湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高三上学期月考(五)数学试题

雅礼中学2023届高三月考试卷（五）

数学

时量：120分钟 满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若复数满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在中，点是边的中点，，则用向量表示为（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 在普通高中新课程改革中，某地实施”3＋1＋2“选课方案，该方案中的“2”该指的是政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地理至少有一门被选中的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知三棱台中，三棱锥的体积为4，三棱锥的体积为8，则该三棱台的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心是（    ）．

A.  B.  C.  D.

7. 设，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 边长为2的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可围成一个正四棱锥，则此正四棱锥的外接球的表面积的最小值为（    ）

A.  B.

C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点．则（    ）

A.

B.

C. 侧棱与底面所成角的余弦值为

D. 直线AM与CN所成角的余弦值为

10. 已知函数，若，则下列选项正确的是（    ）

A.

B.

C. 当时，

D. 若方程有一个根，则

11. 设F是抛物线C：的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（    ）

A.

B

C. 若点，则的最小值是3

D. 的面积的最小值是2

12. 已知函数，，，则下列四个结论中正确的是（    ）．

A. 的图象可由的图象平移得到

B. 函数的图象关于直线对称

C. 函数的图象关于点对称

D. 不等式的解集是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在的展开式中，项的系数为______．

14. 已知圆，M是直线l：上的动点，过点M作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______.

15. 已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则____________．

16. 已知椭圆的一个焦点为F，若过焦点F的弦AB与以椭圆短轴为直径的圆相切，且，则该椭圆的离心率为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.

17. 已知函数的所有正的零点构成递增数列.

（1）求数列通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

18. 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝，(，)．

（1）当cos＝时，求小路AC长度；

（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．

19. 图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2.

（1）求点D到平面的距离；

（2）若，求二面角的大小.

20. 法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000，上下浮动不超过50.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000，标准差为50的正态分布.

（1）已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.利用该结论解决下面问题.

（i）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求；

（ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上，并经计算25个面包质量的平均值为.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；

（2）假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数分布列及数学期望.

附：

①随机变量服从正态分布，则，；

②通常把发生概率小于的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.

21. 如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点P（2，－1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A，B，直线PA、PB的倾斜角互补，直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N.

（1）求直线AB的斜率；

（2）若直线AB与双曲线左，右两支分别交于Q，R，求的取值范围.

22. 已知函数.

（1）当时，求在区间上的最小值；

（2）证明：且）.