2023届宁夏石嘴山市平罗县平罗中学高三（重点班）上学期第三次月考（12月）数学（理）试题含解析

这是一份2023届宁夏石嘴山市平罗县平罗中学高三（重点班）上学期第三次月考（12月）数学（理）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，四象限的角平分线上，，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届宁夏石嘴山市平罗县平罗中学高三（重点班）上学期第三次月考（12月）数学（理）试题 一、单选题1．已知集合，，若集合，则下列阴影部分可以表示A集合的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用Venn图先判断集合，再在集合中去掉的部分，即可得到答案.【详解】，是两个集合的公共部分，，在集合 中去掉的部分，即选B.故选：B.2．已知（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点一定在（    ）A．实轴上 B．虚轴上C．第一、三象限的角平分线上 D．第二、四象限的角平分线上【答案】D【分析】设，由可解得，则，复数在复平面上对应的点为，即可判断【详解】设，则，则，即，，∴，复数在复平面上对应的点为，一定在第二、四象限的角平分线上，故选：D3．短道速滑队进行冬奥会选拔赛（6人决出第一一六名），记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若是真命题，是假命题，是真命题，则选拔赛的结果为（    ）A．甲第一、乙第二、丙第三 B．甲第二、乙第一、丙第三C．甲第一、乙第三、丙第二 D．甲第一、乙没得第二名、丙第三【答案】D【分析】根据符合命题的真假性进行判断即可求解.【详解】是真命题意味着为真，q为假（乙没得第二名）且r为真（丙得第三名）；是真命题，由于q为假，只能p为真（甲得第一名），这与是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选：D．4．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，结合诱导公式、二倍角余弦公式可得，即可求值.【详解】由题意有：，∴，又，∴.故选：A.5．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在P处的离散曲率为为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，，……，遍及多面体M的所有以P为公共点的面如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a，b，c，d，则a，b，c，d的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意给的定义，结合图形，分别求出a、b、c、d的值即可比较大小.【详解】对于正四面体，其离散曲率为，对于正八面体，其离散曲率为，对于正十二面体，其离散曲率为，对于正二十面体，其离散曲率为，则，所以.故选：B.6．将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是（    ）A．①④ B．②③ C．①② D．③④【答案】A【分析】按题意把四个平面图形翻折成四面体，然后根据空间图形中直线与直线的位置关系判断．【详解】①对应图1，是平面外一点，在平面内，且不在直线上，因此与是异面直线，①正确；②对应图2，重合，与是相交直线，②错；③对应图3，由于由中位线定理得，都与棱平等，从而，③错；④与图1类似得与是异面直线，④正确．故选：A．7．如图，点在半径为2的上运动，.若，则的最大值为（    ）A．1 B．  C． D．【答案】B【分析】将原题转化为线性规划问题，求目标函数最大值即可.【详解】如图： ， 为基底，则 ，令 则有： ，问题转化为点C在第一象限的圆周 上运动，求目标函数 的最大值，显然当直线 与圆相切时，z最大，此时 ；故选：B.8．已知函数的导函数的图象如图所示，其中点A和点B分别是的图象的一个最低点和最高点．则下列说法正确的是（    ）A．将曲线向左平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍即可得到的图象B．将曲线向左平移个单位长度，再将纵坐标缩短为原来的即可得到的图象C．将曲线向左平移单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍即可得到的图象D．将曲线向左平移单位长度，再将纵坐标缩短为原来的即可得到的图象【答案】B【分析】首先求函数的导数，再根据函数图象求函数的解析式，最后根据图象变换规律，判断选项.【详解】，由题图可知导函数的最小正周期为，则，则，，当时，函数取得最大值，，，,因为，所以，所以，因此将曲线向左平移个单位长度，得到曲线，再将纵坐标缩短为原来的即可得到的图象.故选：B．9．已知函数．若对于任意实数x，都有，则的最小值为（    ）．A．2 B． C．5 D．8【答案】C【分析】由可求得函数图像的对称中心，结合正弦型函数的性质，可求的最小值.【详解】函数，由可知函数图像的一个对称中心为，所以有，解得，由，当时，有最小值5.故选：C10．已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简题目所给不等式，构造函数，由在区间上恒成立分离常数，结合二次函数的性质求得的取值范围.【详解】不妨设，则，即，令，则，∴在单调递增，对恒成立，而恒成立，令，，则在单调递减，∴，∴，的取值范围是.故选：A【点睛】利用导数研究含有参数的不等式恒成立问题，可以利用分离常数法，然后通过求函数的最值来求得参数的取值范围.11．已知三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的外接球表面积为A． B． C． D．【答案】C【分析】先在长方体中还原该三棱锥为，根据三棱锥底面外接圆圆心确定外接球球心位置，设球的半径为，列出方程即可求出结果.【详解】根据三视图，在长方体中还原该三棱锥为，且长方体的底面边长为2，高为；取中点为，上底面中心为，连接，，则，，因为三角形为直角三角形，所以点为三角形的外接圆圆心，因此三棱锥的外接球球心，必在线段上，记球心为，设球的半径为，则，所以有，，因此，解得，所以该三棱锥的外接球表面积为.故选C【点睛】本题主要考查几何体的三视图以及几何体外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.12．设，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，再利用，判断函数值的大小，即可判断选项.【详解】，，，设 ，且，，得，当和时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因为，且，所以，即.故选：D 二、填空题13．如图边长为2的正方形ABCD中，以B为圆心的圆与AB，BC分别交于点E，F，若，则阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体的体积等于__________．【答案】【分析】阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖掉一个半球与圆锥，分别计算其体积，然后得到答案.【详解】在中，所以，正方形ABCD绕直线BC旋转一周形成圆柱，圆柱的底面半径，高，其体积；直角绕直线BC旋转一周形成与圆柱同底的圆锥，圆锥的底面半径，高，其体积；扇形BEF是圆的，绕直线BC旋转一周形成一个半球，球的半径为，故其体积；所以阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖掉上述的半球与圆锥，故其体积．故答案为：.14．已知在数列中，，，则数列的通项为__________．【答案】【分析】利用已知化简可得，然后再由等差数列的定义可得答案..【详解】根据，可得，由得，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，整理得，所以.故答案为：.15．已知函数满足， 若函数与图像的交点为，则它们的纵坐标之和等于___．【答案】4044【分析】由函数则函数关于点对称，知函数关于点对称，又也关于点对称，关于点对称性即可求出纵坐标之和.【详解】函数满足知，函数关于点对称，又也关于点对称故函数与图像的交点也关于点对称所以成对出现，且关于点对称所以故答案为：4044.16．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则的最小值为_____．【答案】【分析】由两条曲线的公切线斜率分别等于各曲线上切点处的导数值，以及各曲线上切点分别满足切线方程来列方程组，得到与满足的关系式，将原式中的替换，再利用基本不等式求最小值即可.【详解】曲线在点A处的切线可写作设该切线在曲线上的切点为，则有，消去t得则当且仅当，即时取得该最小值.故答案为：. 三、解答题17．已知数列的各项均为正数的等比数列，，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由等比数列的通项公式求解即可；（2）由（1）可得，再分类讨论结合分组并项求和法求解即可【详解】（1）设公比为，由题意得解得（2）当为偶数时，，当为奇数时，；．18．如图，在三棱锥中，，且，为的中点，点在棱上，，若是边长为1的等边三角形，且.(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用等腰三角形与勾股定理证得与，从而由线面、面面垂直的判定定理证得平面平面；（2）依题意建立空间直线坐标系，求得平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示求得，从而求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1），为中点，，又在中，，，，，，又，平面，平面，平面，平面平面.（2）如图，在中，过点作的垂线交于点，由（1）知，，，故以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，则，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，所以，故直线AD与平面BCE所成角的正弦值为.19．已知数列与的前项和分别为，，且，．(1)求数列的通项公式；(2)，若恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用与的关系求出和，证明是等差数列，即可求出数列的通项公式.（2）化简，利用裂项相消法求出，再利用数列的单调性即可求出的取值范围.【详解】（1）由题意， ，在数列中，当时，，解得或．∵∴．∵∴．两式相减得．∴．∵，∴．即数列是以3为首项，3为公差的等差数列，∴即（2）由题意及（1）得，，在数列中，在数列中，∴．∴．∵恒成立，∴．∴的取值范围为20．如图，在直线三棱柱中，己知，，，D为棱AC的中点.(1)求证：平面；(2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接，交于点O，连接OD，可得为的中位线，从而可得线线平行，根据线面平行的判定即可得到结果.（2）以D为坐标原点，以DA，BD所在直线分别为x，y轴，以过点D且垂直平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，根据法向量结合二面角余弦值公式即可得到结果.【详解】（1）连接，交于点O，连接OD，则O为的中点，∵D为AC的中点，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）由（1）知点到平面的距离与点C到平面的距离相等.∵，D为AC的中点，∴，连接，则，∴.如图，以D为坐标原点，以DA，BD所在直线分别为x，y轴，以过点D且垂直平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，，，.设平面的法向量为，则，故，取，则，故，设平面的法向量为，则，故，取，则，得.∴，∴平面与平面的夹角的余弦值为.21．如图，某市拟在长为的道路的一侧修建一条自行车赛道，赛道的前一部分为曲线，该曲线段为函数（， ，）的图像，且图像的最高点为．赛道的后一段为折线段，为保证参赛队员的安全，限定．(1)求实数和的值以及、两点之间的距离；(2)试求折线段的最大值．【答案】(1)，，、两点之间的距离为(2) 【分析】（1）根据图像最高点求出，利用周期求出，再利用两点距离公式即可求解、两点之间的距离.（2）首先利用三角函数表示处折线段的长度，再利用辅助角公式即可求解最大值.【详解】（1）图像的最高点为，且，所以.根据图像可知，则，，解得，所以的解析式为，令，得即的坐标为.所以.综上，，，、两点之间的距离为（2）在中，设，因为，故，由正弦定理可得，所以，设折线段的长度为，则，所以的最大值为，此时.即折线段的最大值为.22．已知函数，当时，．(1)求的取值范围；(2)求证：（）．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由导数法对、分类讨论是否满足即可；（2）由（1）结论，当时，恒成立，即可得，即可列项得，构造，由导数法证，则有，即，最后结合对数运算性质即可证【详解】（1）由题意得．令，则．∴函数在区间上单调递增，则函数的最小值为．①当，即时，可得，∴函数在上单调递增．又，∴恒成立．②当，即时，函数的最小值为<0，且存在，当时，．又，∴当时，，这与时，相矛盾．   综上，实数a的取值范围是．（2）由（1） 得当时，不等式恒成立，∴．令，得．  ∴．  令，则，时，，为上的增函数；时，，为上的减函数；∴，则．∴，   ∴=<=．∴．【点睛】方法点睛：证明数列累乘不等式，可通过不等式两边取对数，转换成累加不等式的证明，接着一般可结合题中结论，通过对数列通项放缩，达到证明目的