2023届山东省青岛第二中学分校高三上学期期中质量检测数学试题含解析

2023届山东省青岛第二中学分校高三上学期期中质量检测数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，．则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得.

【详解】，解得或，

所以或，

所以，所以.

故选：C

2．复数的虚部为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】B

【解析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成的代数形式即得结果.

【详解】，故虚部为1.

故选：B.

3．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ）

A．若，，且m，，则

B．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则

C．若，，则

D．若，，则

【答案】D

【分析】由线面，面面关系判断各选项即可.

【详解】对于A，注意到当m，n平行时，直线l不垂直于平面，故A错误；

对于B，当这三点有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧时，平面与平面不平行，故B错误；

对于C，若，则直线不平行于平面，故C错误；

对于D，因，则在平面内的任意直线均与直线n垂直，又，

则在平面内的任意直线均与直线m垂直，由直线与平面垂直定义可知，故D正确.

故选：D

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用余弦的二倍角公式结合诱导公式求解即可.

【详解】因为，

所以，

故选：A.

5．若向量，满足，，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由向量垂直的数量积表示得，然后由向量夹角公式计算．

【详解】由已知得，，，

，所以.

故选：C．

6．“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充分必要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.

【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，

则，解得：，当时，，，

则，所以函数为奇函数，即充分性成立；

“函数为奇函数”，

则，即，

解得：，故必要性不成立，

故选：A．

7．已知数列的前n项和为，且，，则（    ）．

A．2018 B．2019 C．2020 D．2021

【答案】C

【分析】利用与的关系和累乘法求出即得解.

【详解】因为，，

所以当时，，化为，

从而，所以．适合.

所以.

故．

故选：C

8．设函数，有4个不同的零点，则正实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的单调性及零点存在定理可得当时函数有一个零点，然后根据三角函数的图象和性质即得.

【详解】当时，单调递增，且，，故有一个零点，

所以当时，函数有3个零点，

令，即，，解得，

由题可得区间内的3个零点分别是，1，2取得，

所以即在和之间，即，

解得.

故选：A．

二、多选题

9．将函数图象向右平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，则下列四个结论中正确的是（    ）

A．

B．函数的图象关于点中心对称

C．函数在区间上为增函数

D．函数在上的值域为

【答案】AB

【分析】根据图象平移规律得到，计算的值可判断A；计算

是否得0可判断B；求出的单调递增区间可判断C；根据

的范围求出函数在上的值域可判断D.

【详解】将函数图象向右平移个单位长度，得到的图象，

然后所得函数纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，

所以，

对于A， ，故正确；

对于B，函数，故正确；

对于C，由得，

即，所以的单调递增区间为，因为，故错误；

对于D，因为，所以，，所以函数在上的值域为，故错误.

故选：AB.

10．已知数列 的前项和为，下列说法正确的是（   ）

A．若 ，则

B．若 ，则的最小值为

C．若 ，则数列的前项和为

D．若数列为等差数列，且，则当时，的最大值为

【答案】BC

【分析】令时，由求出可判断A；由知，，当时，取得的最小值可判断B；若，求出数列的前项和可判断C；由数列的下标和性质可得，则可判断D.

【详解】对于A，由，当时，，

由，当时，，所以A不正确；

对于B，若，当时，，则，

所以当时，取得的最小值为；

对于C，若 ，设数列的前项和为，

所以

，故C正确；

对于D，数列为等差数列，且，

则，

所以，

当时，的最大值为，所以D不正确.

故选：BC.

11．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是（　　）

A．DP∥面AB1D1

B．三棱锥A﹣D1PC的体积为

C．平面PB1D与平面ACD1所成二面角为90°

D．异面直线与所成角的范围是

【答案】ACD

【分析】A利用面面平行的性质证面；B应用等体积法，根据特殊点：与重合时求的体积； C先证明面，再利用面面垂直的判定定理证面面即可；D由，根据在线段的位置，即可确定异面直线与所成角的范围.

【详解】A：连接，，，，由于，由面面平行的判定定理，可证明面面，又面，所以面，正确；

B：，因为到面的距离不变，且△的面积不变，所以三棱锥的体积不变，当与重合时得，错误；

C：由三垂线定理，可证明，再由线面垂直的判定定理可得面，又面，则面面，正确；

D：由，异面直线与所成角即为与所成角，又为等边三角形，当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值，当与线段的中点重合时，与所成角取最大值，故与所成角的范围，正确.

故选：ACD．

12．设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．当时，的取值范围为

C．为奇函数 D．方程仅有5个不同实数解

【答案】BCD

【分析】根据给定条件，确定函数的对称性、周期性，判断A，B，C；作出函数、的部分图象判断D作答.

【详解】依题意，当时，，当时，，函数的定义域为，有，

又，即，因此有，即，

于是有，从而得函数的周期，

对于A，，A不正确；

对于B，当时，，有，则，

当时，，，有，

，当时，的取值范围为，B正确；

对于C，，函数为奇函数，C正确；

对于D，在同一坐标平面内作出函数、的部分图象，如图：

方程的实根，即是函数与的图象交点的横坐标，

观察图象知，函数与的图象有5个交点，因此方程仅有5个不同实数解，D正确.

故选：BCD

【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.

三、填空题

13．在平行四边形中，，，若，则______.

【答案】

【分析】易得，则，后利用向量数量积知识解决问题.

【详解】因，则

又注意到，.

则=.

故答案为:

14．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术・商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中平面，，，则四面体PABC的外接球的表面积为______．

【答案】

【分析】确定外接球球心求得球半径后可得表面积．

【详解】由于平面，因此与底面上的直线都垂直，

从而与不可能垂直，否则是锐角三角形，由于，因此有，

而与是平面内两相交直线，则平面，平面，所以，

所以的中点到四个点的距离相等，即为四面体PABC的外接球球心．

，，

所以所求表面积为．

故答案为：．

15．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为___________.

【答案】9

【分析】先根据函数图象过定点，求出点，依据点在直线上，找出，的关系，最后利用基本不等式求出的最小值．

【详解】∵恒过定点，

∴过定点

∴，即，

∴≥，

当且仅当即时等号成立，

∴所以的最小值为9，

故答案为：9.

16．已知F是椭圆E：的左焦点，经过原点O的直线与椭圆E交于P，Q两点，若且，则椭圆E的离心率为______．

【答案】

【分析】取椭圆的右焦点，由直线过原点及椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，由及椭圆的性质可得，，余弦定理可得离心率的值.

【详解】取椭圆的右焦点，连接，，

由椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形，

则，，

，而，所以，所以，

在中，，

整理，得，即，由解得.

故答案为：.

四、解答题

17．在中，角的对边分别为，已知

(1)求；

(2)若求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知，可将化简从而求得，然后再利用余弦二倍角公式直接求解即可；

（2）由（1）问，可求解出，并判断为钝角，再根据，从而求解出，再使用和差公式计算，使用正弦定理求解出边长，然后带入面积公式即可完成求解.

【详解】（1）由已知，，所以，

因为，所以，此时，

所以，得，

所以；

（2）由（1）可知，，所以且为钝角，

由，可知，

所以，

由正弦定理可知，，所以，

所以.

18．等比数列中，，且，，成等差数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列，试求数列前项的和，并证明．

【答案】(1)

(2)，证明见解析

【分析】（1）公式法求通项即可；

（2）裂项相消解决即可.

【详解】（1）设等比数列的公比为，

因为，且，，成等差数列，

所以，

因为，

所以，

所以数列的通项公式为.

（2）由（1）得数列的通项公式为

所以数列，

所以数列前项的和

因为是递增数列，

所以，

所以.

19．如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为的正方形，为中点，且.

(1)求证：平面；

(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由勾股定理证明，再由，可证平面，即得，由，可证平面；（2）由题意证明得两两垂直，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面的法向量，设，再由向量夹角的公式代入计算得，根据点到平面的距离公式代入计算，可得答案.

【详解】（1）证明：由题知，

，

又，所以，

又，平面，

所以平面，又平面，所以，

在正中，为中点，于是，

又，平面，所以平面

（2）取中点为中点为，则，

由（1）知，平面，且平面，

所以，又，

所以，平面

所以平面，于是两两垂直.

如图，以为坐标原点，的方向为轴､轴､轴的正方向，

建立空间直角坐标系，则，

，所以，

.

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，于是.

设，

则.

由于直线与平面所成角的正弦值为，

，

即，整理得

，由于，所以

于是.

设点到平面的距离为，则，

所以点到平面的距离为.

【点睛】方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

20．2022年我国部分地区零星出现新冠疫情，为了有效快速做好爆发地区的全员核酸检测，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人的检验次数为次．假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p．

(1)为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验（即为一人一检），若，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；

(2)设X为个人一组混合检验时所需要的检验总次数．

①当时，求X的分布列及平均检验次数（不必计算，只列式即可）；

②某地区共10万人，发现有输入性病例，需要进行全员核酸检测，预估新冠病毒感染率为万分之一，即为，先进行“10合1混采检测”，试估计这10万人所需检测的平均次数．并估计对这个地区，这样的混检比一人一检大约能少使用多少份检测试剂？（注：感染率，即为每个人受感染的概率；）

【答案】(1)0.243；

(2)①见解析；

②；89900.

【分析】（1）利用二项分布的概率计算公式求概率即可；

（2）①写出所以取值和概率，然后列分布列，求期望即可；

②利用期望来估计总的检测次数，然后再跟100000作差即可.

【详解】（1）设3人中恰好有1人检测结果为阳性为事件，.

（2）①的值可取1，11，

，，

.

②，

所以进行“10合1混采检测”，10万人所需检测的平均次数大概为，

这样混检比一人一检大约少使用份检测试剂.

21．已知函数.

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)求函数在上的最小值.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程；

（2）首先求函数的导数，化简为，再讨论和两种情况讨论函数的单调性，再求函数的最值.

【详解】（1）当时，

所以.

所以曲线在处的切线方程为：.

（2）.

①当时，.

所以时，.

所以在上是增函数.所以.

②当时，令，解得（舍）

1°当，即时，时，.

所以在上是增函数.所以.

2°当，即时，

所以.

3°当，即时，时，.

所以在上是减函数.所以.

综上，当时，；

当时，.

当时，.

22．已知双曲线：的焦距为4，且过点

(1)求双曲线的方程；

(2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与的面积之比.

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出，从而可求出双曲线方程，

（2）设直线方程为，，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点的坐标，再利用表示出点的坐标，再表示出直线的方程，可求得直线过定点，从而可求得答案.

【详解】（1）由题意得，得，

所以，

因为点在双曲线上，

所以，

解得，

所以双曲线方程为，

（2），设直线方程为，，

由，得

则，

所以，

所以的中点，

因为，

所以用代换，得，

当，即时，直线的方程为，过点，

当时，，

直线的方程为，

令，得，

所以直线也过定点，

所以