初中数学6 一元一次不等式组一课一练

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【典例1】（2019•葫芦岛）不等式组3x＜2x+2x+13-x≤1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解析】解：解不等式3x＜2x+2，得：x＜2，
解不等式x+13-x≤1，得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
故选：A．
【典例2】（2019•英德市期末）不等式组x-1＞2x+3≥1的解集是 x＞3 ．
【点拨】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解析】解：x-1＞2①x+3≥1②，
由①得，x＞3，
由②得，x≥﹣2，
故此不等式组的解集为：x＞3．
故答案为：x＞3
【典例3】（2019•成华区期中）解不等式（组）：
（1）19﹣3（x+7）≤0
（2）2(x+3)-4＞3x①3x+22＞x-1②
【点拨】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解析】解：（1）19﹣3（x+7）≤0，
19﹣3x﹣21≤0，
﹣3x≤21﹣19，
﹣3x≤2，
x≥-23；
（2）∵解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x＞﹣4，
∴不等式组的解集是﹣4＜x＜2．
【典例4】（2019•毕节地区）解不等式组x-4≤32(2x-1)①2x-1+3x2＜1②，把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解．
【点拨】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，找出其公共解集内x的整数解即可．
【解析】解：由①得，x≥-54，
由②得，x＜3，
故此不等式组的解集为：-54≤x＜3，
在数轴上表示为：
此不等式组的整数解为：﹣1，0，1，2．
故答案为：﹣1，0，1，2．
题型二 连写型一元一次不等式组
【典例5】（2019•成都校级月考）满足不等式-1＜1-2x3≤2的整数解的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．无数个
【点拨】首先解不等式组，求得不等式组的解集，即可确定整数解．
【解析】解：不等式-1＜1-2x3≤2，
即1-2x3＞-11-2x3≤2，
解得：-52≤x＜2，
则不等式组的整数解是：﹣2，﹣1，0，1共有4个．
故选：B．
【典例6】（2019•启东市校级月考）求不等式1≤3x﹣7＜5的整数解．
【点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解析】解：解不等式3x﹣7≥1，得：x≥83，
解不等式3x﹣7≤5，得：x≤4，
则不等式组的解集为83≤x≤4，
∴该不等式组的整数解有3、4．
【典例7】（2019•衡阳县校级期中）代数式1﹣k的值大于﹣1而又不大于3，则k的取值范围是（ ）
A．﹣1＜k≤3B．﹣3≤k＜1C．﹣2≤k＜2D．﹣2＜k≤2
【点拨】根据题意可得关于k的一元一次不等式组，解即可．
【解析】解：根据题意得
1-k＞-11-k≤3，
解得k＜2k≥-2，
∴﹣2≤k＜2．
故选：C．
题型三 分式型一元一次不等式组
【典例8】（2019•淮安校级月考）自学下面材料后，解答问题．
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：x-2x+1＞0，2x+3x-1＜0等．那么如何求出它们的解集呢？
根据有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．据此可知不等式x-2x+1＞0，可变成x-2＞0x+1＞0或x-2＜0x+1＜0，再解这两个不等式组，得x＞2或x＜﹣1．
（1）不等式2x+3x-1＜0，可变成不等式组 2x+3＜0x-1＞0 或 2x+3＞0x-1＜0 ；
（2）解分式不等式2x-34+x＜0．
【点拨】（1）根据两数相除，同号得正，异号得负得出即可；
（2）先求出每个不等式组的解集，即可得出答案．
【解析】解：（1）不等式2x+3x-1＜0，可变成不等式组2x+3＜0x-1＞0或2x+3＞0x-1＜0，
故答案为：成不等式组2x+3＜0x-1＞0，2x+3＞0x-1＜0；
（2）解2x+3＜0x-1＞0得：此不等式组无解；
解2x+3＞0x-1＜0得：-32＜x＜﹣1；
所以不等式2x-34+x＜0的解集是-32＜x＜﹣1．
【典例9】解下列分式不等式：
（1）x-32x+4≤0
（2）x+43x-6＞0
【点拨】（1）（2）把分式不等式转化为不等式组即可解决问题；
【解析】解：（1）原不等式可转化为：①x-3≥02x+4＜0或②x-3≤02x+4＞0
解①得无解，解②得﹣2＜x≤3
所以原不等式的解集是﹣2＜x≤3
（2）原不等式可转化为：①x+4＞03x-6＞0或②x+4＜03x-6＜0
解①得x＞2，解②得x＜﹣4
所以原不等式的解集是x＜﹣4或x＞2．
题型四 绝对值型一元一次不等式组
【典例10】（2019•吉州区期末）请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集的过程：
因为|x|＜3，从如图1所示的数轴上看：大于﹣3而小于3的数的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集是﹣3＜x＜3；
因为|x|＞3，从如图2所示的数轴上看：小大于﹣3的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以|x|＞3的解集是x＜﹣3或x＞3．
解答下面的问题：
（1）不等式|x|＜a（a＞0）的解集为 ﹣a＜x＜a ；不等式|x|＞a（a＞0）的解集为 x＞a或x＜﹣a ．
（2）解不等式|x﹣2|＜4；
（3）解不等式|x﹣5|＞7．
【点拨】（1）由于|x|＜3的解集是﹣3＜x＜3，|x|＞3的解集是x＜﹣3或x＞3，根据它们即可确定|x|＜a（a＞0）和|x|＞a（a＞0）的解集；
（2）把x﹣2当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出x﹣2的取值范围，然后就可以求出x的取值范围；
（3）利用和（2）同样方法即可求出不等式的解集．
【解析】解：（1）不等式|x|＜a（a＞0）的解集为﹣a＜x＜a，不等式|x|＞a（a＞0）的解集为x＞a或x＜﹣a，
故答案为：﹣a＜x＜a，x＞a或x＜﹣a；
（2）|x﹣2|＜4，
∴﹣4＜x﹣2＜4，
则﹣2＜x＜6；
（3）∵|x﹣5|＞7，
∴x﹣5＜﹣7或x﹣5＞7，
解得：x＜﹣2或x＞12
【典例11】解下列含绝对值的不等式．
（1）|2x﹣1|＜3
（2）|2x-13|≥4
（3）3|1-3x|-14＜2
【点拨】根据绝对值的性质确定不等式组再求解．
【解析】解：（1）因为|2x﹣1|＜3，
所以﹣3＜2x﹣1＜3，
解得﹣1＜x＜2．
故绝对值不等式|2x﹣1|＜3的解集为：﹣1＜x＜2；
（2）因为|2x-13|≥4，
所以2x-13≥4或2x-13≤-4，
解得不等式解集为x≤-112或x≥132．
故绝对值不等式|2x-13|≥4的解集为：x≤-112或x≥132；
（3）由3|1-3x|-14＜2，得|1﹣3x|＜3，
所以﹣3＜1﹣3x＜3，
解得不等式解集为-23＜x＜43．
故绝对值不等式3|1-3x|-14＜2的解集为：-23＜x＜43．
巩固练习
1．（2019•慈利县期末）不等式组x-1＜1x+1≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．
【解析】解：解不等式x﹣1＜1，得：x＜2，
解不等式x+1≥0，得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
故选：A．
2．（2019•大兴区期末）对于有理数m，我们规定[m]表示不大于m的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[x+23]＝﹣5，则整数x的取值是 ﹣17，﹣16，﹣15 ．
【点拨】根据题意得出﹣5≤x+23＜-4，进而求出x的取值范围，进而得出答案．
【解析】解：∵[m]表示不大于m的最大整数，
∴﹣5≤x+23＜-4，
解得：﹣17≤x＜﹣14，
∴整数x为﹣17，﹣16，﹣15，
故答案为﹣17，﹣16，﹣15．
3．（2019•新昌县期末）解下列不等式（组）
（1）2x﹣1＞x﹣3
（2）3(x+2)＞4x+2x2≥x-33
【点拨】（1）移项，合并同类项即可；
（2）先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解析】解：（1）2x﹣1＞x﹣3，
2x﹣x＞﹣3+1，
x＞﹣2；
（2）3(x+2)＞4x+2①x2≥x-33②
∵解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x≥﹣6，
∴原不等式组的解是﹣6≤x＜4．
4．（2019•宜兴市校级期末）解不等式组x-2(x-1)≤3①2x+53＞x②，将它的解集表示在数轴上，并求出它的最小整数解．
【点拨】首先分别解不等式组中的每一个不等式，然后利用数轴得到不等式组的解集，即可求出最小整数解．
【解析】解：由①得x≥﹣1，
由②得x＜5，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜5，
解集在数轴上表示为，
x的最小整数解为x＝﹣1．
5．（2019•河南二模）不等式组2x-3≤44-3x-2＞-5的非负整数解的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．无数
【点拨】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定不等式组的解集，进而求出非负整数解个数即可．
【解析】解：2x-3≤4①4-3x-2＞-5②
由①得：x≤72
由②得：x＞﹣2
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤72
∴非负整数解为x＝0，1，2，3，共4个
故选：B．
6．（2019•邻水县期末）是否存在整数k，使方程组2x+y=kx-y=1的解中，x大于1，y不大于1，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．
【点拨】解此题时可以解出二元一次方程组中x，y关于k的式子，然后解出k的范围，即可知道k的取值．
【解析】解：解方程组2x+y=kx-y=1得x=k+13y=k-23
∵x大于1，y不大于1从而得不等式组
k+13＞1k-23≤1
解之得2＜k≤5
又∵k为整数
∴k只能取3，4，5
答：当k为3，4，5时，方程组2x+y=kx-y=1的解中，x大于1，y不大于1．
7．（2019•河池二模）若不等式组x-2＜3x-6x＜m无解，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2B．m＜2C．m≥2D．m≤2
【点拨】求出两个不等式的解集，根据已知得出m≤2，即可得出选项．
【解析】解：x-2＜3x-6①x＜m②，
∵解不等式①得：x＞2，
不等式②的解集是x＜m，
又∵不等式组x-2＜3x-6x＜m无解，
∴m≤2，
故选：D．
8．（2019•龙湖区期末）求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．
解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①2x-1＞0x+3＞0或 ②2x-1＜0x+3＜0．
解①得x＞12；解②得x＜﹣3．∴不等式的解集为x＞12或x＜﹣3．
请你仿照上述方法解决下列问题：求不等式（2x﹣3）（5﹣x）≤0的解集．
【点拨】先根据异号两数相乘，积为负得出两个不等式组，再求出不等式组的解集即可．
【解析】解：根据“异号两数相乘，积为负”可得：
①2x-3≥05-x≤0或②2x-3≤05-x≥0，
解不等式组①得x≥5，解不等式组②得x≤32，
∴原不等式的解集为：x≥5或x≤32．
9．（2019•成都校级月考）例：解分式不等式2xx+1＞1
解：当x+1＞0时，去分母得2x＞x+1；当x+1＜0时，去分母得2x＜x+1
∴x+1＞02x＞x+1或x+1＜02x＜x+1，
分别解不等式组得：x＞1或x＜﹣1
所以原不等式的解集为：x＞1或x＜﹣1
根据以上材料，解决下面问题：
（1）请你写出一个分式不等式；
（2）解分式不等式3x+2x-3≥1；
（3）解分式不等式-2x2+3xx2+2x+1＜-2．
【点拨】（1）根据题意写出一个分母中有未知数的不等式即可；
（2）类比以上作法分x﹣3＞0、x﹣3＜0两种情况，分别去分母得到两个不等式组，解不等式组可得；
（3）观察到不等式分母x2+2x+1＝（x+1）2≥0，直接去分母可得不等式，解不等式可得解集．
【解析】解：（1）2xx-2＜1；
（2）当x﹣3＞0时，去分母，得：3x+2≥x﹣3；
当x﹣3＜0时，去分母，得：3x+2≤x﹣3；
∴x-3＞03x+2≥x-3或x-3＜03x+2≤x-3，
分别解不等式组，得：x＞3或x≤﹣5，
所以原不等式的解集为：x＞3或x≤﹣5；
（3）∵x2+2x+1＝（x+1）2≥0，
∴去分母，得：﹣2x2+3x＜﹣2（x2+2x+1），
解得：x＜-27，
又（x+1）2≠0，即x≠﹣1，
∴原不等式的解集为：x＜-27且x≠﹣1．
10．（2019•怀柔区期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们定义这个不等式为绝对值不等式．
小明在课外小组活动时探究发现：
①|x|＞a（a＞0）的解集是x＞a或x＜﹣a；
②|x|＜a（a＞0）的解集是﹣a＜x＜a．
根据小明的发现，解决下列问题：
（1）请直接写出下列绝对值不等式的解集：
①|x|＞3的解集是 x＞3或x＜﹣3 ；
②|x|＜43的解集是 -43＜x＜43 ．
（2）求绝对值不等式2|x﹣1|+1＞9的解集．
【点拨】（1）根据题意即可得；
（2）将2|x﹣1|的数字因数2化为1后，根据以上结论即可得．
【解析】解：（1）①x＞3或x＜﹣3；
②-43＜x＜43．
故答案为：x＞3或x＜﹣3、-43＜x＜43．
（2）2|x﹣1|+1＞9
2|x﹣1|＞9﹣1
2|x﹣1|＞8
|x﹣1|＞4
∴|x﹣1＞4的解集可表示为x﹣1＞4或x﹣1＜﹣4
∴2|x﹣1|+1＞9的解集为x＞5或x＜﹣3．