2023届江苏省南京市第一中学高三上学期9月质量检测数学试题含解析

这是一份2023届江苏省南京市第一中学高三上学期9月质量检测数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届江苏省南京市第一中学高三上学期9月质量检测数学试题 一、单选题1．设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解不等式 ，再根据交集的定义求解即可.【详解】由题意： ，解得 ， ；故选：B.2．已知，则“”是“是直角三角形”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件，必要条件的定义结合条件即得.【详解】∵A为的内角，∴，∴当时，，∴充分性成立；反过来，若是直角三角形，则A不一定是直角，∴必要性不成立.故选：A.3．已知，向量在向量上的投影为，且，则向量与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量在向量上的投影求出，结合，求出，利用向量夹角余弦公式求出，得到向量与的夹角.【详解】依题意，，，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴.故选：B.4．已知函数在处有极值，则的最小值为（    ）A．2 B． C． D．4【答案】B【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得.【详解】由，得，所以，即，由题意，得，当且仅当，即，时，取等号.故选：B.5．已知且，则（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件判断出角 所在的象限，再运用同角关系算出 即可.【详解】由题意 ， ， 角在第四象限， ；故选：A.6．已知数列满足，，设 ，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意求得，则可得，根据其单调性可得，化简可得恒成立，即可求得答案.【详解】由题意数列满足，可知，是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 ，所以,因为数列是递增数列，所以 ，对于任意的恒成立，即,即恒成立 ,因为时,取得最小值3 ，故 ，即实数的取值范围是 ，故选：A,7．函数的部分图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数的奇偶性排除B，利用排除AC，即可得解.【详解】函数的定义域关于原点对称，且，故函数是偶函数，则排除B，又，则排除AC；故选：D8．设，，，则的大小关系正确的是（    ）．A． B．C． D．【答案】C【分析】观察，构造函数约定，求导证明函数在是增函数，根据可以判断；同时令构造函数约定，利用导数判断函数在亦是增函数，根据可得，进而得到.【详解】由，，令，构造函数，，则，因为，所以得，下面说明，因为，所以，即，所以，所以当时，，所以在是增函数，因为，所以，即，整理可得，即，因为，，令，构造函数，，则，令，则，故在是增函数，所以 ，所以在是增函数，所以，即，所以，即，综上，.故选：C.【点睛】关键点点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键. 二、多选题9．下列命题正确的是（    ）A．已知，都是正数，且，则B．若，，，则“”的充要条件是“”C．命题“使得”的否定是真命题D．“且”是“”的充要条件【答案】AC【分析】利用不等式的性质判断A；利用不等式的性质、充分条件、必要条件、充要条件的定义判断BD；利用否命题判断C．【详解】对于A，，都是正数，且，，，故A选项正确；对于B，由得，但若，则推不出，如当时，，“”的充分不必要条件是“”，故B错误；对于C，命题“使得”是假命题，该命题的否定是真命题，故C正确；对于D，由且可得，但若推不出且，例如，，且是的充分不必要条件，故D错误．故选：AC．10．在中，角,,所对的边分别为,,，下列四个命题中，正确的命题为（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则这个三角形有两解【答案】BCD【分析】对于A选项，利用余弦定理即可判断；对于B选项，先解得，，，再利用正弦定理即可求解；对于C选项，利用边角关系定理以及正弦定理即可判断；对于D选项，利用正弦定理，再结合边角关系定理即可判断.【详解】对于A，因为，则所以，故A错误;对于B, 若，又，则，，则，故B正确;对于C，若，则由正弦定理可得（为的外接圆半径）所以，故C正确;对于D, 由正弦定理得,所以,由得,所以为锐角或钝角，有两解，故D正确.故选: BCD11．声音是由物体振动产生的声波，其中包含若正弦函数，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的个数有（    ）A．的图象关于直线对称 B．在上是增函数C．的最大值为 D．若，则【答案】BD【分析】利用对称性定义推理判断A；由与在上单调性判断B；借助导数求出在周期长的区间上的最大值判断C；由在周期长的区间上的最大最小值判断D作答.【详解】对于A，因，则的图象关于对称，不关于对称，A错误；对于B，因与在上都是增函数，则在上是增函数，B正确；对于C，因，即是奇函数，又与的最小正周期分别为与，则的正周期为，当时，，令，得，即，当时，，当时，，则在上递增，在上递减，因此，在上的最大值为，由是奇函数得在上的最大值为，由的正周期为，则在R上的最大值为，C错误；对于D，由选项C得，，，，又，则，所以当时，，D正确．故选：BD12．设函数的定义域为，且满足，当时，.则下列说法正确的是（    ）A．B．当时，的取值范围为C．为奇函数D．方程仅有4个不同实数解【答案】BC【分析】A选项，根据，推导出，所以的周期为8，得到，A错误；B选项，根据函数性质求出，，当时，，从而确定的取值范围；C选项，根据得到关于中心对称，从而关于原点中心对称，即为奇函数；D选项，画出与的图象，数形结合求出交点个数，即可求出方程的根的个数.【详解】因为，所以，因为，故，所以，即，所以，所以，所以的周期为8，因为，所以因为，所以，因为时，，所以，故，A错误；当，，所以，当，，，所以，综上：当时，的取值范围为，B正确；因为，所以关于中心对称，故关于原点中心对称，所以为奇函数，C正确；画出与的图象，如下：因为所以两函数图象共有5个交点，所以方程仅有5个不同实数解，D正错误.故选：BC 三、填空题13．若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是_____________．【答案】【分析】根据给定条件，利用一元二次方程有实根列式求解作答.【详解】命题“，”为存在量词命题，且为真命题，即方程有实根，因此，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：14．若，则________．【答案】【分析】结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.【详解】∵，故答案为：15．已知等差数列的前项利为，若，，1成等比数列，且，则的公差的取值范围为______．【答案】【分析】由条件结合等比数列定义，等差数列通项公式和前项和公式可得含的不等式，解不等式可求的取值范围.【详解】因为，，1成等比数列，所以，所以，即，即．由，得，解得，即的公差的取值范围为．故答案为：．16．函数的最小值为___________.【答案】.【分析】将化为，采用换元，令，利用求导的方法求函数的最小值，进而求得答案.【详解】因为，令，设 ，则，当时， ；当 时，，所以，又函数，当时，，递减；当时，，递增；故最小值为 ，而，所以方程有解，即存在使得，故的最小值为，故答案为：.【点睛】本题考查了利用导数求函数最值问题，综合性强，能很好地考查学生的数学素养，要求思维能力较高，解答的关键是根据函数的解析式特点，合理变式，从而整体换元，构造函数，解决问题. 四、解答题17．设函数的定义域为集合，集合．(1)求函数的定义域；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据偶次根式和分式有意义的基本要求可构造不等式组求得结果；（2）根据交集结果可得，分别在和的情况下，由包含关系可构造不等式组求得结果.【详解】（1）由题意得：，解得：，的定义域.（2），；当时，满足，则，解得：；当时，由得：，解得：；综上所述：实数的取值范围为.18．已知函数的部分图像如图所示．(1)求的解析式及对称中心；(2)若，求值；(3)先将的图像横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到函数图像，再将图像右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间．【答案】(1)；对称中心为(2)(3) 【分析】（1）根据函数图像得，，，进而根据，再将点代入求解得，最后求解对称中心即可；（2）结合（1）得，再根据，结合二倍角公式求解即可；（3）由函数图像平移变换得，进而得，再解不等式即可得答案.【详解】（1）解：由图可知，，，即，解得，所以，再将点代入得，即，因为，所以，所以.令，解得，所以，的对称中心为（2）解：由（1）知，所以，即，因为，所以.（3）解：将的图像横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得，再将图像右平移个单位后得到的图像，故，因为，所以，所以令，解得，所以，函数在上的单调减区间为19．在中，角所对的边分别为，，，.(1)求的最大内角；(2)若为上一点，且，，求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合余弦定理即可求解，（2）根据余弦定理可得，进而可求的面积，根据比例即可求解的面积.【详解】（1）因为，所以.设，，，(),所以最大，所以，因为，所以，即的最大内角为.（2）在中，，，所以，解得.又，且，所以的面积为.20．已知数列中，，其前n项和为，.(1)求数列的通项公式；(2)设，若数列的前n项和为，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）根据与的关系可得出数列是等比数列从而得到通项公式；（2）将带入化简得到，利用裂项相消可以求得的前项和，即可证明不等式.【详解】（1）由题意得，（），两式相减得（），，又，，，，（），是首项为1，公比为3的等比数列，.（2）由（1）可知，则，所以，，，又，.21．已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程．(2)讨论的单调性．【答案】(1)(2)见解析 【分析】（1）由导数求出斜率、切点坐标可得答案； （2）求出，分，，讨论可得答案.【详解】（1）当时，，则，∴，∴，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）函数的定义域为，,当时，由得或，由得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，由恒成立，所以在上单调递增；当时，由得或，由得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；综上可知：当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；22．已知函数．(1)试讨论函数的零点个数；(2)设，为函数的两个零点，证明：．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【分析】（1）令，则，将零点问题转化为与的交点问题，结合导数运算求解；（2）构建新函数，利用导数分析其零点问题，并运用做差法结合导数判断的大小关系，进而证明结论.【详解】（1）令，则构建，则，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则令，则，对，则，使得则故在上的值域为同理可得：在上的值域为所以当，即时，与有一个交点，有一个零点；当，即时，与有两个交点，有两个零点；当，即时，与有一个交点，有一个零点；当，即时，与没有交点，没有零点．综上所述：当或时，有一个零点；当时，有两个零点；当时，没有零点．（2）由题意可得函数的定义域为，，设，所以，所以函数在上单调递增，又，列表如下：x10极小值 所以函数在上单调递减，在上单调递增，设，可得，，因为，所以，设函数，则，函数在上单调递增，所以，所以，即，又函数在上单调递减，所以，所以．【点睛】在判断的大小关系时，可以利用作差法处理可得，构建新函数，结合导数分析判断.