数学第17章 一元二次方程17.1 一元二次方程优秀课件ppt

这是一份数学第17章 一元二次方程17.1 一元二次方程优秀课件ppt，共23页。PPT课件主要包含了复习引入，没有未知数，代数式，一元一次方程，二元一次方程，不等式，分式方程，一元二次方程的概念，解根据题意得，整理得等内容，欢迎下载使用。

2. 什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程属于整式方程.
3. 什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程.
问题1 如图，已知一长方形的长为 200 cm，宽 150 cm. 现在其中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原长方形面积的四分之三. 求挖去的圆的半径 x (cm) 应满足的方程（其中 π 取 3）.
解：依题意知圆的面积约为 3x2 cm2.
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
问题2 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为 75 万辆，两年后增加到 108 万辆. 求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程.
问题3 如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把长方形空地分成大小一样的六块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为 570 m2，问小路的宽应为多少？
1. 若设小路的宽是 x m，则横向小路面积是_____m2，纵向小路的面积是 m2，两者重叠的面积是 m2.
2. 由于花坛的总面积是 570 m2，你能根据题意列出方程吗？
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2 = 570.
x2－36x＋35 = 0 ③.
还有其它的列法吗？试说明理由.
(20－x)(32－2x) = 570.
方程①②③都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
（2）只含一个未知数；
（3）未知数的最高次数是 2.
x2 - 36x＋35 = 0 ③
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程.
ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0).
其中，ax2 称为二次项，a 称为二次项系数；bx 称为一次项，b 称为一次项系数； c 称为常数项.
一元二次方程的一般形式 (标准形式)
想一想 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
当 a ≠ 0，b = 0 时
当 a ≠ 0，c = 0 时
ax2＋bx = 0，
当 a ≠ 0，b = c =0 时
总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数.
化简整理为 x2 - 3x + 2 = 0
少了先决条件 a ≠ 0
例2 a 为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1) ax2－x = 2x2
； (2) (a－1)x|a|+1－2x－7 = 0.
解：(1) 将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0，所以当 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，原方程是一元二次方程. (2) 由 |a| + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 知，当 a = -1 时，原方程是一元二次方程.
方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，根据未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可得解．
例3 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化为一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
3x2 - 3x = 5x + 10.
移项、合并同类项，得该方程的一般形式为
3x2 - 8x - 10 = 0.
其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是 -8x，系数是 -8；常数项是 -10.
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.
你注意到了吗？一元二次方程不止一个解(根)
例4 已知 a 是方程 x2 + 2x－2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值.
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值.
1. 下列哪些是一元二次方程？
3x + 2 = 5x - 2；
(x + 3)(2x - 4) = x2；
3y2 = (3y + 1)(y - 2)；
x2 = x3 + x2 - 1；
3x2 = 5x - 1.
1) 有一块长方形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个边长为 x cm 正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果制作的方盒的底面积为 3600 cm2，求切去的正方形的边长 x．
解：依题意知盒底的长为 (100 - 2x) cm，宽为 (50 - 2x) cm，则有
3. 请根据题意列出方程，并化为一般形式.
2) 要组织要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
解：根据题意，列方程得
4. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值.
解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得
32 + 3a + a = 0，
9 + 4a = 0，
5. 若关于 x 的一元二次方程 (m + 2)x2 + 5x + m2 - 4 = 0
有一个根为 0，求 m 的值.
解：将 x = 0 代入原方程，得 m2 - 4 = 0，
∵ m + 2 ≠ 0，
综上所述，m = 2.
拓广探索：已知关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一个根为 1，求 a + b + c 的值.
思考：(1) 若 a + b + c = 0，你能通过观察，求出方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一个根吗?
∴ 方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 必有一个根是 1.
(2) 若 a - b + c = 0，且 4a + 2b + c = 0，你能通过观察，求出方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根吗?
x1 = -1，x2 = 2.