河南省商丘市虞城县2022年中考数学三模试卷（B卷）(含答案)

这是一份河南省商丘市虞城县2022年中考数学三模试卷（B卷）(含答案)，共34页。试卷主要包含了填空题，解答题，八年级学生均参与了此次竞赛．等内容，欢迎下载使用。
河南省商丘市虞城县2022年中考数学三模试卷（B卷）解析版
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内。
1．﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
2．小竹做实验时十分严谨，测量出此时的大气压为一个标准大气压（101300Pa），其中，101300用科学记数法可以表示为（　　）
A．10.13×104 B．10.13×105 C．1.013×104 D．1.013×105
3．下列调查中，不适合采用抽样调查的是（　　）
A．了解全国中小学生的睡眠时间
B．了解全国初中生的兴趣爱好
C．了解江苏省中学教师的健康状况
D．了解航天飞机各零部件的质量
4．课前，小明拿着数学刘老师的一副三角板教具进行摆放，如图，他发现，按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，其中一个三角板的斜边与课桌一边重合，则∠1的度数是（　　）

A．30° B．45° C．50° D．60°
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．关于菱形，下列说法错误的是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．四条边相等 D．对角线互相平分
7．若方程x2﹣3x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值不可能是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．3
8．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，若搭成该几何体的小正方体的个数最多是a，最少是b，则a﹣b的值为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
9．如图，平行四边形OABC中，点O为原点，点A在x轴正半轴上，反比例函数的图象经过顶点C，且经过对角线OB上一点D，若点D的坐标为（4，2），平行四边形OABC的面积为，则顶点B的坐标为（　　）

A．（5，3） B． C． D．
10．如图，等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，以点B为圆心，以AB的长为半径作弧交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．函数y＝+的自变量x的取值范围是　 　．
12．化简：＝　 　．
13．如图是两个可以自由转动的转盘，其中一个转盘平均分为4份，另一个转盘平均分为3份，两个转盘分别标有数字．同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为5的概率是 　 　．

14．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，以BE为边在正方形内部作等边三角形BEF，过点F作FG⊥EF，交AD于点G．则DG的长为 　 　．

15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点P，Q分别为AB，BC上一个动点，将△PQB沿PQ折叠得到△PQD，点B的对应点是点D，若点D始终在边AC上，当△APD与△ABC相似时，AP的长为 　 　．

三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：3tan30°﹣（π﹣3）0+（﹣）﹣2﹣|﹣|；
（2）化简：（a+2）2﹣（a+3）（a﹣3）﹣a（a+1）．
17．（9分）2022年将迎来中国共产主义青年团成立100周年，某中学响应市团委号召，开展了“我是共产主义接班人”的主题知识竞赛．七、八年级学生均参与了此次竞赛．
收集、整理数据：某兴趣小组分别从七、八年级同学的竞赛成绩中各抽查了40名同学
的成绩．整理如下：
七年级40名同学的成绩分布
分数段
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数（人数）
6
11
15
8
七年级40名同学成绩的统计量
统计量
平均数
中位数
众数
方差
数据
82
m
n
105
八年级40名同学成绩的统计量
统计量
平均数
中位数
众数
方差
数据
82
80
80
124
分析数据：
（1）已知七年级40名同学成绩的中位数和众数均在80≤x＜90，下面是该组成绩的具体数据：85，80，85，80，85，85，85，85，80，85，80，85，85，80，80，则m＝　 　，n＝　 　；
（2）根据以上所给的数据，你认为哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由；
解决问题：
（3）已知该校七年级共有学生600名．若规定此次竞赛成绩在90≤x≤100的学生将获得一等奖，求该校七年级获得一等奖的学生人数．
18．（9分）如图，以AB为直径的半圆O中，点C为半圆上一个动点，连接AC，AD为∠BAC的角平分线，交半圆O于点D，过点D作半圆O的切线交AB的延长线于点E．
（1）求证：∠DAC＝∠EDB．
（2）已知OA＝5．
①若四边形CAOD为菱形，则弧AC的长为 　 　；
②若AC＝8，求DE的长．

19．（9分）如图，海上军事演习区域大致为不规则的四边形ABCD，点B在点A正西250km处，点C在点B的正北方向，且点C在点A的北偏西30°方向上，点D在点A的北偏东37°方向上，且AD距离为300km，求这次海空联合军事演习区域ABCD的面积．（参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36，≈1.73）

20．（9分）某校八年级（2）班50位同学准备在五一当天利用班费集体去本地某游乐园游玩，经了解，该游乐园票价为200元/人，但对学生门票价格实行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折．10人以上超过10人的部分打b折，班委会进行了统计，设学生为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与学生x（人）之间的函数关系如图所示．
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（3）后来，由于五一当天部分同学家中有事不能前去游玩，只能安排这些同学在暑假中（非节假日）游玩，该班的班费不超过5440元，且全部用到了门票上，则五一当天至少有多少同学未能去游玩？

21．（9分）已知二次函数y＝x2+bx+c．
（1）若该函数图象经过（3，0）和（2，﹣3）两点，求此函数的解析式；
（2）当c＝4﹣b时，
①当该二次函数图形顶点最高时，求b的值；
②在①的条件下，若m﹣4≤x≤m时，函数有最小值为14，求m的值．
22．（10分）如图，以AB为直径的半圆O内部有一点C，点P为AB上一个动点，作射线PC交半圆O于点D，连接BD．已知AB＝8cm，设AP的长度为xcm，BD的长度为y1cm，PD的长度为y2cm．
小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随x的变化规律进行了探究．
以下是小明的研究过程，请补充完整：
（1）小明根据x的值对y1，y2进行画图，测量，得到以下表格：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y1/cm
4.03
4.64
5.47
6.32
6.93
7.24
7.40
7.50
7.55
y2/cm
6.91
5.73
4.59
3.88
m
4.70
5.61
6.57
7.55
小明说，m的值是确定的，不需要测量，为什么？请说明理由并直接写出m的值．
（2）小明在如图的平面直角坐标系中作出了y1关于x的函数图象，请你根据小明的分析，在同一平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象．
（3）结合函数图象，请判断：当△PBD为等腰三角形时，AP的长度大约是 　 　．（结果保留一位小数）

23．（10分）在学习“角平分线的性质定理”的知识点时，刘老师编写了本书的导学案，请按要求完成以下任务：
已知：如图1，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E，求证：PD＝PE．
（1）任务一：请写出证明过程
小明的证明过程如下：
证明：∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠AOP＝∠BOP，
∵PE⊥OB于E，PD⊥OA于D，∴∠PEO＝∠PDO＝90°，
∵在△POD与△POE中，∠POD＝∠POE
∴∠PDO＝∠PEO
∴OP＝OP
∴△POD≌△POE，∴PD＝PE；
请回答：①小明得出△POD≌△POE的依据是 　 　（填序号）．
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
E．HL
②根据证明，可得出角平分线的性质定理为 　 　；
（2）任务二：根据定理初步应用
如图2，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，求出点D到AB边的距离；
（3）任务三：拓展研究
如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点D是△ABC的内心，点P、Q分别在边AC、BC上，且∠PDQ＝45°，连接PQ，则△CPQ的周长为 　 　．



参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内。
1．﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
【分析】根据求一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，即可得出答案．
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义．解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．小竹做实验时十分严谨，测量出此时的大气压为一个标准大气压（101300Pa），其中，101300用科学记数法可以表示为（　　）
A．10.13×104 B．10.13×105 C．1.013×104 D．1.013×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将数101300用科学记数法表示为1.013×105．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列调查中，不适合采用抽样调查的是（　　）
A．了解全国中小学生的睡眠时间
B．了解全国初中生的兴趣爱好
C．了解江苏省中学教师的健康状况
D．了解航天飞机各零部件的质量
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【解答】解：A．了解全国中小学生的睡眠时间适合抽样调查；
B．了解全国初中生的兴趣爱好适合抽样调查；
C．了解江苏省中学教师的健康状况适合抽样调查；
D．了解航天飞机各零部件的质量适合全面调查；
故选：D．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4．课前，小明拿着数学刘老师的一副三角板教具进行摆放，如图，他发现，按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，其中一个三角板的斜边与课桌一边重合，则∠1的度数是（　　）

A．30° B．45° C．50° D．60°
【分析】通过平行线的性质作答．
【解答】解：将图形标记如下：

由题意可得∠3＝45°，∠1+∠2＝90°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝45°，
∴∠1＝90°﹣∠2＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解．
【解答】解：，
由①得x＜1；
由②得x≥﹣1；
故不等式组的解集为﹣1≤x＜1，
在数轴上表示出来为：．
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．
6．关于菱形，下列说法错误的是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．四条边相等 D．对角线互相平分
【分析】由菱形的性质可求解．
【解答】解：菱形的性质有：对角线互相垂直平分，四边相等，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键．
7．若方程x2﹣3x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值不可能是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．3
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4a＞0，解不等式得到a的取值范围，然后对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4a＞0，
解得a＜，
所以a不可能取3．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，若搭成该几何体的小正方体的个数最多是a，最少是b，则a﹣b的值为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】分别画出需要小正方体最多和最少时的俯视图，并在俯视图的相应位置上分别标出该位置所摆放的小正方体的个数，得出a、b的值，再计算a﹣b即可．
【解答】解：需要小正方体个数最少时的俯视图如下：

所以b＝9，
需要小正方体个数最多时的俯视图如下：

所以a＝15，
于是a﹣b＝15﹣9＝6，
故选：A．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的前提，在俯视图的相应位置上分别标出该位置所摆放的小正方体的个数是正确解答的关键．
9．如图，平行四边形OABC中，点O为原点，点A在x轴正半轴上，反比例函数的图象经过顶点C，且经过对角线OB上一点D，若点D的坐标为（4，2），平行四边形OABC的面积为，则顶点B的坐标为（　　）

A．（5，3） B． C． D．
【分析】由待定系数法可求得反比例函数的解析式为y＝，直线OB的解析式为y＝x，设点C的坐标为（a，），可得点B的纵坐标为，则B（，），BC＝﹣a，S平行四边形OABC＝2S△OAB＝2××（﹣a）×＝，解得a＝3或a＝﹣3（舍去），即可得点B的坐标．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点D（4，2），
∴k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝，
设直线OB的解析式为y＝mx，
将点D（4，2）代入，
得2＝4m，
解得m＝，
∴直线OB的解析式为y＝x，
设点C的坐标为（a，），
∵四边形OABC为平行四边形，
∴BC∥OA，
∴点B的纵坐标为，
将y＝代入y＝x，
得x＝，
∴B（，），
∴BC＝﹣a，
∴S平行四边形OABC＝2S△OAB＝2××（﹣a）×＝，
解得a＝3或a＝﹣3（舍去），
∴点B的坐标为（，）．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键．
10．如图，等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，以点B为圆心，以AB的长为半径作弧交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C＝30°，根据平行线性质可得，∠EDF＝∠C＝30°，则△EBD为等腰三角形，可得，在Rt△EDF中，根据正切函数的定义可得tan∠EDF＝，即可算出EF的长度，则可算出S△EBD的面积和S扇ABD＝的面积，阴影部分的面积等于S阴＝S扇ABD﹣S△EBD代入计算即可得出答案．
【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵ED∥AC，
∴∠EDF＝∠C＝30°，
∵AB＝BD＝2，
∴＝1，
在Rt△EDF中，
∵tan∠EDF＝，
∴tan30°＝．
∴EF＝，
S△EBD＝＝＝，
S扇ABD＝＝＝，
S阴＝S扇ABD﹣S△EBD＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握扇形面积的计算，等腰三角形的性质及平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．函数y＝+的自变量x的取值范围是　x≥1且x≠3　．
【分析】根据分式、二次根式有意义的条件，构建不等式组即可解决问题；
【解答】解：由题意，
∴x≥1且x≠3，
故答案为∴x≥1且x≠3
【点评】本题考查函数的自变量的取值范围，解题的关键是熟练掌握分式、二次根式有意义的条件，学会根据不等式组解决问题．
12．化简：＝　﹣　．
【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题．
【解答】解：
＝（﹣）•
＝•
＝•
＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
13．如图是两个可以自由转动的转盘，其中一个转盘平均分为4份，另一个转盘平均分为3份，两个转盘分别标有数字．同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为5的概率是 　　．

【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中两数字之和为5的结果数为3，
所以指针所指区域内的数字之和为5的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，以BE为边在正方形内部作等边三角形BEF，过点F作FG⊥EF，交AD于点G．则DG的长为 　　．

【分析】先利用等边三角形的性质得到EF＝BE＝2，∠BEF＝60°，连接GE，再证Rt△AEG和Rt△FEG全等，进而可得∠AEG＝60°，最后利用锐角三角函数进而可求出AG长，进而可得DG．
【解答】解：∵E是AB的中点，
∴AE＝BE＝2，
∵△BEF是等边三角形，
∴EF＝BE＝2，∠BEF＝60°，
∴AE＝EF，
连接GE，
在Rt△AEG和Rt△FEG中，
，
∴Rt△AEG≌Rt△FEG（HL），
∴∠AEG＝∠FEG＝（180°﹣60°）÷2＝60°，
在Rt△AEG中，AG＝AE•tan60°＝2×＝2，
∴DG＝AD﹣AG＝4﹣．
故答案为：4﹣．

【点评】本题主要考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，连接GE，证Rt△AEG和Rt△FEG全等是解题关键．
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点P，Q分别为AB，BC上一个动点，将△PQB沿PQ折叠得到△PQD，点B的对应点是点D，若点D始终在边AC上，当△APD与△ABC相似时，AP的长为 　或　．

【分析】根据直角三角形的性质可得AB＝4，当△APD与△ABC相似时，设AP＝x，则PB＝PD＝4﹣x，分两种情况：①①△APD∽△ABC，②△APD∽△ACB，分别列方程求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，∠B＝60°，
当△APD与△ABC相似时，
∵点D始终在边AC上，
根据折叠PB＝PD，
设AP＝x，则PB＝PD＝4﹣x，
∴分两种情况：
①△APD∽△ABC，
此时∠ADP＝∠ACB＝90°，
∴AP＝2DP，
即x＝2（4﹣x），
解得x＝，
∴AP＝，
②△APD∽△ACB，
此时∠APD＝∠ACB＝90°，
∴DP＝AP•tan30°＝AP，
即4﹣x＝x，
解得x＝，
∴AP＝，
综上，AP的长为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键，注意△APD与△ABC相似要分情况讨论．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：3tan30°﹣（π﹣3）0+（﹣）﹣2﹣|﹣|；
（2）化简：（a+2）2﹣（a+3）（a﹣3）﹣a（a+1）．
【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝3×﹣1+4﹣2
＝﹣1+4﹣2
＝3﹣；
（2）原式＝a2+4a+4﹣a2+9﹣a2﹣a
＝﹣a2+3a+13．
【点评】此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（9分）2022年将迎来中国共产主义青年团成立100周年，某中学响应市团委号召，开展了“我是共产主义接班人”的主题知识竞赛．七、八年级学生均参与了此次竞赛．
收集、整理数据：某兴趣小组分别从七、八年级同学的竞赛成绩中各抽查了40名同学
的成绩．整理如下：
七年级40名同学的成绩分布
分数段
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数（人数）
6
11
15
8
七年级40名同学成绩的统计量
统计量
平均数
中位数
众数
方差
数据
82
m
n
105
八年级40名同学成绩的统计量
统计量
平均数
中位数
众数
方差
数据
82
80
80
124
分析数据：
（1）已知七年级40名同学成绩的中位数和众数均在80≤x＜90，下面是该组成绩的具体数据：85，80，85，80，85，85，85，85，80，85，80，85，85，80，80，则m＝　80　，n＝　85　；
（2）根据以上所给的数据，你认为哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由；
解决问题：
（3）已知该校七年级共有学生600名．若规定此次竞赛成绩在90≤x≤100的学生将获得一等奖，求该校七年级获得一等奖的学生人数．
【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义可得m、n的值；
（2）依据表格中平均数、中位数、众数，方差做出判断即可；
（3）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）七年级40名同学成绩在80≤x＜90组的具体数据从小到大排列，排在中间的两个数都是80，故中位数m＝80；
∵七年级40名同学成绩的众数均在80≤x＜90组，
∴七年级40名同学成绩出现次数最多的是85，故众数n＝85；
故答案为：80；85；

（2）七年级学生的竞赛成绩较好，理由如下：
两个年级的平均数、中位数相同，而七年级的成绩的众数均大于八年级，方差小于八年级，
∴七年级学生的竞赛成绩较好；

（3）600×＝120（人），
答：该校七年级获得一等奖的学生人数有120人．
【点评】本题考查中位数、众数、平均数、方差以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数、方差的计算方法是正确解答的关键．
18．（9分）如图，以AB为直径的半圆O中，点C为半圆上一个动点，连接AC，AD为∠BAC的角平分线，交半圆O于点D，过点D作半圆O的切线交AB的延长线于点E．
（1）求证：∠DAC＝∠EDB．
（2）已知OA＝5．
①若四边形CAOD为菱形，则弧AC的长为 　π　；
②若AC＝8，求DE的长．

【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理及切线的性质推出∠ADO＝∠BDE，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义推出∠OAD＝∠DAC，进而得出∠DAC＝∠EDB；
（2）①根据菱形的性质得到CA＝AO＝CD＝OD，再根据圆的性质推出△AOC是等边三角形，则∠AOC＝60°，根据弧长公式求解即可；
②根据圆内接四边形的性质、结合（1）推出△CAD∽△BDE，根据相似三角形的性质得出＝＝，∠ADC＝∠E，进而推出△ACD∽△ADE，根据相似三角形的性质推出BD＝CD，进而结合勾股定理求出BE＝，OE＝，再根据勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：连接OD，

∵AB为半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO+∠ODB＝90°，
∵DE是半圆O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠BDE+∠ODB＝90°，
∴∠ADO＝∠BDE，
∵AO＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠BDE；
（2）解：①连接CO、OD，

∵四边形CAOD是菱形，
∴CA＝AO＝CD＝OD，
∵OA＝OC＝OD，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴的长度为：＝π，
故答案为：π；
②∵四边形ACDB内接于半圆O，
∴∠ACD+∠DBA＝180°，
∵∠DBE+∠DBA＝180°，
∴∠ACD＝∠DBE，
又∵∠DAC＝∠EDB，
∴△CAD∽△BDE，
∴＝＝，∠ADC＝∠E，
∴AD•BD＝AC•DE，
∴DE＝，
∵∠ADC＝∠E，∠EAD＝∠DAC，
∴△ACD∽△ADE，
∴＝＝，
∴AD•CD＝AC•DE，
∴DE＝，
∴＝，
∴BD＝CD，
∵AC＝8，
∴AD2＝8AE，BD2＝8BE，
∵∠ADB＝90°，
∴AD2+BD2＝AB2，
即8AE+8BE＝100，
∴8（10+BE）+8BE＝100，
∴BE＝，
∴OE＝，
∴DE＝＝＝．
【点评】此题是圆的综合题，考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
19．（9分）如图，海上军事演习区域大致为不规则的四边形ABCD，点B在点A正西250km处，点C在点B的正北方向，且点C在点A的北偏西30°方向上，点D在点A的北偏东37°方向上，且AD距离为300km，求这次海空联合军事演习区域ABCD的面积．（参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36，≈1.73）

【分析】过点D作DE⊥AC于E，由方向角和锐角三角函数的定义求出AC、BC，求出△ABC的面积，再由锐角三角函数定义求出DE的长，得△ACD的面积，然后由S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于E，

由题意可知∠CAF＝30°，AB＝250km，∠DAF＝37°，AD＝300km，
在Rt△ABC中，∠ACB＝∠CAF＝30°，AB＝250km，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，
∴AD＝250（km），AC＝2AB＝500（km），
∴S△ABC＝AB•BC＝×250×250≈31250×1.73＝54062.5（km2），
在Rt△ADE中，∠DAE＝30°+37°＝67°，
∴DE＝AD•sin67°≈300×0.92＝276（km），
∴S△ACD＝AC•DE≈×500×276＝69000（km2），
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD≈54062.5+69000＝123062.5（km2）．
即这次海空联合军事演习区域ABCD的面积约为123062.5km2．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的定义和锐角三角函数的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．（9分）某校八年级（2）班50位同学准备在五一当天利用班费集体去本地某游乐园游玩，经了解，该游乐园票价为200元/人，但对学生门票价格实行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折．10人以上超过10人的部分打b折，班委会进行了统计，设学生为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与学生x（人）之间的函数关系如图所示．
（1）a＝　4　，b＝　5　；
（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（3）后来，由于五一当天部分同学家中有事不能前去游玩，只能安排这些同学在暑假中（非节假日）游玩，该班的班费不超过5440元，且全部用到了门票上，则五一当天至少有多少同学未能去游玩？

【分析】（1）根据函数图象，用购票款数除以定价的款数，计算即可求出a的值；用第11人到20人的购票款数除以定价的款数，计算即可求出b的值；
（2）利用待定系数法可求出y1与x之间的函数关系式，分0≤x≤10与x＞10两种情况，利用待定系数法可求y2与x之间的函数关系式；
（3）设学校安排n人“五一”假期游玩，则安排暑假游玩的人数为（50﹣n）人，然后分0≤n≤10与n＞10两种情况，根据（2）的函数关系式列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）∵y1图象过点（10，800），即10人的费用为800元，
∴a＝×10＝4，
∵y2图象过点（10，2000）和（20，3000），即20人中后10人费用为1000元，
∴b＝×10＝5，
故答案为：4，5；
（2）设y1＝k1x，
∵函数图象经过点（0，0）和（10，800），
∴10k1＝800，
∴k1＝80，
∴y1与x之间的函数关系式为y1＝80x；
设y2＝k2x+b，
①当0≤x≤10时，
∵函数图象经过点（0，0）和（10，2000），
∴10k2＝2000，
∴k2＝200，
∴y2＝200x，
②当x＞10时，
∵函数图象经过点（10，2000）和（20，3000），
∴，
解得：，
∴y2＝100x+1000；
综上所述，y2与x之间的函数关系式为y2＝；
（3）设共n名学生五一当天去游玩，则暑假去游玩的人数为（50﹣n）人，
当0＜n≤10时，200n+80 （50﹣n）≤5440，
解得n＜12，
∴0＜n≤10，
则50＞50﹣n≥40；
当n＞10时，100n+1000+80×（50﹣n）≤5440，
解得n≤22，
∴10＜n≤22，
∴40＞50﹣n≥28
综上所述，则五一当天至少有28位同学未能去游玩．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，利用了待定系数法求一次函数解析式，准确识图获取必要的信息并理解打折的意义是解题的关键，（3）要注意分情况讨论．
21．（9分）已知二次函数y＝x2+bx+c．
（1）若该函数图象经过（3，0）和（2，﹣3）两点，求此函数的解析式；
（2）当c＝4﹣b时，
①当该二次函数图形顶点最高时，求b的值；
②在①的条件下，若m﹣4≤x≤m时，函数有最小值为14，求m的值．
【分析】（1）通过待定系数法求解．
（2）①将二次函数解析式化为顶点式，求出抛物线顶点纵坐标最大值时b的值．
②由①可得x＝m﹣4或x＝m时函数取最小值，进而求解．
【解答】解：（1）将（3，0）和（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3．
（2）①∵c＝4﹣b，
∴y＝x2+bx+4﹣b＝（x+）2﹣﹣b+4，
∴抛物线顶点坐标为（﹣，﹣﹣b+4），
∵﹣﹣b+4﹣＝﹣（b+2）2+5，
∴当b＝﹣2时，顶点最高．
②当b＝﹣2时，c＝4﹣b＝6，
∴y＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5，
∴抛物线顶点坐标为（1，5），
当1＜m﹣4时，m＞5，
x＝m﹣4时，y＝（m﹣5）2+5为函数最小值，
∴（m﹣5）2+5＝14，
解得m＝8或m＝2（舍），
当m＜1时，y＝（m﹣1）2+5为函数最小值，
∴（m﹣1）2+5＝14，
解得m＝4（舍）或m＝﹣2，
综上所述，m＝8或m＝﹣2．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
22．（10分）如图，以AB为直径的半圆O内部有一点C，点P为AB上一个动点，作射线PC交半圆O于点D，连接BD．已知AB＝8cm，设AP的长度为xcm，BD的长度为y1cm，PD的长度为y2cm．
小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随x的变化规律进行了探究．
以下是小明的研究过程，请补充完整：
（1）小明根据x的值对y1，y2进行画图，测量，得到以下表格：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y1/cm
4.03
4.64
5.47
6.32
6.93
7.24
7.40
7.50
7.55
y2/cm
6.91
5.73
4.59
3.88
m
4.70
5.61
6.57
7.55
小明说，m的值是确定的，不需要测量，为什么？请说明理由并直接写出m的值．
（2）小明在如图的平面直角坐标系中作出了y1关于x的函数图象，请你根据小明的分析，在同一平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象．
（3）结合函数图象，请判断：当△PBD为等腰三角形时，AP的长度大约是 　1.5cm或4.0cm或2.2cm　．（结果保留一位小数）

【分析】（1）根据x＝4cm，可知点P与圆心O重合，则PD＝OD＝4cm；
（2）通过描点，连线画出图象即可；
（3）当BD＝PD，即y1＝y2时，结合函数图像y1，y2有两个交点，当BP＝DP时，由点P与点O重合时，当BD＝BP时，由BP＝8﹣x，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵直径AB＝8cm，
∴x＝4cm，点P与圆心O重合，
又∵D在圆上，OD＝cm，
∴PD＝OD＝4cm，
∴m的值为4；
（2）根据小明的分析，在图2中的平面直角坐标系中描点连线作出y2关于x的图象如下：

（3）△PBD为等腰三角形，
当BD＝PD，即y1＝y2时，结合函数图像y1，y2有两个交点，
①x≈1.5cm时，BD＝PD≈5.1cm，
②x＝8.0cm时，BD＝PD＝7.55cm，此时点B与点P完全重合，且与点D在一条直线上，无法构成三角形，故舍去，
当BP＝DP时，由点P与点O重合时，
③x＝4cm时，BP＝DP＝4cm，
当BD＝BP时，由BP＝8﹣x，即要找y1＝8﹣x的点，结合函数图象可知x≈2.2，
综上，AP的长度大约是1.5cm或4.0cm或2.2cm，
故答案为：1.5cm或4.0cm或2.2cm，
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了动点问题的函数图象，圆的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
23．（10分）在学习“角平分线的性质定理”的知识点时，刘老师编写了本书的导学案，请按要求完成以下任务：
已知：如图1，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E，求证：PD＝PE．
（1）任务一：请写出证明过程
小明的证明过程如下：
证明：∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠AOP＝∠BOP，
∵PE⊥OB于E，PD⊥OA于D，∴∠PEO＝∠PDO＝90°，
∵在△POD与△POE中，∠POD＝∠POE
∴∠PDO＝∠PEO
∴OP＝OP
∴△POD≌△POE，∴PD＝PE；
请回答：①小明得出△POD≌△POE的依据是 　C　（填序号）．
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
E．HL
②根据证明，可得出角平分线的性质定理为 　角平分线上的点到这个角两边的距离相等　；
（2）任务二：根据定理初步应用
如图2，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，求出点D到AB边的距离；
（3）任务三：拓展研究
如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点D是△ABC的内心，点P、Q分别在边AC、BC上，且∠PDQ＝45°，连接PQ，则△CPQ的周长为 　4　．


【分析】（1）①小明得出△POD≌△POE的依据是AAS；
②由OC是∠AOB的角平分线，PE⊥OB于E，PD⊥OA于D得PD＝PE，可知角平分线的性质定理为角平分线上的点到这个角两边的距离相等；
（2）过D作DE⊥AB于E，根据CD：BD＝3：4．BC＝21，得CD＝9，又AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，即得DE＝CD＝9，点D到AB边的距离是9；
（3）过D作DF⊥AC于F，DE⊥BC于E，DH⊥AB与H，连接AD、BD、CD，过D作DG⊥DP交BC于G，根据点D是△ABC的内心，得DE＝DF＝DH，由面积法可得DF＝DE＝DH＝2，证明△FDP≌△EDG（AAS），得PF＝EG，PD＝GD，即可证明△PDQ≌△GDQ（SAS），得PQ＝GQ，故△CPQ的周长CP+CQ+PQ＝（2﹣PF）+（2﹣QE）+GQ＝4．
【解答】解：（1）①小明得出△POD≌△POE的依据是AAS，
故答案为：C；
②由OC是∠AOB的角平分线，PE⊥OB于E，PD⊥OA于D得PD＝PE，
故答案为：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；
（2）过D作DE⊥AB于E，如图：

∵CD：BD＝3：4．BC＝21，
∴CD＝21×＝9，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝9，
∴点D到AB边的距离是9；
（3）过D作DF⊥AC于F，DE⊥BC于E，DH⊥AB与H，连接AD、BD、CD，过D作DG⊥DP交BC于G，如图：

∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13，
∵点D是△ABC的内心，
∵DF⊥AC，DE⊥BC，DH⊥AB，
∴DE＝DF＝DH，
∵S△ABC＝S△ACD+S△ABD+S△BCD，
×5×12＝×5×DF+×12×DE+×13×DH，
∴DF＝DE＝DH＝2，
∵∠C＝∠DFC＝∠DEC＝90°，DF＝DE，
∴四边形DECF是正方形，CF＝CE＝2，
∴∠FDE＝90°，
∵DG⊥DP，
∴∠FDP＝90°﹣∠PDE＝∠GDE，
∵∠DFP＝90°＝∠DEG，DF＝DE，
∴△FDP≌△EDG（AAS），
∴PF＝EG，PD＝GD，
∵∠PDQ＝45°，
∴∠QDG＝∠PDG﹣∠PDQ＝45°＝∠PDQ，
又DQ＝DQ，
∴△PDQ≌△GDQ（SAS），
∴PQ＝GQ，
∴△CPQ的周长CP+CQ+PQ
＝（2﹣PF）+（2﹣QE）+GQ
＝（2﹣PF）+（2﹣QE）+（QE+EG）
＝2﹣PF+2﹣QE+QE+PF
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到这个角两边的距离相等及三角形内心等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．