2023届河北省张家口市第一中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2023届河北省张家口市第一中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河北省张家口市第一中学高三上学期10月月考数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】先求出集合A，B，，再利用集合并集运算即求出.【详解】集合，，，.故选：C.2．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.详解：的共轭复数为对应点为，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.3．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（　　）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量的加法减法运算即可求解.【详解】依题意，，故选：B4．“”是“对任意的正数，”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】分析：当 对任意的正数恒成立时，可得，由，所以当时，，此时.所以“”是“对任意的正数，”的充分不必要条件.故选A5．在等比数列中，有，数列是等差数列，且，则等于（　　）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据等比数列性质求得，再由等差数列性质求解．【详解】∵是等比数列，∴，，所以，即，∵是等差数列，所以．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的性质，掌握等差数列和等比数列的性质是解题关键，设是正整数，，若是等差数列，则，若是等比数列，则．时，上述结论也成立．6．若函数的最小正周期为，则图象的一条对称轴为A． B． C． D．【答案】D【分析】先由最小正周期求出，再令可得对称轴方程，从而可得选项.【详解】因为，所以，又函数的最小正周期为，解得.，令，解得，取，可得图象的一条对称轴为.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的周期性和对称轴.对于函数，最小正周期为，令可得对称轴方程，属于基础题.7．向量，满足，，，则在方向上的投影为（    ）A．-1 B． C． D．1【答案】B【解析】根据题条件，先求出，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果.【详解】因为向量，满足，，，所以，即，则，所以在方向上的投影为.故选：B.8．已知函数，若等差数列的前项和为，且，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】分析出函数为上的奇函数且为增函数，由，推导出，利用等差数列的求和公式可求得的值.【详解】对任意的，，所以，函数的定义域为，，所以，函数为奇函数，当时，由于内层函数为增函数，外层函数也为增函数，所以，函数在上为增函数，由于函数为奇函数，则该函数在上也为增函数，因为函数在上连续，所以，函数在上为增函数，因为，，可得.因此，.故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查等差数列求和，利用函数在上的单调性与奇偶性推导出是求解的关键. 二、多选题9．等差数列的前n项和记为，若，，则（    ）A． B．C． D．当且仅当时，【答案】AB【解析】根据等差数列的性质及可分析出结果.【详解】因为等差数列中，所以，又，所以，所以，，故AB正确，C错误；因为，故D错误，故选：AB【点睛】关键点睛：本题突破口在于由得到，结合，进而得到，考查学生逻辑推理能力.10．下列各函数中，最小值为的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【解析】通过可知A错误；根据对号函数性质可知B，D错误；根据二次函数性质知C正确.【详解】对于A，当时，，不是最小值，A错误；对于B，，（当且仅当，即时取等号），B正确；对于C，由二次函数性质知：当时，，C正确；对于D，，，由对号函数性质知：，，D错误.故选：BC【点睛】易错点睛：本题考查利用基本不等式和对号函数性质求解函数最值的问题，易错点是盲目利用基本不等式求解函数最值，忽略基本不等式应用条件：一正二定三相等.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11．已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ）A． B．的图象关于点对称C．的图象关于对称 D．在上的最大值是1【答案】ABC【解析】先由最小正周期求出，再根据函数的变换求出，结合三角函数的性质即可判断.【详解】因为最小正周期为，，解得，，将的图象向左平移个单位长度得，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得，即，则，故A正确；，的图象关于点对称，故B正确；，的图象关于对称，故C正确；当时，，则，即，故在上的最大值为，故D错误.故选：ABC.【点睛】结论点睛：判断对称轴和对称中心的方法：对于，若函数满足，则关于点对称；若函数满足，则关于对称.12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ）A．是偶函数 B．是奇函数C．在上是增函数 D．的值域是【答案】BC【解析】计算得出判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证是奇函数，选项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项C正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，选项D不正确，即可求得结果.【详解】根据题意知，.∵，，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；，∴是奇函数，B正确；在R上是增函数，由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；，，， ，，D错误.故选：BC.【点睛】关键点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数，然后才会对函数变形，并作出判断. 三、填空题13．函数在其极值点处的切线方程为____________.【答案】【详解】，令，此时函数在其极值点处的切线方程为【解析】：导数的几何意义. 14．已知，且，则的值为_______.【答案】【分析】根据求出，再利用二倍角公式和两角差的正弦公式化简原式即可求得．【详解】由题意，，又，所以，则，所以，故答案为：15．正项等比数列满足，且，，成等差数列，设，则取得最小值时的值为____.【答案】2【分析】正项等比数列的公比设为，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，可得，再由指数的运算性质和等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，可得所求最小值时的值.【详解】解：正项等比数列的公比设为，，可得，，，成等差数列，可得，即，解得（舍去），，则，，则，由，当或，取得最小值.故答案为： 2.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，以及指数的运算性质，等差数列的求和公式，以及二次函数的最值求法，考查化简运算能力，属于中档题.16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为__________．【答案】16【解析】由可推出，即，故利用基本不等式，结合“乘1法”即可求出的最值.【详解】由题可知，则由角平分线性质和三角形面积公式可得：，化简得，即，所以，当且仅当即时，取等号.故答案为：.【点睛】思路点睛：利用基本不等式破解三角形中的最值问题时，当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值. 四、解答题17．已知等差数列的公差它的前项和为，若且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：.【答案】（1）；（2）见解析.【分析】（1）等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d和前n项和公式Sn＝＝na1＋中，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，这五个量中知其中三个就能求另外两个，解题中要注意方程思想的运用．（2）利用，通过裂项相消法即可【详解】（1）由题意得解得（2）【解析】数列通项及求和的简单应用18．已知向量，，函数．（1）若，求的取值范围；（2）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据向量数量积公式与三角恒等变换公式，化简得，再由利用正弦函数的图象与性质，可得的取值范围；（2）根据的表达式化简（B），算出．再根据已知条件利用正弦定理算出，结合得出，由三角形内角和定理算出，得到是以为直角顶点的直角三角形，可得的面积．【详解】（1）向量，．由此可得函数，又，得．，即的取值范围是；，（B），又，，，可得．，根据正弦定理，可得，由得，所以，因此，可得是以为直角顶点的直角三角形，的面积．【点睛】方法点睛：三角恒等变换方法：三看（看角、看名、看式）→三变（变角、变名、变式）（1）“变角”主要指把未知的角向已知的角转化，把未知的角变成已知角的和差，或者变成已知角与特殊角的和差.是变换的主线，如, ,,等.（2）“变名”指的是“切化弦”（正切余切化成正弦余弦.（3）“变式”指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、辅助角公式展开和合并等..19．已知函数，其中(1)若函数的极小值为0，求实数m的值；(2)当时，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求导，利用极小值的定义求解； （2）结合（1）的结论，由求解 .【详解】（1）解：，由，得或当或时，；当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以在时取到极小值．由，解得（2）由（1）知，函数在，上单调递增，在上单调递减，又，所以区间上的最小值为由恒成立，知，即所以20．如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.（1）求B；（2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD的面积【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据正弦定理化简即可．（2）在，利用余弦定理求出，已知，可得，再余弦定理求出，即可和面积，可得四边形的面积．【详解】解：（1）由正弦定理得，得.因为，所以，即.（2）在中AB=2，BC=3，，，解得.在中，，A，B，C，D在圆上，因为，所以，所以，解得或（舍去），所以四边形ABCD的面积.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.21．已知数列中，.(1)证明数列是等比数列并求数列的通项公式；(2)若数列的通项公式，数列满足，记数列的前项和为.【答案】(1)证明见解析，(2) 【分析】（1）对递推式变形，利用等比数列的定义证明即可；（2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）因为，所以.所以，且.所以数列是以为首项，3为公比的等比数列.因此，从而.（2）由（1）得，所以①，②，由①-②得，所以.22．设，函数.（1）求函数的单调区间；（2）设，若有两个相异零点，，且，求证：.【答案】（1）当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）证明见解析.【分析】（1）求导，分，两种情况讨论导函数正负，即得解；（2）由，构造，结论，可转化为，构造函数，分析单调性研究单调性，即可证.【详解】（1），，当时，，函数在区间上是增函数；当时，令，解得，则函数在区间上是减函数，在区间上是增函数.综上得：当时，函数的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）由题意得，.因为，是方程的两个不同的实数根，所以，两式相减得，解得.要证：，即证：，即证：，即证：，令（因为），则只需证.设，∴；令，∴，在上为减函数，∴，∴，在为增函数，.即在上恒成立，∴.【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.