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初中数学19.3 矩形 菱形 正方形优秀ppt课件
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这是一份初中数学19.3 矩形 菱形 正方形优秀ppt课件，共29页。PPT课件主要包含了一组邻边相等，菱形的性质，两组对边平行，四条边相等，两组对角分别相等，邻角互补，对角线，复习引入，且ABAD，数学语言等内容，欢迎下载使用。
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
两条对角线互相垂直平分每一条对角线平分一组对角
问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
思考 还有其他的判定方法吗？
小刚：分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 B，D，依次连接 A、B、C、D 四点.
已知线段 AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD，并使 AC 为该菱形的一条对角线吗？
想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
四条边相等的四边形是菱形
证明：∵ AB = BC = CD = AD， ∴ AB = CD，BC = AD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵ AB = BC， ∴ 四边形 ABCD 是菱形.
已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD.求证：四边形 ABCD 是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
AB = BC = CD = AD
几何语言描述：在四边形 ABCD 中，∵ AB = BC = CD = AD，
下列命题中正确的是 （ ）A. 一组邻边相等的四边形是菱形B. 三条边相等的四边形是菱形C. 四条边相等的四边形是菱形D. 四个角相等的四边形是菱形
证明：∵∠1 =∠2，AE = AC，AD = AD， ∴△ACD≌△AED (SAS). 同理，△ACF≌△AEF. ∴ CD = ED，CF = EF. 又∵ EF = ED， ∴ CD = ED = CF = EF. ∴ 四边形 CDEF 是菱形.
例1 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线， 点 E、F 分别在 AB、 AD 上，且 AE = AC，EF = ED.求证：四边形 CDEF 是菱形.
例2 如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm. 将△ABC 沿射线 BC 方向平移 10 cm，得到△DEF，A，B，C 的对应点分别是 D，E，F，连接AD. 求证：四边形 ACFD 是菱形．
证明：由平移的性质得 CF＝AD＝10 cm，DF＝AC.∵∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，∴ AC＝DF＝AD＝CF.∴ 四边形 ACFD 是菱形．
四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便.
证明：连接 AC、BD.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∵ 点 E、F、G、H 为各边中点，
∴ EF = FG = GH = EH，
∴ 四边形 EFGH 是菱形.
例3 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH，求证：四边形 EFGH 是菱形.
【变式题】如图，顺次连接对角线相等的四边形 ABCD 各边的中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？
解：四边形 EFGH 是菱形.
∵点 E、F、G、H 为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE.
顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到的四边形是菱形.
理由如下：连接 AC、BD.
思考 我们知道，把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分四边形 ABCD 的形状吗？
分析：易知四边形 ABCD 是平行四边形，只需证一组邻边相等即可进一步判断.
由题意可知 BC 边上的高和 CD 边上的高相等（AE = AF），
通过证△ABE≌△ADF（AAS），即得 AB = AD.
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形? 对此你有什么猜想？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC. 又∵ AC⊥BD， ∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线. ∴ BA = BC. ∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）.
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD.求证：□ABCD 是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言描述： 在 □ABCD 中，∵ AC⊥BD，
∴ □ABCD 是菱形.
例4 如图，□ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，AB = 5，AO = 4，BO = 3.求证：四边形 ABCD 是菱形.
又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∵ OA = 4，OB = 3，AB = 5，
∴ AB2 = OA2 + OB2.
∴△AOB 是直角三角形，
例5 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AE∥FC，∴∠1 =∠2. ∵ EF 垂直平分 AC， ∴ AO = OC. 又∠AOE =∠COF， ∴△AOE≌△COF. ∴ EO = FO. ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形. 又∵ EF⊥AC，∴ 四边形 AFCE 是菱形.
在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形 ABCD 是菱形，则这个条件可以是 （ ） A．∠ABC = 90° B．AC⊥BD C．AB = CD D．AB∥CD
例3 如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF＝BE，连接 CF.(1) 求证：四边形 BCFE 是菱形；
证明：∵ D、E 分别是 AB、AC 的中点，∴ DE∥BC，且 BC＝2DE.又∵ BE＝2DE，EF＝BE，∴ EF＝BC，EF∥BC.∴ 四边形 BCFE 是平行四边形.又∵ EF＝BE，∴ 四边形 BCFE 是菱形.
菱形的性质与判定的综合运用
解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°.∴△EBC 是等边三角形.∴ 菱形的边长为 4，高为 .∴ 菱形的面积为 .
(2) 若 CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形 BCFE 的面积.
判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出是菱形；如果只知道一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证明这个四边形是平行四边形．
如图，在 □ABCD 中，AC 平分∠DAB，AB = 2，求 □ABCD 的周长.
解：在 □ABCD 中，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC =∠ACB，∠BAC =∠ACD.∵ AC 平分∠DAB，∴∠DAC =∠BAC.∴∠DAC =∠ACD.∴ AD = CD.∴ 四边形 ABCD 为菱形.∴ 菱形 ABCD 的周长为 4AB = 4×2 = 8.
2. 一边长为 13 cm 的平行四边形，两条对角线的长分别 为 24 cm 和 10 cm，则其面积为 .
1. 判断下列说法是否正确：(1) 对角线互相垂直的四边形是菱形；(2) 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；(3) 对角线互相垂直，且有一组邻边相等的 四边形是菱形；(4) 两条邻边相等，且一条对角线平分一组 对角的四边形是菱形．
3. 如图，将△ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE，连接 AD，增加下列条件能够判定四边形 ACED 为菱形的是（ ） A．AB = BC B．AC = BC C．∠B = 60° D．∠ACB = 60°
解析：∵ 将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DCE，∴ AC∥DE，AC = DE.∴ 四边形 ACED 为平行四边形.当 AC = BC 时，平行四边形 ACED 是菱形．故选 B．
4. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE∥AC， CE∥BD. 求证：四边形 OCED 是菱形.
证明：∵ DE∥AC，CE∥BD，∴ 四边形 OCED 是平行四边形.∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ OC = OD.∴ 四边形 OCED 是菱形.
证明：∵ MN 是 AC 的垂直平分线，∴ AE = CE，AD = CD，OA = OC，∠AOD =∠EOC = 90°.∵ CE∥AB，∴ ∠DAO =∠ECO.∴ △ADO≌△CEO (ASA). ∴ AD = CE.∴ 四边形 ADCE 是平行四边形.又∵ DE⊥AC，∴ 四边形 ADCE 是菱形.
5. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CE∥AB 交 MN 于点 E，连接 AE、CD.求证：四边形 ADCE 是菱形.
证明：由尺规作∠BAF 的平分线的过程可得 AB = AF，∠BAE =∠FAE.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD∥BC. ∴∠FAE =∠AEB.∴∠BAE =∠AEB. ∴ AB = BE.∴ BE = FA. ∴ 四边形 ABEF 为平行四边形.∵ AB = AF，∴ 四边形 ABEF 为菱形.
6.如图，在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，连接 EF．（1）求证：四边形 ABEF 为菱形；
（2）AE，BF 相交于点 O，若 BF = 6，AB = 5，求 AE 的长．
解：∵ 四边形 ABEF 为菱形，∴ AE⊥BF，BO = FB = 3，AE = 2AO．在 Rt△AOB 中，由勾股定理得 AO = 4，∴ AE = 2AO = 8．
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
两条对角线互相垂直平分每一条对角线平分一组对角
问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
思考 还有其他的判定方法吗？
小刚：分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 B，D，依次连接 A、B、C、D 四点.
已知线段 AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD，并使 AC 为该菱形的一条对角线吗？
想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
四条边相等的四边形是菱形
证明：∵ AB = BC = CD = AD， ∴ AB = CD，BC = AD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵ AB = BC， ∴ 四边形 ABCD 是菱形.
已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD.求证：四边形 ABCD 是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
AB = BC = CD = AD
几何语言描述：在四边形 ABCD 中，∵ AB = BC = CD = AD，
下列命题中正确的是 （ ）A. 一组邻边相等的四边形是菱形B. 三条边相等的四边形是菱形C. 四条边相等的四边形是菱形D. 四个角相等的四边形是菱形
证明：∵∠1 =∠2，AE = AC，AD = AD， ∴△ACD≌△AED (SAS). 同理，△ACF≌△AEF. ∴ CD = ED，CF = EF. 又∵ EF = ED， ∴ CD = ED = CF = EF. ∴ 四边形 CDEF 是菱形.
例1 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线， 点 E、F 分别在 AB、 AD 上，且 AE = AC，EF = ED.求证：四边形 CDEF 是菱形.
例2 如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm. 将△ABC 沿射线 BC 方向平移 10 cm，得到△DEF，A，B，C 的对应点分别是 D，E，F，连接AD. 求证：四边形 ACFD 是菱形．
证明：由平移的性质得 CF＝AD＝10 cm，DF＝AC.∵∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，∴ AC＝DF＝AD＝CF.∴ 四边形 ACFD 是菱形．
四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便.
证明：连接 AC、BD.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∵ 点 E、F、G、H 为各边中点，
∴ EF = FG = GH = EH，
∴ 四边形 EFGH 是菱形.
例3 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH，求证：四边形 EFGH 是菱形.
【变式题】如图，顺次连接对角线相等的四边形 ABCD 各边的中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？
解：四边形 EFGH 是菱形.
∵点 E、F、G、H 为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE.
顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到的四边形是菱形.
理由如下：连接 AC、BD.
思考 我们知道，把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分四边形 ABCD 的形状吗？
分析：易知四边形 ABCD 是平行四边形，只需证一组邻边相等即可进一步判断.
由题意可知 BC 边上的高和 CD 边上的高相等（AE = AF），
通过证△ABE≌△ADF（AAS），即得 AB = AD.
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形? 对此你有什么猜想？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC. 又∵ AC⊥BD， ∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线. ∴ BA = BC. ∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）.
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD.求证：□ABCD 是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言描述： 在 □ABCD 中，∵ AC⊥BD，
∴ □ABCD 是菱形.
例4 如图，□ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，AB = 5，AO = 4，BO = 3.求证：四边形 ABCD 是菱形.
又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∵ OA = 4，OB = 3，AB = 5，
∴ AB2 = OA2 + OB2.
∴△AOB 是直角三角形，
例5 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AE∥FC，∴∠1 =∠2. ∵ EF 垂直平分 AC， ∴ AO = OC. 又∠AOE =∠COF， ∴△AOE≌△COF. ∴ EO = FO. ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形. 又∵ EF⊥AC，∴ 四边形 AFCE 是菱形.
在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形 ABCD 是菱形，则这个条件可以是 （ ） A．∠ABC = 90° B．AC⊥BD C．AB = CD D．AB∥CD
例3 如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF＝BE，连接 CF.(1) 求证：四边形 BCFE 是菱形；
证明：∵ D、E 分别是 AB、AC 的中点，∴ DE∥BC，且 BC＝2DE.又∵ BE＝2DE，EF＝BE，∴ EF＝BC，EF∥BC.∴ 四边形 BCFE 是平行四边形.又∵ EF＝BE，∴ 四边形 BCFE 是菱形.
菱形的性质与判定的综合运用
解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°.∴△EBC 是等边三角形.∴ 菱形的边长为 4，高为 .∴ 菱形的面积为 .
(2) 若 CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形 BCFE 的面积.
判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出是菱形；如果只知道一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证明这个四边形是平行四边形．
如图，在 □ABCD 中，AC 平分∠DAB，AB = 2，求 □ABCD 的周长.
解：在 □ABCD 中，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC =∠ACB，∠BAC =∠ACD.∵ AC 平分∠DAB，∴∠DAC =∠BAC.∴∠DAC =∠ACD.∴ AD = CD.∴ 四边形 ABCD 为菱形.∴ 菱形 ABCD 的周长为 4AB = 4×2 = 8.
2. 一边长为 13 cm 的平行四边形，两条对角线的长分别 为 24 cm 和 10 cm，则其面积为 .
1. 判断下列说法是否正确：(1) 对角线互相垂直的四边形是菱形；(2) 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；(3) 对角线互相垂直，且有一组邻边相等的 四边形是菱形；(4) 两条邻边相等，且一条对角线平分一组 对角的四边形是菱形．
3. 如图，将△ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE，连接 AD，增加下列条件能够判定四边形 ACED 为菱形的是（ ） A．AB = BC B．AC = BC C．∠B = 60° D．∠ACB = 60°
解析：∵ 将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DCE，∴ AC∥DE，AC = DE.∴ 四边形 ACED 为平行四边形.当 AC = BC 时，平行四边形 ACED 是菱形．故选 B．
4. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE∥AC， CE∥BD. 求证：四边形 OCED 是菱形.
证明：∵ DE∥AC，CE∥BD，∴ 四边形 OCED 是平行四边形.∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ OC = OD.∴ 四边形 OCED 是菱形.
证明：∵ MN 是 AC 的垂直平分线，∴ AE = CE，AD = CD，OA = OC，∠AOD =∠EOC = 90°.∵ CE∥AB，∴ ∠DAO =∠ECO.∴ △ADO≌△CEO (ASA). ∴ AD = CE.∴ 四边形 ADCE 是平行四边形.又∵ DE⊥AC，∴ 四边形 ADCE 是菱形.
5. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CE∥AB 交 MN 于点 E，连接 AE、CD.求证：四边形 ADCE 是菱形.
证明：由尺规作∠BAF 的平分线的过程可得 AB = AF，∠BAE =∠FAE.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD∥BC. ∴∠FAE =∠AEB.∴∠BAE =∠AEB. ∴ AB = BE.∴ BE = FA. ∴ 四边形 ABEF 为平行四边形.∵ AB = AF，∴ 四边形 ABEF 为菱形.
6.如图，在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，连接 EF．（1）求证：四边形 ABEF 为菱形；
（2）AE，BF 相交于点 O，若 BF = 6，AB = 5，求 AE 的长．
解：∵ 四边形 ABEF 为菱形，∴ AE⊥BF，BO = FB = 3，AE = 2AO．在 Rt△AOB 中，由勾股定理得 AO = 4，∴ AE = 2AO = 8．
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