专题12 以平行四边形为背景的计算和证明-八年级数学下册解法技巧思维培优（北师大版）

八下数学思维解法技巧培优小专题

专题12  以平行四边形为背景的计算和证明

【典例1】（2019•南岸区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE，点F是BE上一点，连接CF．

（1）如图1，若∠ECD＝30°，BC＝BF＝4，DC＝2，求EF的长；

（2）如图2，若BC＝EC，过点E作EM⊥CF，交CF延长线于点M，延长ME、CD相交于点G，连接BG交CM于点N，若CM＝MG，求证：EG＝2MN．

【点拨】（1）利用勾股定理求出EC，BE即可解决问题．

（2）如图2中，延长GM到H，使得MH＝MG，连接CH，BH．想办法证明EG＝BH，BH＝2MN即可解决问题．

【典例2】（2019•沙坪坝区模拟）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交AE于点M．点N在边BC上，且AM＝CN，连结DN．

（1）若AB，AC＝4，求BC的长；

（2）求证：AD+AMDN．

【点拨】（1）证出△ACE是等腰直角三角形，得出∠EAC＝45°，AE＝CE＝2，由勾股定理得：BE，即可得出结果；

（2）延长AD至G，使DG＝AM，证出四边形CGDN是平行四边形，得出CG＝DN，证明△ABE≌△CME，得出AB＝CM，∠B＝∠CME，再证明△ACM≌△GCD，得出∠G＝∠MAC＝45°，证出△ACG是等腰直角三角形，得出AGCG，即可得出结论．

巩固练习

1．（2019•肥城市模拟）如图，平行四边形ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，F在CD上，BF交CD于点E，连接AE，AE⊥AD．

（1）若BG＝1，BC，求EF的长度；

（2）求证：CEBE＝AB．

2．（2019•沙坪坝区校级月考）在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝AC，点E，F分别CD、AC边上的点，且AF＝CE，BF的延长线交AE于点G．

（1）若DE＝2，AD＝8，求AE．

（2）若G是AE的中点，连接CG，求证AE+CG＝BG．

3．（2019•南岸区期中）如图．在平行四边形ABCD中（BC＞AB），过A作AF⊥BC，垂足为F，过C作CH⊥AB，垂足为H，交AF于G，点E为FC上一点，且GE⊥ED．

（1）若FC＝2BF＝4，AB＝2，求平行四边形ABCD的面积；

（2）若AF＝FC，F为BE中点，求证：ED（AD+AG）．

4．（2019•九龙坡区校级模拟）在平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连接CE，交对角线BD于点F，过点A作AB的垂线交BD的延长线于点G，过B作BH垂直于CE，垂足为点H，交CD于点P，2∠1+∠2＝90°．

（1）若PH＝2，BH＝4，求PC的长；

（2）若BC＝FC，求证：GFPC．