　原式=4x2+4xy+y2+x2-y2-5x2+5xy=9xy.当x=2+1,y=2-1时,原式=9×(2+1)×(2-1)=9.考点一　代数式及其求值1.代数式:用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式,代数式不含等号和不等号,单独的一个数或一个字母①　　是　　(填“是”或“不是”)代数式. 2.列代数式:把问题中与数量有关的词语,用含有②　字母　和运算符号的式子表示出来,这就是列代数式. ▶温馨提示　(1)列代数式的关键是正确分析数量关系,掌握文字语言和、差、积、商、倍、分、大、小、多、少等在数学语言中的含义;(2)注意书写规则:a×b通常写作a·b或ab;1÷a(a≠0)通常写作1a(a≠0);数字通常写在字母前面,如a×3通常写作3a;带分数一般写成假分数,如115a通常写作65a.3.代数式的值:一般地,用数值代替③　代数式里的字母　,按照代数式中的运算关系计算得出的结果,叫做代数式的值. 考点二　整式及其相关概念1.单项式:用数或字母的④　积　表示的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式. (1)单项式中的⑤　数字因式　叫做这个单项式的系数. (2)一个单项式中,所有字母的⑥　指数和　叫做这个单项式的次数. 2.多项式:几个单项式的⑦　和　叫做多项式.其中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做⑧　常数项　.多项式里,次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数. 3.整式:单项式和多项式统称为整式.考点三　整式的运算1.整式的加减法运算(1)同类项:所含字母相同,并且相同字母的⑨　指数　也相同的项叫做同类项.常数项也是同类项. (2)合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的⑩　和　,字母连同它的指数　不变　. (3)去括号法则:a+(b-c)=　a+b-c　;a-(b-c)=　a-b+c　.(口诀:“+”不变,“-”变) (4)整式加减运算法则:整式加减运算的实质是　合并同类项　. 2.幂的运算易错警示运用幂的运算法则时常见的错误1.“同底数幂相乘”和“幂的乘方”运算法则混淆:(1)a2·a3=　a2+3　=　a5　. (2)(a2)3=　a2×3　=　a6　. 2.忽略“同底数幂相乘”法则的运用条件:(1)a2·(-a)3·a4=a2+3+4=a9.(　✕　)(2)a2·(-a)3·a4=-a2+3+4=-a9.(　√　)3.计算积的乘方时,漏掉积(底数)中的某一因式的乘方:(-3a2b)3=　(-3)3·(a2)3·b3　=　-27a6b3　. 　　3.整式的乘法运算乘法公式:(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=　a2-b2　. (2)完全平方公式:(a±b)2=　a2±2ab+b2　. 4.整式的除法运算5.整式的混合运算:先乘方,后乘除,最后算加减,如果有括号,那么要先算括号内的.考点四　因式分解1.因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的　积　的形式,叫做把这个多项式因式分解(或者分解因式). 2.因式分解的基本方法(1)提公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c).名师点拨　提公因式法的关键是确定公因式.公因式的确定系数:取各项系数的最大公约数.字母:取各项相同的字母.指数:取各相同字母的最低次幂.它们的积即为这个多项式的公因式.(2)公式法:a2-b2=(a+b)(a-b);a2±2ab+b2=　(a±b)2　. 3.分解因式的一般步骤分解因式时,首先考虑是否有公因式,如果有公因式,那么　先提公因式　,然后考虑　公式法　(当多项式为两项时,考虑用平方差公式;当多项式为三项时,考虑用完全平方公式).分解因式要分解到每个因式　不能再分解　为止.以上步骤可总结为“一提二套三检查”. ▶温馨提示　因式分解与整式的乘法是两个互逆的过程,是互为相反方向的变形.如:(a+b)(a-b) a2-b2.一般地,用整式的乘法可以检验分解因式是不是正确.易错警示　　因式分解时的易忽略点　　1.用提公因式法分解因式时,易漏掉幂为“1”的项:分解因式:12a2b-24ab2+6ab=　6ab(2a-4b+1)　. 2.运用完全平方公式时漏解:若y2+ay+4是完全平方式,则a=　±4　. 探究点一　求代数式的值　　例1　已知x(x+3)=1,则代数式2x2+6x-5的值为　-3　. ▶思路导引　　　1-1　按如图所示的运算程序,能使输出的y值为1的是(　D　)　　A.m=1,n=1 B.m=1,n=0C.m=1,n=2 D.m=2,n=1解析　当m=1,n=1时,y=2m+1=2+1=3;当m=1,n=0时,y=2n-1=-1;当m=1,n=2时,y=2m+1=3;当m=2,n=1时,y=2n-1=1.故选D.1-2　已知代数式x+2y的值是6,则代数式3x+6y+1的值是　19　. 解析　∵x+2y=6,∴3x+6y+1=3(x+2y)+1=3×6+1=18+1=19.　　1-3　已知a与b互为相反数,c与d互为倒数,m的绝对值为6,求a+bm-cd+|m|的值.解析　依题意,得a+b=0,cd=1,|m|=6,则m=±6.当m=6时,原式=06-1+6=5;当m=-6时,原式=0-6-1+6=5.综上,a+bm-cd+|m|的值为5.方法技巧　1.整体代入法是解答代数式求值问题最常用的方法,一般是把已知条件变形后直接代入化简并求值,或者把所求式子适当变形后整体代入求值.2.利用概念本身隐含的意义,如“互为相反数的两数之和为0”“互为倒数的两数之积为1”等,直接代入求代数式的值.探究点二　整式的运算　　例2　(2020原创)下列运算正确的是(　C　)A.5a2-3a2=2 B.2a+3b=5ab C.(ab)2=a2b2 D.(a-1)2=a2+1解析　A选项,5a2-3a2=2a2,故错误;B选项,2a和3b不是同类项,不能合并,故错误;C选项,(ab)2=a2b2,故正确; D选项,(a-1)2=a2-2a+1,故错误.故选C.2-1　(2020原创)下列运算不正确的是(　B　)A.3xy-2xy=xy B.x3÷x2=x5C.(x3)2=x6 D.x2+y2=(x+y)2-2xy解析　3xy-2xy=xy,故选项A中运算正确;x3÷x2=x,故选项B中运算不正确;(x3)2=x6,故选项C中运算正确;x2+y2=(x+y)2-2xy,故选项D中运算正确.故选B.2-2　(2019郑州外国语中学模拟)下列运算正确的是(　C　)A.(a-b)2=a2-b2 B.(2a+1)(2a-1)=4a-1C.(-2a3)2=4a6 D.x2-8x+16=(x+4)22-3　下列运算正确的是(　D　)A.(-x2)3=x5 B.(3-a)-(2-a)=1-2aC.3a2-2a=a D.3a-(-2a)=5a解析　A.原式=-x6,不正确;B.原式=3-a-2+a=1,不正确;C.原式中3a2与-2a不能合并,不正确;D.原式=3a+2a=5a,正确.故选D.方法技巧　1.进行幂的运算时切记不要混淆运算法则,如:同底数幂的乘法法则是底数不变,指数相加,即am·an=am+n(m,n为整数,a≠0),而幂的乘方法则是底数不变,指数相乘,即(am)n=amn(m,n为整数,a≠0).2.在运用积的乘方运算法则时,积中系数的乘方不可漏掉.探究点三　整式的化简求值　　例3　(2019周口二模)先化简,再求值:[(x2+y2)-(x-y)2+2y(x-y)]÷4y,其中x=-4,y=-6.解析　原式=(x2+y2-x2+2xy-y2+2xy-2y2)÷4y=(4xy-2y2)÷4y=x-12y.当x=-4,y=-6时,原式=-4+3=-1.　　3-1　(2017河南名师预测(五))求代数式(x-y)·(x+y)+(x+y)2-2x2的值,其中x,y互为倒数.解析　原式=x2-y2+x2+2xy+y2-2x2=2xy.∵x,y互为倒数,∴xy=1,∴原式=2×1=2.3-2　(2018信阳一模)化简并求值:(m+1)2+(m+1)(m-1),其中m是方程x2+x-1=0的一个根.解析　原式=m2+2m+1+m2-1=2m2+2m,∵m是方程x2+x-1=0的一个根,∴m2+m-1=0,即m2+m=1,∴原式=2(m2+m)=2.3-3　(2019信阳一模)先化简,再求值:(x+y)2+2(x-y)(x+y)+(x-y)2-y2,其中x=3+22,y=3−2.解析　原式=x2+2xy+y2+2x2-2y2+x2-2xy+y2-y2=4x2-y2.当x=3+22,y=3−2时,原式=4×3+222−(3−2)2=3+26+2−(3−26+2)=3+26+2−3+26−2=46.方法技巧　解答此类问题时,要注意整式的混合运算的顺序,在代入求值时,有些题目运用整体代入法更简便.熟记完全平方公式和平方差公式以及整式的运算法则是化简的关键.探究点四　因式分解　　例4-1　(2018信阳一模)分解因式:x2y-xy2=　xy(x-y)　. ▶思路导引　确定公因式提取公因式得出结果　　例4-2　分解因式:2m3-8m=　2m(m+2)(m-2)　. ▶思路导引　先提取公因式再运用平方差公式继续分解直到每个因式不能再分解4-1　(2020河南二模)下列因式分解正确的是(　B　)A.12a2b-8ac+4a=4a(3ab-2c)B.-4x2+1=(1+2x)(1-2x)C.4b2+4b-1=(2b-1)2D.a2+ab+b2=(a+b)2解析　A.原式=4a(3ab-2c+1),不正确;B.原式=(1+2x)(1-2x),正确;C.原式不能分解,不正确;D.原式不能分解,不正确.故选B.4-2　(2020河南一模)下列多项式能用公式法分解因式的有(　C　)①x2-2x-1;②x24-x+1;③-a2-b2;④-a2+b2;⑤x2-4xy+4y2;⑥m2-m+1.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个解析　①x2-2x-1不能用公式法分解因式;②x24−x+1=x2-12,能用公式法分解因式;③-a2-b2不能用公式法分解因式;④-a2+b2=(b+a)(b-a),能用公式法分解因式;⑤x2-4xy+4y2=(x-2y)2,能用公式法分解因式;⑥m2-m+1不能用公式法分解因式.故能用公式法分解因式的有3个.故选C.4-3　(2019南阳二模)若x2+kx+20能在整数范围内分解因式,则k可取的整数值有(　D　)A.2个 B.3个 C.4个 D.6个解析　∵20=1×20,20=(-1)×(-20),20=2×10,20=(-2)×(-10),20=4×5,20=(-4)×(-5),∴k的值可能为1+20=21,-1-20=-21,2+10=12,-2-10=-12,4+5=9,-4-5=-9,∴k可取的整数值有6个.故选D.方法技巧　熟练掌握因式分解的一般方法是解答此类题的关键.一般地,分解因式时,首先考虑是否有公因式,如果有公因式,先提公因式,然后考虑公式法,要分解到每个因式不能再分解为止.一、选择题1.(2019河南期末)已知2 0102 021-2 0102 019=2 010x×2 009×2 011,则x的值为(　B　)A.2 018 B.2 019 C.2 020 D.2 021解析　2 010x×2 009×2 011=2 010x×(2 010-1)×(2 010+1)=2 010x×(2 0102-1)=2 010x+2-2 010x.∵2 0102 021-2 0102 019=2 010x+2-2 010x,∴x=2 019.故选B.2.(2019濮阳一模)下列运算正确的是(　B　)A.m3+m2=m5 B.m5÷m2=m3C.(2m)3=6m3 D.(m+1)2=m2+13.小刚是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,a2-b2分别对应下列六个字:阳、爱、我、濮、游、美,现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是(　C　)A.我爱美 B.濮阳游C.我爱濮阳 D.美我濮阳解析　(x2-y2)a2-(x2-y2)b2=(x2-y2)(a2-b2)=(x+y)(x-y)(a+b)(a-b),则结果呈现的密码信息可能是我爱濮阳.故选C.4.如图,相邻两边长分别为a,b的长方形的周长为14,面积为10,则a3b+ab3+2a2b2的值为(　D　)A.70 B.140C.2 560 D.490解析　根据题意,得2a+2b=14,ab=10,即a+b=7,ab=10.所以a3b+ab3+2a2b2=ab(a+b)2=10×72=490.故选D.5.分解因式4x2-y2的结果是(　C　)A.(4x+y)(4x-y) B.4(x+y)(x-y)C.(2x+y)(2x-y) D.2(x+y)(x-y)二、填空题6.分解因式:a3+2a2+a=　a(a+1)2　. 7.分解因式:a2b-b=　b(a+1)(a-1)　. 三、解答题8.若m+1m=3,求m2+1m2的值.解析　由m+1m=3,可得m+1m2=32,展开,得m2+1m2+2m·1m=9,即m2+1m2=9-2,故m2+1m2=7.9.化简:(a+3)(a-2)-a(a-1).解析　原式=a2-2a+3a-6-(a2-a)=a2-2a+3a-6-a2+a=2a-6.10.(2018河南中招标准模拟(二))先化简,再求值:(a+b)2+3b(a-b)-a2,其中a=3+1,b=3-1.解析　原式=a2+2ab+b2+3ab-3b2-a2=5ab-2b2.当a=3+1,b=3-1时,原式=5×(3+1)×(3−1)−2×(3−1)2=2+43.A组　基础题组一、选择题1.(2020原创)下列计算正确的是(D)A.(-2 020)0=0 B.(-a2b3)4=-a8b12C.a3÷a-1=a2 D.x6÷x2=x4解析　逐项分析如下:2.(2020黑龙江齐齐哈尔)下列计算正确的是(A)A.a+2a=3a B.(a+b)2=a2+ab+b2C.(-2a)2=-4a2 D.a·2a2=2a2解析　a+2a=(1+2)a=3a,故A正确;(a+b)2=a2+2ab+b2,故B错误;(-2a)2=4a2,故C错误;a·2a2=2a3,故D错误.故选A.3.下列运算正确的是(A)A.-[-(-a+1)]=-a+1 B.|10−3|=3−10C.12−3=3 D.a2+a3=a5解析　A选项正确,-[-(-a+1)]=-a+1;B选项错误, |10−3|=10-3;C选项错误,12−3=3;D选项错误,a2与a3不是同类项,不能合并.故选A.4.(2020浙江杭州)(1+y)(1-y)=(C)A.1+y2 B.-1-y2C.1-y2 D.-1+y2解析　(1+y)(1-y)=1-y2.故选C.5.下列因式分解正确的是(D)A.x2-x=x(x+1)B.a2-3a-4=(a+4)(a-1)C.a2+2ab-b2=(a-b)2D.x2-y2=(x+y)(x-y)解析　A.x2-x=x(x-1),故错误;B.a2-3a-4=(a-4)(a+1),故错误;C.a2+2ab-b2不能因式分解,故错误;D.x2-y2=(x+y)(x-y),故正确.故选D.6.(2020郑州期末)把多项式①16x2-8x;②(x-1)2-4(x-1)+4;③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2;④-4x2-1+4x分解因式后,结果中含有相同因式的是(C)A.①和② B.③和④C.①和④ D.②和③解析　①16x2-8x=8x(2x-1);②(x-1)2-4(x-1)+4=(x-1-2)2=(x-3)2;③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2=[(x+1)2-2x]2=(x2+1)2;④-4x2-1+4x=-(2x-1)2.结果中含有相同因式的是①和④.故选C.二、填空题7.(2020郑州期中)若a-b=3,则代数式a2+b2+6(a-b)-2ab的值为　27　. 解析　原式=(a2-2ab+b2)+6(a-b)=(a-b)2+6(a-b)=(a-b)(a-b+6),∵a-b=3,∴原式=3×(3+6)=27.8.(2020周口项城三模)因式分解:x4-16=　(x2+4)(x+2)(x-2)　. 解析　x4-16=(x2+4)(x2-4)=(x2+4)(x+2)(x-2).9.(2020贵州安顺)化简x(x-1)+x的结果是　x2　. 解析　x(x-1)+x=x2-x+x=x2.三、解答题10.(2020原创)先化简,再求值:(x-2y)2-x(2x-3y)-(2y-x)(2y+x),其中x=-12,y=2.解析　(x-2y)2-x(2x-3y)-(2y-x)(2y+x)=x2-4xy+4y2-2x2+3xy-4y2+x2=-xy.当x=-12,y=2时,原式=--12×2=22.B组　提升题组1.(2020浙江衢州)定义a※b=a(b+1),例如2※3=2×(3+1)=2×4=8,则(x-1)※x的结果为　x2-1　. 解析　根据题意得,(x-1)※x=(x-1)(x+1)=x2-1.2.(2020原创)先化简,再求值:(x+y)2+2(x-y)(x+y)+(x-y)2-4y2,其中x,y满足x+y=1,x-y=3.解析　(x+y)2+2(x-y)(x+y)+(x-y)2-4y2=x2+2xy+y2+2x2-2y2+x2-2xy+y2-4y2=4x2-4y2.x+y=1①,x-y=3②,①×②,化简得,x2-y2=3,当x2-y2=3时,原式=4x2-4y2=4(x2-y2)=4×3=12.3.(2020原创)先化简,再求值:(y-2)(y+2)-3y(y-1)+(y-2)2,其中y为y<-103中的最大整数.解析　(y-2)(y+2)-3y(y-1)+(y-2)2=y2-4-3y2+3y+y2-4y+4=-y2-y.y<-103中的最大整数是-4,当y=-4时,原式=-(-4)2-(-4)同底数幂相乘am·an=　am+n　(m,n为整数,a≠0) 同底数幂相除am÷an=　am-n　(m,n为整数,a≠0) 幂的乘方(am)n=　amn　(m,n为整数,a≠0) 积的乘方(ab)n=　anbn　(n为整数,ab≠0) 商的乘方ban= bnan　(n为整数,ab≠0) 零指数幂a0=　1　(a≠0) 负指数幂a-n=1an=1an(a≠0,n为正整数)单项式乘单项式把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式,对于只在一个单项式里出现的字母,则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘多项式用单项式分别去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,如m(a+b+c)=ma+mb+mc　 多项式乘多项式用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加,如(m+n)(a+b)=　ma+mb+na+nb　 单项式除以单项式把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式中出现的字母,则连同它的指数作为商的因式,对于只在除式中出现的字母,取其倒数,作为商的因式多项式除以单项式用多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加选项正误逐项分析A✕(-2 020)0=1≠0B✕(-a2b3)4=a8b12≠-a8b12C✕a3÷a-1=a4≠a2D√x6÷x2=x4