沪科版八年级下册第19章 四边形19.3 矩形 菱形 正方形获奖课件ppt

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欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
欣赏视频：前面的图片中出现的图形是平行四边形，和视频中的菱形一样，那么什么是菱形呢？它有什么特点？这节课让我们一起来学习吧！
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就变成矩形.
思考 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢?
平行四边形不一定是菱形.
活动1 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？观看下面的视频：
问题2 根据上面的折叠过程，猜想菱形的四边在数量 上有什么关系？菱形的两条对角线有什么关系？
活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的 图形 (如图)，并回答以下问题：
问题1 菱形是轴对称图形吗? 如果是， 指出它的对称轴. 是，两条对角线所在的直线都是它的对称轴.
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线 平分一组对角.
求证：(1) AB = BC = CD = AD； (2) AC⊥BD，∠DAC =∠BAC，∠DCA =∠BCA，∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD.
证明：(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = CD，AD = BC (平行四边形的对边相等). 又∵ AB = AD， ∴ AB = BC = CD =AD.
已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.
(2) ∵ AB = AD， ∴△ABD 是等腰三角形. 又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OB = OD（平行四边形的对角线互相平分）. 在等腰三角形 ABD 中，OB = OD， ∴ AO⊥BD，AO 平分∠BAD， 即 AC⊥BD，∠DAC =∠BAC. 同理可证∠DCA =∠BCA， ∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD.
菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
角：对角相等.边：对边平行且相等.对角线：相互平分.
例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，求菱形的周长．
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD， AO＝ AC，BO＝ BD.∵ AC＝6 cm，BD＝12 cm，∴ AO＝3 cm，BO＝6 cm.在 Rt△ABO 中，由勾股定理得∴ 菱形的周长为 4AB＝4× ＝ (cm)．
例2 如图，在菱形 ABCD 中，CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F，求证：AE＝AF.
证明：连接 AC. ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC 平分∠BAD，即∠BAC＝∠DAC. ∵ CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵ AC＝AC，∴△ACE≌△ACF. ∴ AE＝AF.
菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
证明：∵ 四边形 ABCD 为菱形，∴ AD∥BC，AD＝BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB.∴∠DAE＝∠AEB.∵ AB＝AE，∴∠ABC＝∠AEB. ∴∠ABC＝∠DAE. ∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB. 又∵ AD＝BA，∴△AOD≌△BEA.∴ AO＝BE.
例3 如图，E为菱形ABCD的边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
1. 如图，在菱形 ABCD 中，已知∠A＝60°，AB＝5，则 △ABD 的周长是 (　　) A. 10 B. 12 C. 15 D. 20
2. 如图，菱形 ABCD 的周长为 48 cm，对角线 AC、BD 相交于 O 点，E 是 AD 的中点，连接 OE，则线段 OE 的长为_______.
问题1 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢?
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢?
能. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，则 S菱形ABCD = 底×高 = BC·AE.
问题2 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积.
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD.∴ S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC= AC·BO + AC·DO= AC·(BO + DO)= AC·BD.
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
例4 如图，在菱形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，且在△AOB 中，OA＝5，OB＝12. 求菱形 ABCD 两对边的距离 h.
解：在 Rt△AOB 中，OA＝5，OB＝12，∴ S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30.∴ S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.而菱形两组对边的距离相等，∴ S菱形ABCD＝AB·h＝13h.∴ 13h＝120，解得 h＝ .
菱形的面积计算有如下方法：① 一边长与两对边的距离 (即菱形的高) 的积；② 四个小直角三角形的面积之和 (或一个小直角三角形面积的 4 倍)；③ 两条对角线长度乘积的一半．
例5 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到 0.01 m 和 0.1 m2）.
解：∵ 花坛 ABCD 是菱形，
【变式题】如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC 与∠BAD 的度数比为 1∶2，周长是 8 cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．
解：（1）∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AB = BC，AC⊥BD，AD∥BC.∴∠ABC +∠BAD = 180°.∵∠ABC 与∠BAD 的度数比为 1∶2，∴∠ABC = ×180° = 60°.∴ △ABC 是等边三角形，∠ABO = ∠ABC = 30°.∵ 菱形 ABCD 的周长是 8 cm，∴ AB = 2 cm.
菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形求解，当菱形中有一个角是 60° 或 120° 时，菱形可被一条对角线分为两个等边三角形.
如图，已知菱形的两条对角线分别为 6 cm 和 8 cm，则这个菱形的高 DE 为（　　）A. 2.4 cm B. 4.8 cm C. 5 cm D. 9.6 cm
1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等
2. 如图，在菱形 ABCD 中，AC = 8，BD = 6，则△ABD 的周长等于（ ） A. 18 B. 16 C. 15 D. 14
3. 根据下图填一填：（1）已知菱形 ABCD 的周长是 12 cm， 那么它的边长是 ______.（2）在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°， 则∠BAC＝_____°.（3）菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm， 则菱形的边长是______.
(4) 菱形的一个内角为 120°，平分这个内角的对角 线长为 11 cm，菱形的周长为_______.
(5) 菱形的面积为 64 cm2，两条对角线的比为 1∶2， 那么菱形最短的那条对角线长为_______.
4. 如图，四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的菱形，其中 对角线 BD 长 10 cm.
求：(1) 对角线 AC 的长度； (2) 菱形 ABCD 的面积.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴∠AED = 90°，
(2) 菱形 ABCD 的面积为
∴ AC = 2AE = 2×12 = 24 (cm).
5. 如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于 E． 求证：∠AFD =∠CBE．证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ CB = CD，CA 平分∠BCD．∴∠BCE =∠DCE．又 CE = CE，∴△BCE≌△DCE (SAS)．∴∠CBE =∠CDE． ∵ 在菱形 ABCD 中，AB∥CD， ∴∠AFD =∠EDC．∴∠AFD =∠CBE．
6. 如图，O 是菱形 ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点，CD ＝5 cm，OD＝3 cm；过点 C 作 CE∥DB，过点 B 作 BE∥AC，CE 与 BE 相交于点 E. (1) 求 OC 的长；
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD.在 Rt△OCD 中，由勾股定理得 OC＝4 cm.
解：∵ CE∥DB，BE∥AC，∴ 四边形 OBEC 为平行四边形.又∵ AC⊥BD，即∠COB＝90°，∴ 平行四边形 OBEC 为矩形.∵ OB＝OD＝3 cm，∴ S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12 (cm2).
6. 如图，O 是菱形 ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点，CD ＝5 cm，OD＝3 cm；过点 C 作 CE∥DB，过点 B 作 BE∥AC，CE 与 BE 相交于点 E. (2) 求四边形 OBEC 的面积．