期末模拟卷01（广东专用）-八年级数学下学期期末复习宝典（北师大版）

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2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．试卷满分120分，考试时间90分钟。
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【分析】根据分式的分母不为零，即x-2≠0解答．
【详解】解：当分母x-2≠0，即x≠2时，分式有意义，
故选D．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
3. 若，则运用不等式性质变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【分析】根据不等式的基本性质分别进行判定即可得出答案．
【详解】解：A．∵a＜b，∴a+4＜b+4，错误；
B．∵a＜b，∴a-3＜b-3，错误；
C．∵a＜b，∴a＜b，错误；
D．∵a＜b，∴-2a＞-2b，正确；
故选：D．
4. 将点P（2，1）沿x轴方向向左平移3个单位，再沿y轴方向向上平移2个单位，所得的点的坐标是（ ）
A. （1，1）B. （-1，3）C. （5，1）D. （5，3）
【分析】根据平移的方法：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，即可得结论．
【详解】解：将点P（2，1）沿x轴方向向左平移3个单位，再沿y轴方向向上平移2个单位，所得的点的坐标是（-1，3）．
故选：B．
5. 下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A. B. C. D.
【分析】根据能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍进行分析即可．
【详解】解：A、不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；
B、，能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项符合题意；
C、不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；
D、不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；
故选：B．
6. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 等边对等角B. 平行四边形的对角相等
C. 夹在平行线间的平行线段相等D. 两边分别相等的两个直角三角形全等
【分析】根据平行四边形的性质判断即可；
【详解】等边对等角，正确；
平行四边形对角相等，正确；
夹在平行线间的平行线段相等，正确；
两边分别相等的两个直角三角形全等，没有指明是哪条边，故错误；
故答案选D．
7. 已 知等腰三角形的一个角为40°，则其底角为（ ）
A. B. C. D. 或
【分析】当40°的角为顶角和底角时分情况讨论即可．
【详解】解：当40°的角为底角时，即底角为40°，
当40°的角为顶角时，底角=（180°-40°）÷2=70°，
综上，底角为或，
故答案为：D．
8. 如图，在中，对角线与相交于点，点分别是的中点，连接．若，则的长为（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【分析】根据已知条件可以得到EF是△OAB的中位线，则OB=2EF=2，再利用平行四边形的性质得出BD即可．
【详解】解：∵点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，EF=1，
∴EF是△OAB的中位线，则OB=2EF=2，
∵在▱ABCD中，
∴BD=2OB=4，
故选：C．
10. 如图，直线：与：相交于点，若不等式的解集为，则直线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【分析】把x=2代入y2=-2x+3，求出y，得到A点坐标，再把A点坐标代入y1=kx-4，求出k，即可得到直线l1的表达式．
【详解】把x=2代入y2=-2x+3，
得y=-2×2+3=-1，
∴A（2，-1），
把A（2，-1）代入y1=kx-4，
得2k-4=-1，
解得k=，
∴直线l1的表达式为y1=x-4．
故选：A
10. 如图，已知△ABC，AB＝AC=5，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是( )
A. BCB. CEC. ADD. AC
【分析】如图，连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．
【详解】解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故选：B．
二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）
11. 多项式分解因式的结果是______.
【分析】先提出公因式a，再利用平方差公式因式分解．
【详解】解：a3-4a=a（a2-4）=a（a+2）（a-2）．
故答案为a（a+2）（a-2）．
12. 若分式的值为0，则x的值为__________．
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【详解】解：分式的值为0，
∴3-2x=0且x+1≠0．
解得：x=1.5．
13. 如果一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形是_____．
【分析】先求出正多边形的每个外角的度数，再根据多边形的外角和等于360°，即可求解．
【详解】解：∵正多边形的一个内角是135°，
∴它的每一个外角为45°．
又因为多边形的外角和恒为360°，
360°÷45°＝8
即该正多边形为正8边形．
故答案为：正八边形．
14. 分式，，的最简公分母是__________．
【分析】根据最简公分母的确定方法解答．
【详解】解：，，的最简公分母是15abx3，
故答案为：15abx3．
15. 如图，ED为△ABC的边AC的垂直平分线，且AB＝5，△BCE的周长为8，则BC＝________．
【分析】根据相等垂直平分线性质得AE=CE则△BCE周长：CE+BE+BC=AE+EB+BC =AB+BC,再代入数据，即可求解.
【详解】解：∵ED垂直平分AC,
∴AE=CE,
∴△BCE周长CE+BE+BC=AE+EB+BC=AB+BC,
∵AB=5,△BCE周长=8，
∴BC=8-5=3.
16. 如图，已知绕着A逆时针旋转50度后能与重合，则___度．
【分析】由题意得∠EAC=50°，根据即可求解．
【详解】解：∵绕着A逆时针旋转50度后能与重合，
∴∠EAC=50°，
∴，
故答案为：16
17. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝5．正确是
【分析】
由，得出∠BAC=90°，则①正确；由等边三角形的性质得∠DAB=∠EAC=60°，则∠DAE=150°，由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC=DF=AE=4，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB=EF=AD=3，得出四边形AEFD是平行四边形，则②正确；由平行四边形的性质得∠DFE=∠DAE=150°，则③正确；∠FDA=180°－∠DFE=30°，过点作于点，，则④不正确；即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴∠BAC=90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
又∴∠BAC=90°，
∴∠DAE=150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD=BA，BF=BC，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=4，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE=∠DAE=150°，故③正确；
∴∠FDA=180°-∠DFE=180°－150°=30°，
过点作于点，
∴，
故④不正确；
故答案为：①②③．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18. 解不等式组
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【详解】
解①得
解②得
所以不等式组的解集为．
19. 先化简，再求值：，其中x=．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【详解】解：原式＝
＝
＝
＝．
当x＝时，
原式＝＝．
20. 如图，已知▱ABCD，AB＞AD，分别以点A，C为圆心，以AD，CB长为半径作弧，交AB，CD于点E，F，连接AF，CE．求证：AF=CE．
【分析】根据平行四边形的性质和已知条件得出AE=CF，AE∥CF，证出四边形AECF是平行四边形，即可得出AF=CE．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC，
根据题意得：AE=AD，CF=BC，
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21. 如图所示，已知的三个顶点的坐标分别是．
（1）点B关于点A对称的点的坐标是___________；
（2）将绕坐标原点O逆时针旋转90度，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标．
【分析】（1）点B关于点A对称的点的坐标为（2，6）；
（2）分别作出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°后的点，然后顺次连接，并写出点B的对应点的坐标．
【详解】解：（1）点B关于点A对称的点的坐标为（2，6）；
（2）所作图形如图所示：
，
点B的对应点B'的坐标为：（0，−6）；
22. 如图，在□ABCD中，∠B＝60°．
（1）作∠A的角平分线与边BC交于点E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：△ABE是等边三角形．
【分析】
（1）作∠A的角平分线与边BC交于点E即可；
（2）根据平行四边形的性质即可证明△ABE是等边三角形．
【详解】解：（1）如图
（2）如图，∵四边形是平行四边形，
∴，
∴∠1＝∠2．
∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AB＝EB．
∵∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
23. 在“母亲节”前期，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销售量大，店主决定将玫瑰每枝降价1元促销，降价后30元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的1.5倍．
（1）求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？
（2）根据销售情况，店主用不多于900元的资金再次购进两种鲜花共500枝，康乃馨进价为2元/枝，玫瑰进价为1.5元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？
【分析】（1）设降价后每枝玫瑰的售价是x元，然后根据降价后30元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的1.5倍，列分式方程求解即可，注意检验结果；
（2）根据店主用不多于900元的资金再次购进两种鲜花共500枝，列不等式求解即可.
【详解】(1)设降价后每枝玫瑰的售价是x元，依题意有
＝×1.5.
解得x＝2.
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意．
答：降价后每枝玫瑰的售价是2元．
(2)设购进玫瑰y枝，依题意有
2(500－y)＋1.5y≤900.
解得y≥200.
答：至少购进玫瑰200枝．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题10分，共20分）
24. （1）如图甲，从边长为a的正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形，然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证因式分解公式成立的是________；
（2）根据下面四个算式：
5232＝（5+3）×（53）＝8×2；
11252＝（11+5）×（115）＝16×6＝8×12；
15232＝（15+3）×（153）＝18×12＝8×27；
19272＝（19+7）×（197）＝26×12＝8×39．
请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
（3）用文字写出反映（2）中算式的规律，并证明这个规律的正确性．
【分析】
（1）利用两个图形，分别求出阴影部分的面积，即可得出关系式；
（2）任意写出两个奇数的平方差，右边写出8的倍数的形式即可；
（3）两个奇数的平方差一定能被8整除；任意写一个即可，如：（2n+1）2-（2n-1）2=8n．
【详解】解：（1）图甲的阴影部分的面积为：a2-b2，图乙平行四边形的底为（a+b），高为（a-b），因此面积为：（a+b）（a-b），
所以a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）；
（2）32-12=（3+1）×（3-1）=4×2=8×1，
172-52=（17+5）×（17-5）=22×12=8×33，
（3）两个奇数的平方差一定能被8整除；
设较大的奇数为（2n+1）较小的奇数为（2n-1），
则，（2n+1）2-（2n-1）2=[（2n+1）+（2n-1）][（2n+1）-（2n-1）]=8n，
∴（2n+1）2-（2n-1）2=8n．即：任意两个奇数的平方差是8的倍数
25. 如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．
（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；
（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；
（3）若AB＝1，BC＝，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠OAF＝∠OCE，OA＝OC，进而判断出△AOF≌△COE，即可得出结论；
（2）先判断出∠BAC＝∠AOF，得出AB∥EF，即可得出结论；
（3）先求出AC＝2，进而得出A＝1＝AB，即可判断出△ABO是等腰直角三角形，进一步判断出△BFD是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一得出∠BOF＝90°，即可得出结论．
【详解】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵OA＝OC，∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF；
（2）当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形，理由：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠AOF＝90°，
∴∠BAC＝∠AOF，
∴AB∥EF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形；
（3）在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝，
∴AC＝＝2，
∴OA＝1＝AB，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
∵BF＝DF，
∴△BFD是等腰三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OF⊥BD（等腰三角形底边上的中线是底边上的高），
∴∠BOF＝90°，