2022-2023学年辽宁省辽阳市高三上学期12月月考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年辽宁省辽阳市高三上学期12月月考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
辽阳市2022-2023学年高三上学期12月月考 数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．在数列中，“数列是等比数列”是“”的（    ）A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件3．若函数有零点，则a的取值范围为（    ）A． B． C． D．4．在△ABC中，，，若，则（    ）A． B． C． D．5．已知某容器的高度为30cm，向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为．当时，液体上升高度的瞬时变化率为2e cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ）A． B． C． D．6．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，△PAB是边长为2的等边三角形，E，F分别是棱PD，PC上的动点，则的最小值是（    ）A． B． C． D．7．若函数的定义域为，且对任意，恒成立，则称函数为“同步”函数．已知是“同步”函数，则a的取值范围是（    ）A． B． C． D．8．如图，某几何体由两个相同的圆锥组成，且这两个圆锥有一个共同的底面，若该几何体的表面积为，体积为V，则的最大值为（    ）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知非零复数（a，，且），是z的共轭复数，则下列各项中，结果是实数的是（    ）A． B． C． D．10．已知三棱锥P－ABC的棱PA，AB，AC两两垂直，PA＝AC＝2，AB＝4，D为AB的中点，E在棱BC上，且平面PDE，则（    ）A． B．PC与平面ABC所成的角为45°C．三棱锥P－ABC外接球的表面积为 D．点A到平面PDE的距离为11．已知函数，则（    ）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．在上单调递增D．在上的零点个数是404112．已知，，，则（    ）A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，若，则______．14．若，，则______．15．已知正数a，b满足，则的最小值为______．16．对正整数n，函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．此函数以其首名研究者欧拉命名，故被称为欧拉函数．根据欧拉函数的概念，可得______，数列的前n项和______．（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若，且AC边上的高为，求△ABC的周长．18．（12分）已知函数的图象关于点对称．（1）求，m的值；（2）将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．19．（12分）设正项数列的前n项和为，且．（1）求的通项公式；（2）若是首项为5，公差为2的等差数列，求数列的前n项和．20．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性．（2）试问曲线是否存在经过坐标原点且斜率不为0的切线？若存在，求切点的横坐标；若不存在，说明你的理由．21．（12分）如图，在三棱柱中，，四边形是菱形，，点D在棱上，且．（1）若，证明：平面平面ABD．（2）若，是否存在实数，使得平面与平面ABD所成角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数．（1）当时，证明：．（2）若，求的单调区间．（3）若，求k的取值范围．       高三考试数学试卷参考答案1．B  由题意可得，则，故．2．A  由是等比数列，得，反之不成立，则“数列是等比数列”是“”的充分不必要条件．3．D  因为为增函数，所以解得．4．B  因为，所以，则，又，所以，故．5．C  ，当时，，解得，故当时，液体上升高度的瞬时变化率为．6．C  如图，将平面PAD，PCD，PBC展开到一个平面内，由题意可知，，则，，从而，故．在△PAB中，由余弦定理可得，即．7．C  由题意可知是增函数，则解得．8．A  设其中一个圆锥的底面半径为r，高为h，则，则，得，所以，令，设，则．若，；若，．故，即的最大值为．9．AB  由题意可得，则，，，．10．ABD  因为平面PDE，平面ABC，平面平面，所以，因为D为AB的中点，所以E为BC的中点，则，A正确．因为PA，AB，AC两两垂直，所以可证AC⊥平面PAB，又，所以DE⊥平面PAB，从而可证平面PDE⊥平面PAB，所以点A到平面PDE的距离即点A到PD的距离，通过计算可以求得A到PD的距离为，D正确．依题意可得PC与平面ABC所成的角为，B正确．三棱锥P－ABC可补形得到一个长方体，所以三棱锥P－ABC外接球的半径，所以三棱锥P－ABC外接球的表面积为，C错误．11．BCD  ．结合图象可知的最小正周期为，其图象关于直线对称，则A错误，B正确．当时，．因为，所以，则在上单调递增，故C正确．因为，且是偶函数，当时，有2020个零点，所以在上的零点个数是，故D正确．12．ABC  设，则．当时，，则在上单调递增．当时，，则在上单调递减．故．因为，，，所以，，即，，则A，B正确．因为，令，则，从而．，令，则，，从而在上单调递增，故，即，即．因为，所以，所以，所以．令，则．因为，所以，所以，即，则C正确，D错误．13．－5  由题意可得，则，解得．14．  因为，所以，又，所以，故．15．9  由题意可得，则，当且仅当时，等号成立．16．252；  因为，所以不大于441的数中，能被i（i＝3，7）整除的数与441都不互质，所以．因为除了7的倍数外，其他数都与互质，所以，则，所以，所以，故．17．解：（1）因为，所以，所以，解得或（舍去），则，故．（2）因为，所以，，由三角形面积公式可得，则，故．由余弦定理可得，则，解得．从而，，，故△ABC的周长为．18．解：（1），依题意可得，，，则，．（2）由（1）知，则．当时，，则，故在上的值域为．19．解：（1）因为，所以，所以，即，所以．因为，所以，即．当时，，解得或（舍去），则是首项为2，公差为1的等差数列，故．（2）由（1）可得．因为是首项为5，公差为2的等差数列，所以，则，故．20．解：（1）．因为，所以的根为，．当时，在上单调递减，在，上单调递增．当时，，在R上单调递减．当时，，在上单调递增，在，上单调递减．当时，，在上单调递增，在，上单调递减．（2）假设曲线存在经过坐标原点且斜率不为0的切线，并设切点的横坐标为m，斜率为k，则消去k，得，解得或．当时，，所以；当，即时，．综上，当时，曲线不存在经过坐标原点且斜率不为0的切线，当且时，曲线存在经过坐标原点且斜率不为0的切线，且切点的横坐标为．21．（1）证明：取AB的中点O，连接，OC．因为四边形是菱形，且，所以．因为O为AB的中点，所以．因为，且O为AB的中点，所以AB⊥OC．因为，平面，且，所以AB⊥平面．因为平面，所以．因为，AB，平面ABD．且，所以平面ABD．因为平面，所以平面平面ABD．（2）解：因为，所以，所以AC⊥BC．因为O是AB的中点，所以．因为四边形是菱形，且∠，所以是等边三角形．因为O是AB的中点，所以．因为，所以，则OB，OC，两两垂直，故以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，故，，，．因为，所以，所以．设平面的法向量为，则令，得．设平面ABD的法向量为，则令，得．设平面与平面ABD所成的角为，则，解得或，故存在或，使得平面与平面ABD所成角的余弦值是．22．（1）证明：当时，，，则．当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，即．（2）解：因为，所以，．由（1）知，当时，，当时，，故的单调递增区间为，单调递减区间为．（3）解：．令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故．令，则等价于．因为，所以等价于．令，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则．故k的取值范围为．