2022-2023学年江苏省苏州市张家港市高三上学期12月阶段性调研数学试题含解析

这是一份2022-2023学年江苏省苏州市张家港市高三上学期12月阶段性调研数学试题含解析，共27页。
张家港市2022-2023学年高三上学期12月阶段性调研
数学
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题~第8题）多项选择题（第9题~第12题）填空题（第13题~第16题）解答题（第17题~第22题）本卷满分150分，考试时间为120分钟考试结束后，请将答题卡交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置。
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚。
一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合，则S∩T=
A． B． S C． T D． Z
2.若，则“a+b≤4”是“ab≤4”
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
3.在平面直角坐标系中，角α以Ox为始边，且。把角α的终边烧端点O按逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是β，则sinβ=
A． B. C． D．
4.若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则k1k2的值为
A． B． 1 C． e D．
5. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B．C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足。由C点测得B点的仰角为，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差约为

A 473 B． 446 C 373 D． 346
6.已知函数，对任意的，有恒成立，则实数k的取值范围为
A．[0，+∞） B． （，+∞） C.[，+∞） D．[，+∞）
7.在△ABC中，，N为线段BC的中点，M为线段AC上靠近点A的三等分点，两条直线AN与BM相交于点P，则·=
A． B． C． D．
8. 在平面直角坐标系xOv中，M为双曲线右支上的一个动点，若点M到直线的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为
A． 1 B． C. 2 D． 2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设，在复平面内z对应的点为Z，则下列条件的点Z的集合是圆的有
A． B．
C． D．
10.在棱长为2的正方体ABCD—中，M为底面ABCD的中心，Q是棱上一点，且，N为线段AQ的中点，则下列命题正确的是

A． CN与QM异面
B． 三棱锥A—DMN的体积跟λ的取值无关
C．不存在λ使得
D． 当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的面积为
11.已知f（x）是定义在R上周期为4的偶函数，且，则
A． f（x）关于直线对称 B． g（x）关于点（2，0）中心对称
C．g6=0 D．
12.设函数fx=sinωx+π5（ω>0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，下述四个结论正确的是
A． f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点
B． f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点
C．ω的取值范围是[，）
D． f（x）在（0，）上单调递增
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 已知函数为偶函数，则不等式的解集为 。
14.已知直线是圆C：x2+y2−2x−4y+1=0的对称轴，过点A（—3，a）作圆C的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN的方程是___________。
15.在四边形ABCD中，AB=BC=1，∠ABC=90∘，△ACD为等边三角形，将△ACD沿边AC折起，使得，则三棱锥D—ABC外接球的体积为___________。
16.已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是F1、，过点F1且斜率为k的直线与圆交于A，B两点（点B在x轴上方），线段F1B与椭圆交于点M，延长线与椭圆交于点N，且|AM|=|BF1|，|MF2|=2|F2N|，则椭圆的离心率为___________，直线AF1的斜率为___________。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17（10分）已知数列{}的前n项和为，且，数列{bn}满足bn=3bn−1+2n≥2，且b1=a1+1。
（1）求数列{}和{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}满足Cn=anbn+1，求数列{cn}的前n项和Tn。
18.（1）共享汽车，是指许多人合用一辆车，即开车人对车辆只有使用权，而没有所有权，有点类似于在租车行业里的短时间的租车。它手续简便，打个电话或通过网上就可以预约订车某市为了了解不同年龄的人对共享汽车的使用体验，随机选取了100名使用共享汽车的体验者，让他们根据体验效果进行评分
（1）设消费者的年龄为x，对共享汽车的体验评分为y若根据统计数据，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为y=1.5x+15，且年龄x的方差为Sx2=9，评分y的方差为Sy2=25。求y与x的相关系数r，并据此判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性强弱（当时，认为相关性强，否则认为相关性弱）；
（2）现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”。整理得到如下数据，请将列联表补充完整并判断是否有99.9%的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关。

好评
差评
合计
青年
16


中老年

12

台计

44
100
附：回归直线的斜率
相关系数
独立性检验中的k2=nad−bc2a+ba+cb+dc+d，其中。
临界值表：
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.001

3.84
6.635
10.828

19．（1）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcosC+3bsinC=a+c。
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC的面积S的取值范围。
20.（1）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点
（1）若平面ABM与棱PC交于点N，求证：N是PC的中点；
（2）求二面角A—PC—D的正切值。

21.（1）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的方程为，直线l经过抛物线的焦点F与抛物线交于点A，B，经过点A和抛物线顶点O的直线交抛物线的准线于点D。
（1）①求OA．OB的斜率之积；②求|OA|·|OB|的取值范围；
（2）求证：直线BD平行于抛物线的对称轴。
22.（1）已知函数fx=−x2+a−2x+a−3cx（x>0）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，，记hx1x2=fx1f（x2），求h（x1，x2）的取值范围。











张家港市2022-2023学年高三上学期12月阶段性调研
数学 答案解析
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题~第8题）多项选择题（第9题~第12题）填空题（第13题~第16题）解答题（第17题~第22题）本卷满分150分，考试时间为120分钟考试结束后，请将答题卡交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置。
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚。
一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合，则S∩T=
A． B． S C． T D． Z
【答案】C
【解析】，选C
2.若，则“a+b≤4”是“ab≤4”
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】“a+b≤4”时，则ab≤4，充分
“”时，取，则，不必要，选A。
3.在平面直角坐标系中，角α以Ox为始边，且。把角α的终边烧端点O按逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是β，则sinβ=
A． B. C． D．
【答案】B
【解析】，选B
4.若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则k1k2的值为
A． B． 1 C． e D．
【答案】B
【解析】直线l1过定点A（—1，—1）是的切线，切点设为B（x1，e x1），，∴切线过A（—1，—1），∴，∴，直线l2过定点A（—1，—1）是的切线，切点为和为C（x2，lnx2），，∴切线：过A（—1，—1），
∴，∴，则
令，f（x）在（1，+∞），，选B。
5. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B．C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足。由C点测得B点的仰角为，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差约为

A 473 B． 446 C 373 D． 346
【答案】C
【解析】如图过C作，垂足为D，过B作，垂足为E。

Rt△BCD中，，∴，
∴，∴，∴，
∴
，选C
6.已知函数，对任意的，有恒成立，则实数k的取值范围为
A．[0，+∞） B． （，+∞） C.[，+∞） D．[，+∞）
【答案】D
【解析】有，∴
∴
恒成立，
∴，选D。
7.在△ABC中，，N为线段BC的中点，M为线段AC上靠近点A的三等分点，两条直线AN与BM相交于点P，则·=
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，

∵B，P，M三点共线，∴，则，选A。
8. 在平面直角坐标系xOv中，M为双曲线右支上的一个动点，若点M到直线的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为
A． 1 B． C. 2 D． 2
【答案】B
【解析】双曲线，渐近线：
与的距离，则，即，选B。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设，在复平面内z对应的点为Z，则下列条件的点Z的集合是圆的有
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】令
对A，表示圆，A对。
对B，，则，则不是圆，B错。
对于C，，则
化简得表示圆，C对。
对于D，表示线段，D错。
10.在棱长为2的正方体ABCD—中，M为底面ABCD的中心，Q是棱上一点，且，N为线段AQ的中点，则下列命题正确的是

A． CN与QM异面
B． 三棱锥A—DMN的体积跟λ的取值无关
C．不存在λ使得
D． 当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的面积为
【答案】BD
【解析】连AC，CQ，则M，N分别为AC，AQ的中点，MN为△AQC的中位线。

∴，则CN，QM共面，A错。
为定值，B对。
如图建系（0，0，2），A1（2，0，2），，则Q（2λ，0，2）
，
，C错。
截面如图所示，图形ACFQ，过Q作AC的垂线 垂足为G。

，
∴，D对。
11.已知f（x）是定义在R上周期为4的偶函数，且，则
A． f（x）关于直线对称 B． g（x）关于点（2，0）中心对称
C．g6=0 D．
【答案】BC
【解析】fx+4=fx=f−x，∴f（x）关于对称，A错。
f'x+4=−f'−x，即gx+4=−g−x，∴gx+4+g−x=0，
即g（x）关于（2，0）对称，B对。
，∴f'x+4=f'x，即gx+4=gx，gx的周期为4，
g6=g2=0，C对。
无法判断g（1）是否为0，D错，选BC。
12.设函数fx=sinωx+π5（ω>0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，下述四个结论正确的是
A． f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点
B． f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点
C．ω的取值范围是[，）
D． f（x）在（0，）上单调递增
【答案】BCD
【解析】，则π5≤ωx+π5≤2πω+π5，f（x）有4个零点，
则，，C对
f（x）有两个极小值点，2个或3个 极大值点，A错，B对
，，，
∴f（x）在（0，），D对，选BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 已知函数为偶函数，则不等式的解集为 。
【答案】
【解析】为偶函数，则为奇函数在R上，，则
∴，∴或
14.已知直线是圆C：x2+y2−2x−4y+1=0的对称轴，过点A（—3，a）作圆C的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN的方程是___________。
【答案】
【解析】圆，圆心C（1，2），半径为2，l是圆C的对称轴，则，∴，A（—3，—1），过A作圆的切线，切点为M，N，切点弦MN：−3−1x−1+−1−2y−2=4，即。
15.在四边形ABCD中，AB=BC=1，∠ABC=90∘，△ACD为等边三角形，将△ACD沿边AC折起，使得，则三棱锥D—ABC外接球的体积为___________。
【答案】
【解析】取AC中点M，连BM，DM。

BM=22，DM=32·2=62，BD=3，
cos∠DBM=12+3−322×22×3=63，sin∠DBM=33
过D作平面ABC的垂线，垂足为N，∴DN=3×33=1，BN=2，MN=22
设外接球半径为R，则OM2+12=R21−OM2+12=R2，则R=32，V=43πR3=3π2
16.已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是F1、，过点F1且斜率为k的直线与圆交于A，B两点（点B在x轴上方），线段F1B与椭圆交于点M，延长线与椭圆交于点N，且|AM|=|BF1|，|MF2|=2|F2N|，则椭圆的离心率为___________，直线AF1的斜率为___________。
【答案】53；12
【解析】取中点G，则由|AM|=|BF1|⇒AF1=BM，且由F1G=GM⇒AG=GB，∴G为AB中点，∴，又∵O为F1F2中点，∴OG∥MF2⇒MF1⊥MF2，设F2N=x，∴MF2=2x，∴MF1=2a−2x，NF1=2a−x。
在Rt△MF1N中，2a−2x2+9x2=2a−x2⇒−8ax+13x2=−4ax+x2⇒x=a3，
∴MF1=43a，MF2=2a3。在Rt△MF1F2中，169a2+4a29=4c2
⇒椭圆离心率，图中kAB=tanθ=23a43a=12θ=∠MF1F2，
当AB斜率为负时，画图知显然不满足，舍去。

综上应填：；。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17（10分）已知数列{}的前n项和为，且，数列{bn}满足bn=3bn−1+2n≥2，且b1=a1+1。
（1）求数列{}和{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}满足Cn=anbn+1，求数列{cn}的前n项和Tn。
【解析】
（1）当时，，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−n−12=2n−1，
因为符合，所以。
因为bn=3bn−1+2n≥2，所以（bn+1=3bn−1+1n≥2，
又b1=a1+1=2，所以bn−1+1≠0，所以bn+1bn−1+1=3n≥2，
所以数列bn+1是首项为3，公比为3的等比数列。
所以bn=3⋅3n−1−1=3n−1。
（2）Cn=anbn+1=2n−13n，
Tn=1×3+3×32+5×33+⋯+2n−1×3n
3Tn=1×32+3×33+5×34+⋯+2n−1×3n+1
−2Tn=1×3+2×32+2×33+⋯+2×3n−2n−1×3n+1
=−3+23+32+⋯+3n−2n−1×3n+1=−3+2×31−3n1−3−2n−1×3n+1
=−6+3n+1−2n−1×3n+1=−6+2−2n×3n+1，
所以Tn=n−1×3n+1+3
18.（1）共享汽车，是指许多人合用一辆车，即开车人对车辆只有使用权，而没有所有权，有点类似于在租车行业里的短时间的租车。它手续简便，打个电话或通过网上就可以预约订车某市为了了解不同年龄的人对共享汽车的使用体验，随机选取了100名使用共享汽车的体验者，让他们根据体验效果进行评分
（1）设消费者的年龄为x，对共享汽车的体验评分为y若根据统计数据，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为y=1.5x+15，且年龄x的方差为Sx2=9，评分y的方差为Sy2=25。求y与x的相关系数r，并据此判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性强弱（当时，认为相关性强，否则认为相关性弱）；
（2）现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”。整理得到如下数据，请将列联表补充完整并判断是否有99.9%的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关。

好评
差评
合计
青年
16


中老年

12

台计

44
100
附：回归直线的斜率
相关系数
独立性检验中的k2=nad−bc2a+ba+cb+dc+d，其中。
临界值表：
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.001

3.84
6.635
10.828
【解析】
（1）因为，所以，
因为，所以，
因为，
所以，
所以相关系数，
因为0.9>0.75，所以可以判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性很强
（2）根据题意可得列联表如下：

好评
差评
合计
青年
16
32
48
中老年
40
12
52
合计
56
44
100
因为K2=10016×12−32×40216+3216+4032+1240+12≈19.25>10.828，所以有99.9%的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关。
19．（1）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcosC+3bsinC=a+c。
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC的面积S的取值范围。
【解析】
（1）∵bcosC+3bsinC=a+c，由正弦定理，
边化角得
，
，
，

∴2sinB−π6=1
又B−π6∈−π65π6，所以B−π6=π6，即。
（2）∵，∴，即A=2π3−C，又，
∴由正弦定理得a=csinAsinC=2sin（2π3−C）sinC=3cosC+sinCsinC=3sinC+1，
∴SΔABC=12acsinB=asinπ3=323tanC+1，
∵△ABC为锐角三角形，∴ ，解得
从而
20.（1）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点
（1）若平面ABM与棱PC交于点N，求证：N是PC的中点；
（2）求二面角A—PC—D的正切值。

【解析】
（1）∵底面ABCD为正方形，∴，
∵AB面PCD，DC面PCD，∴AB∥面PCD，
∵AB面ABM，平面ABM与面PCD交于直线MN，∴，
∵，∴，
由M是PD的中点，得N是PC的中点
（2）方法一：∵底面ABCD为正方形，∴
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面，CD底面ABCD．
∴CD⊥面PAD，∵AM面PAD，∴CD⊥AM。
∵面PAD是正三角形，M是PD的中点，∴，
而CD∩PD=D，CD，PD面PCD，∴AM⊥面PCD ,
在△PCD内过M作MH⊥PC于点H，连接AH，
由AM⊥面PCD，PC面PCD，所以AM⊥PC。
由MH⊥PC，AM∩MH=M，所以PC⊥平面AMH，
又AH平面AMH，所以PC⊥AH。
所以∠AHM为二面角的平面角，∴tan∠AHM=AMMH，
由，则AM=3，MH=22PM=22，
∴tan∠AHM=AMMH=322=6。
方法二
建系如图所示，

AP=013，AC=220，平面APC的一个法向量n=（3，−3，1）；
CP=−2−13，DP=（0，−1，3），平面APC的一个法向量m=031；cosmn=−17，tanθ=6。
21.（1）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的方程为，直线l经过抛物线的焦点F与抛物线交于点A，B，经过点A和抛物线顶点O的直线交抛物线的准线于点D。
（1）①求OA．OB的斜率之积；②求|OA|·|OB|的取值范围；
（2）求证：直线BD平行于抛物线的对称轴。
【解析】解析一
（1）设A[y122p，y1），B[y222p，y2），所以直线AB的方程为2px−y1+y2y+y1y2=0，因为直线l过焦点（，0），所以，
①，所以OA，OB的斜率之积为—4。
②

所以的取值范围是[5p24，+∞）
（2）直线OA的方程是y=2py1x，抛物线的准线为，所以D（—，—p2y1），又yB=y2=−p2y1，所以yB=yD
所以直线BD平行于抛物线的对称轴。
解析二：（1）①设直线l方程为，A（x1，y1），B（x2，），
，
∴y1y2=−p2，x1x2=y122p·y122p=p24
∴
②，
∴OA=1+y124p2y1·1+y224p2y2=p21+116+14p2y12+y22
≥p21+116+14p2⋅2|y1y2|=54p2
当且仅当时取“=”，即轴时取“=”。
∴|0A|·|OB|取值范围为[54p2，+∞）。
（2）OA方程y=2py1x，令x=−p2⇒yD=−p2y1=y2，∴BD∥x，证毕！
22.（1）已知函数fx=−x2+a−2x+a−3cx（x>0）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，，记hx1x2=fx1f（x2），求h（x1，x2）的取值范围。
【解析】解析一
（1）f（x）的定义域为（0，+∞），对f（x）求导得：
f'x=ex−2x+a−2−ex−x2+a−2x+a−3e2x=x2−ax+1ex,
令gx=x2−ax+1，x>0
（i）若，则，即，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增。
（ji）若a>0，g0=1
①当时，即，则，即，所以f（x）在（0.+∞）上单调递增。
②当时，即，由，得x=a±a2−42，
当时，
当时，
综上所述，当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a>2时，fx在0a−a2−42，a+a2−42+∞上单调递增，在上单调递减。
（2）由（1）知，f（x）存在两个极值点当且仅当。
由于f（x）的两个极值点，满足，所以x1x2=1，x1+x2=a，
所以fx1=−x12+a−2x1+a−3ex1=a−2−2x1ex1，
同理fx2=−x22+a−2x2+a−3ex2=a−2−2x2ex2，
hx1x2=fx1fx2=a−2−2x1ex1⋅a−2−2x2ex2
，
所以，
令，所以，
所以在（2，4）上单调递减，在（4，+∞）上单调递增
因为ϕ2=4e2，ϕ4=−8e4，且当a→+∞时，
所ϕa∈−8e4，4e2），所以h（x1，）的取值范围是。
解析二：
（1），
∵，当时，在（0，+∞）上；
当时，令f'x=0⇒x2−ax+1=0，x=a±a2−42
，

（2）∵f（x）存在两个极值点x1、，∴由（1）知，且x1+x2=ax1x1=1




在（2，4）上；（4，+∞）上，
当时，
即的取值范围为。