专题06 常见三角形的旋转模型-八年级数学下册解法技巧思维培优（北师大版）

八下数学思维解法技巧培优小专题

专题6   常见三角形的旋转模型

题型一  等边三角形的旋转

【典例1】（2019•凤山县期中）如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．

（1）求证：AD＝DE；

（2）求∠DCE的度数；

（3）若BD＝1，求AD，CD的长．

【点拨】（1）利用旋转的性质和等边三角形的性质先判断出△ADE是等边三角形即可；

（2）利用四边形的内角和即可求出结论；

（3）先求出CD，再用勾股定理即可求出结论．

【典例2】（2019•金湖县期末）问题背景：如图①设P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：

△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．

简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝2，则∠BPC＝　　°

（2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝　　．

拓展廷伸：①如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：BD＝AD+DC．

②若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长．

【点拨】简单应用：（1）先利用旋转得出BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2，再根据勾股定理得出PP'CP＝4，最后用勾股定理的逆定理得出△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形，即可得出结论；

（2）同（1）的方法得出∠APP'＝60°，进而得出∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°，最后用勾股定理即可得出结论；

拓展廷伸：①先利用旋转得出BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD，再判断出点D'在DC的延长线上，最后用勾股定理即可得出结论；

②同①的方法即可得出结论．

题型二  等腰直角三角形的旋转

【典例3】（2020•新宾县二模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．

（1）请求出旋转角的度数；

（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；

（3）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．

【点拨】（1）由旋转的性质可得△BCD'≌△ACE，可得BC＝AC，即可求旋转角的度数；

（2）由全等三角形的性质可得∠DBC＝∠EAC，由直角三角形的性质可求∠AND＝90°，即可得AE⊥BD；

（3）由勾股定理可求DE的长，再由勾股定理可求AE＝BD的长．

题型三  一般等腰三角形的旋转

【典例4】（2019•武侯区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，连接AD，BE，延长BE交AD于点F．

（1）求证：∠DEF＝∠ABF；

（2）求证：F为AD的中点；

（3）若AB＝8，AC＝10，且EC⊥BC，求EF的长．

【点拨】（1）根据等角的余角相等证明即可．

（2）如图1中，作AN⊥BF于N，DM⊥BF交BF的延长线于M．利用全等三角形的性质证明即可．

（3）如图1中，作AN⊥BF于N，DM⊥BF交BF的延长线于M．想办法求出FM，EM即可．

【典例5】（2019•汉川市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO．BO．CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°．以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，连接OO′，求：

（1）∠OBO′的度数；

（2）OA+OB+OC的长．

【点拨】（1）根据旋转的性质即可得出结论；

（2）先判断△BOO′为等边三角形，所以OO′＝BO，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，再证明点C、O、O′、A′共线，从而得到A′C＝OC+OB+OA，然后利用勾股定理计算A′C即可．

巩固练习

1．（2019•北京）在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．

（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；

（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；

（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝QD，请直接写出α的范围．

2．（2019•西湖区校级月考）将Rt△ABC绕点直角顶点C逆时针旋转90°后得到△A'B'C，A'B'的延长线与AB交于点D，连接DC．

①求证：AB⊥A'D；

②求∠A'DC的度数．

3．（2019•盐田区校级期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．现有一块足够大的三角板，其直角顶点D是BC边上一点，AD平分∠BAC，两直角边分别交AB，AC于点E，F．

（1）当DE⊥AB（如图1）时，判断四边形AEDF的形状，并说明理由．

（2）将三角板绕点D旋转一定的角度（如图2），求证：AE+AFAD．

4．（2019•延庆县一模）如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC＞AD．

下面的证法供你参考：

把△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，连接ED，则有△ACD≌△ABE，DC＝EB，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，

∴△ADE是等边三角形，∴AD＝DE．在△DBE中，BD+EB＞DE，即：BD+DC＞AD

实践探索：

（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：

如图3，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合）．求证：BD+DCAD．

（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？直接写出结论．

创新应用：

（3）已知：如图4，等腰△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝α（α为钝角），D是等腰△ABC外一点，且∠BDC+∠BAC＝180°，BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．

5．（2019•和平区期末）已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，OB＝4．将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°．得到Rt△ODC．点A、B的对应点分别为点D，C．连接BC．

（Ⅰ）如图①，OD的长＝　   　，∠BOC的大小＝　   　（度），∠OBC的大小＝　   　（度）；

（Ⅱ）动点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，动点M沿O→C→B路径匀速运动，动点N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时，运动停止．已知点M的运动速度为1.5个单位/秒，点N的运动速度为1个单位/秒，设运动时间为t秒（t＞0），△OMN的面积为S．

①如图②，当点M在边OC上运动，点N在边OB上运动时，过点N作NE⊥OC，垂足为点E，试用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；

②求当t为何值时，S取得最大值，并求出S的最大值（直接写出结果即可）．