宁夏银川十五中2022年中考数学二模试卷(含答案)

这是一份宁夏银川十五中2022年中考数学二模试卷(含答案)，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题.3第16题图，解答题等内容，欢迎下载使用。
宁夏银川十五中2022年中考数学二模试卷(解析版)
一、选择题（下列各题中的四个选项只有一个是正确的，每小题3分，共24分）
1．新冠病毒的直径为0.000000125米，这个数据用科学记数法表示为（　　）
A．1.25×10﹣10 B．1.25×10﹣11 C．1.25×10﹣8 D．1.25×10﹣7
2．下列计算正确的是（　　）
A．（﹣2a）2＝2a2 B．a6÷a3＝a2
C．﹣2（a﹣1）＝2﹣2a D．a•a2＝a2
3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．圆 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．菱形
4．在平面直角坐标系中，若点P（m﹣1，m+2）在第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣2 B．m＞1 C．m＞﹣2 D．﹣2＜m＜1
5．小明收集了银川市某酒店2022年3月1日～3月6日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如图所示的折线统计图，下列结论正确的是（　　）

A．平均数是 B．众数是10
C．方差是 D．中位数是8.5
6．如图，函数y＝与y＝﹣ax2+a（其中a≠0），同一直角坐标系中的大致图象可能（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为（　　）

A．102° B．112° C．122° D．92°
8．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．分解因式：ax2﹣4a＝　 　．
10．如图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为 　 　．（结果保留π）

11．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 　 　．

12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝88°，则∠BCD的度数是　 　．

13．如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝10，分别以点A、D为圆心，以大于AD为半径画弧，交于M、N，连接MN，交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF周长为 　 　．

14．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是　 　m（结果保留根号）

15．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 　 　元．
16．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为　 　．

三、解答题（本题共有6小题，每小题0分，.共36分）.3第16题图
17．先化简代数式：（）÷，再从﹣2，﹣1，0，1中取一个合适的整数值代入，求出代数式的值．
18．解不等式组：．
19．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（5，1）．
（1）把△ABC平移后，其中点A移到点A1（4，5），画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2．

20．冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：

A款玩偶
B款玩偶
进货价（元/个）
20
15
销售价（元/个）
28
20
（1）第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．
（2）第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
21．如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，且BC＝10，∠BAC＝90°，求BE的长．

22．我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新冠疫苗接种．为了解接种进度．该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类一一接种了只需要注射一针的疫苗；B类一一接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类一一接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类一一还没有接种．图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整）．

请根据统计图回答下列问题
（1）此次抽样调查的人数是 　 　人；m＝　 　；n＝　 　；
（2）请估计该小区所居住的18000名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种．
（3）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，请用列表或树状图的方法求恰好抽到一男和一女的概率．
四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）
23．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⨀O上，当点P在⨀O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON．当AP与⨀O相切时，点B恰好落在⨀O上，如图2．
请仅就图2的情形解答下列问题．
（1）求证：∠PAO＝2∠PBO；
（2）若⨀O的半径为5，AP＝，求BP的长．

24．在矩形OABC中，点B（﹣2，﹣4），点E是AB的中点，反比例函数y1＝（k≠0且x＜0）的图象经过点E，交BC于点F，直线EF的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1＝的解析式和直线y2＝mx+n的解析式；
（2）在反比例函数y1＝的图象上找一点D，使△ADE的面积为1，求点D的坐标．
25．科学研究表明，人在运动时其心脏所能承受的最高心跳速度通常与其年龄有关，已知在一定年龄范围内，不同年龄的人在运动时其心脏所能承受的最高心欧速度如下表：
年龄n（岁）
…
15
21
27
33
39
45
…
…
最高心跳速度T（次/分钟）
…
164
160
156
152
148
144
…
定义：对于一个身体健康的人来说，．设其在运动时的心跳速度为t次/分钟，心跳安全系数S＝T﹣t，当S≤5时，为危险状态，当5＜S≤10时，为有安全风险状态，当S＞10时，为安全状态．
（1）通过观察图表，．猜想出T与n之间的函数关系式；
（2）试判断一个42岁的身体健康的人在运动时心跳速度达到什么范围时处于有安全风险状态；
（3）若李大爷今年年龄为54岁，他在一次长跑运动后测得的心跳速度为每10秒钟22次，那么此时他的心跳安全系数是多少？他的心跳安全状态是怎样的？
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D、G分别在边BC上，BD＝4cm，点G在CD的中点上，以DG为边的矩形DEFG的顶点E在边AB上，动点M从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向C运动，过点M作MN∥AB交AC于点N．设点M的运动时间为t（s），矩形DEFG与△MCN重叠部分图形的面积为s（cm2）．
（1）在点M的运动过程中，当线段MN与矩形DEFG的边DE有交点，令交点为H，用含t的代数式表示线段DH的长．
（2）求s与t的函数关系式．
（3）点M出发的同时，动点P从点D出发，以acm/s的速度沿D﹣E﹣F﹣G﹣F运动，点Q是线段MN的中点．在点M的运动过程中，若点P、Q能够重合在矩形DEFG的边上，求动点P的速度a．


参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题中的四个选项只有一个是正确的，每小题3分，共24分）
1．新冠病毒的直径为0.000000125米，这个数据用科学记数法表示为（　　）
A．1.25×10﹣10 B．1.25×10﹣11 C．1.25×10﹣8 D．1.25×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000125＝1.25×10﹣7．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．下列计算正确的是（　　）
A．（﹣2a）2＝2a2 B．a6÷a3＝a2
C．﹣2（a﹣1）＝2﹣2a D．a•a2＝a2
【分析】利用同底数的幂的乘法、除法以及分配律即可求解．
【解答】解：A、（﹣2a）2＝4a2，选项错误；
B、a6÷a3＝a3，选项错误；
C、正确；
D、a•a2＝a3，选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的除法，分配律，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．圆 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．菱形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合．
4．在平面直角坐标系中，若点P（m﹣1，m+2）在第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣2 B．m＞1 C．m＞﹣2 D．﹣2＜m＜1
【分析】根据第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正得出关于m的不等式组，解之可得．
【解答】解：根据题意，得：，
解得﹣2＜m＜1，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据点的坐标特点列出关于m的不等式组．
5．小明收集了银川市某酒店2022年3月1日～3月6日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如图所示的折线统计图，下列结论正确的是（　　）

A．平均数是 B．众数是10
C．方差是 D．中位数是8.5
【分析】由折线图得到2022年3月1日～3月6日的用水数据，计算这组数据的平均数、中位数、众数、方差，然后判断得结论．
【解答】解：由折线图知：2022年3月1日～3月6日的用水量（单位：吨）依次是4，2，7，10，9，4，
从小到大重新排列为：2，4，4，7，9，10，
∴平均数是×（4+2+7+10+9+4）＝6，
中位数是（4+7）＝5.5，
由4出现了2次，故其众数为4．
方差是s2＝[2×（4﹣6）2+（2﹣6）2+（7﹣6）2+（10﹣6）2+（9﹣6）2]
＝．
综上只有选项C正确．
故选：C．
【点评】本题考查了折线图、平均数、中位数、众数及方差等知识，读折线图得到用水量数据是解决本题的关键．
6．如图，函数y＝与y＝﹣ax2+a（其中a≠0），同一直角坐标系中的大致图象可能（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数的性质可确定反比例函数a的范围，再利用二次函数的性质确定二次函数中字母a的范围，看a的范围是否统一．
【解答】解：A、反比例函数图象在第一、三象限，a＞0，二次函数y＝﹣ax2+a（a≠0）的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则a＜0，前后矛盾，故此选项不合题意；
B、二次函数y＝﹣ax2+a（a≠0）的图象开口向下，则﹣a＜0，抛物线与y轴交于负半轴，则a＜0，前后矛盾，故此选项不合题意；
C、反比例函数图象在第二、四象限，a＜0，二次函数y＝﹣ax2+a（a≠0）的图象开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，则a＞0，前后矛盾，故此选项不合题意；
D、反比例函数图象在第二、四象限，a＜0，二次函数y＝﹣ax2+a（a≠0）的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则a＜0，前后一致，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数和二次函数图象，关键是掌握反比例函数和二次函数的性质．
7．如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为（　　）

A．102° B．112° C．122° D．92°
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB＝∠BDF＝∠DBC，由三角形的外角性质求出∠BDF＝∠DBC＝∠DFC＝20°，再由三角形内角和定理求出∠A，即可得到结果．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
由折叠可得∠ADB＝∠BDF，
∴∠DBC＝∠BDF，
又∵∠DFC＝40°，
∴∠DBC＝∠BDF＝∠ADB＝20°，
又∵∠ABD＝48°，
∴△ABD中，∠A＝180°﹣20°﹣48°＝112°，
∴∠E＝∠A＝112°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出∠ADB的度数是解决问题的关键．
8．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接OA，易求得圆O的半径为8，扇形的圆心角的度数，然后根据S阴影＝S△AOB+S扇形OAE﹣S△BCD即可得到结论．
【解答】解：连接OA，

∵∠ABO＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝8，∠AOB＝60°，
∴⊙O的半径为8，∠AOE＝120°，
∵AD∥OB，
∴∠OAD＝∠AOB＝60°，
∵OA＝OD，
∴∠AOD＝60°，
∵∠AOB＝∠AOD＝60°，
∴∠DOE＝60°，
∵DC⊥BE于点C，
∴CD＝OD＝4，OC＝OD＝4，
∴BC＝8+4＝12，
∴S阴影＝S△AOB+S扇形OAE﹣S△BCD
＝×8×4+﹣×12×4
＝﹣8，
故选：A．
【点评】本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．分解因式：ax2﹣4a＝　a（x+2）（x﹣2）　．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ax2﹣4a，
＝a（x2﹣4），
＝a（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
10．如图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为 　24π　．（结果保留π）

【分析】根据主视图确定出圆柱体的底面直径与高，然后根据圆柱体的侧面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：由图可知，圆柱体的底面直径为4，高为6，
所以，侧面积＝4•π×6＝24π．
故答案为：24π．
【点评】本题考查了立体图形的三视图和学生的空间想象能力，圆柱体的侧面积公式，根据主视图判断出圆柱体的底面直径与高是解题的关键．
11．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 　　．

【分析】若将每个方格地砖的面积记为1，则图中地砖的总面积为9，其中阴影部分的面积为2，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：若将每个方格地砖的面积记为1，则图中地砖的总面积为9，其中阴影部分的面积为2，
所以该小球停留在黑色区域的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率＝相应的面积与总面积之比．
12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝88°，则∠BCD的度数是　136°　．

【分析】根据圆周角定理求出∠A的度数，根据圆内接四边形计算即可．
【解答】解：由圆周角定理得，∠A＝∠BOD＝44°，
由圆内接四边形的性质得，∠BCD＝180°﹣∠A＝136°，
故答案为：136°．
【点评】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补、同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
13．如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝10，分别以点A、D为圆心，以大于AD为半径画弧，交于M、N，连接MN，交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF周长为 　5+5　．

【分析】解直角三角形求出AE，DE，利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
【解答】解：∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠BAC＝30°，
∴DE＝AD＝5，AE＝DE＝5，
由作图可知MN垂直平分线段AD，
∴FD＝FA，
∴△DEF的周长＝DF+DE+EF＝AF+EF+DE＝5+5，
故答案为：5+5．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
14．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是　40　m（结果保留根号）

【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB＝AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠BDA＝45°，
则AB＝AD＝120m，
又∵∠CAD＝30°，
∴在Rt△ADC中，
tan∠CAD＝tan30°＝＝，
解得：CD＝40（m），
故答案为：40．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CAD＝tan30°＝是解题关键．
15．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 　70　元．
【分析】根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系，然后化为顶点式，即可得到当售价为多少元时，利润达到最大值．
【解答】解：设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，
w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000，
∴当x＝70时，w取得最大值，此时w＝8000，
故答案为：70．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为　（，0）　．

【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．
【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵∠ACO+∠BCD＝90°，
∠OAC+∠ACO＝90°，
∴∠OAC＝∠BCD，
在△ACO与△BCD中，
，
∴△ACO≌△BCD（AAS）
∴OC＝BD，OA＝CD，
∵A（0，2），C（1，0）
∴OD＝3，BD＝1，
∴B（3，1），
∴设反比例函数的解析式为y＝，
将B（3，1）代入y＝，
∴k＝3，
∴y＝，
∴把y＝2代入y＝，
∴x＝，
当顶点A恰好落在该双曲线上时，
此时点A移动了个单位长度，
∴C也移动了个单位长度，
此时点C的对应点C′的坐标为（ ，0）
故答案为（，0）．

【点评】本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．
三、解答题（本题共有6小题，每小题0分，.共36分）.3第16题图
17．先化简代数式：（）÷，再从﹣2，﹣1，0，1中取一个合适的整数值代入，求出代数式的值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•
＝
＝3（x+1）﹣（x﹣1）
＝3x+3﹣x+1
＝2x+4，
当x＝﹣1，0，1时，原式没有意义；
当x＝﹣2时，原式＝﹣4+4＝0．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由3x+6≥5（x﹣2），得：x≤8，
由﹣＜1，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤8．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（5，1）．
（1）把△ABC平移后，其中点A移到点A1（4，5），画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2．

【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可；
（2）根据图形旋转的性质画出旋转后的△A2B2C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2即为所求．

【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
20．冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：

A款玩偶
B款玩偶
进货价（元/个）
20
15
销售价（元/个）
28
20
（1）第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．
（2）第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）根据题意，可以写出利润与购进A中玩偶数量的函数关系式，再根据网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，可以得到A中玩偶数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设购进A款玩偶x个，则购进B款玩偶（30﹣x）个，
由题意可得：20x+15（30﹣x）＝550，
解得x＝20，
∴30﹣x＝10，
答：购进A款玩偶20个，则购进B款玩偶10个；
（2）设购进A款玩偶a个，则购进B款玩偶（30﹣a）个，利润为w元，
由题意可得：w＝（28﹣20）a+（20﹣15）（30﹣a）＝3a+150，
∴w随a的增大而增大，
∵网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，
∴a≤（30﹣a），
解得a≤10，
∴当a＝10时，w取得最大值，此时w＝180，30﹣a＝20，
答：购进A款玩偶10个，购进B款玩偶20个时才能获得最大利润，最大利润是180元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
21．如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，且BC＝10，∠BAC＝90°，求BE的长．

【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AF∥EC，进而得出AF＝EC，进而求出即可；
（2）利用菱形的性质以及三角形内角和定理得出∠1＝∠2，进而求出∠3＝∠4，再利用直角三角形的性质得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC，
∴AF∥EC，
∵BE＝DF，
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形．

（2）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝EC，
∴∠1＝∠2，
∵∠BAC＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠2，∠4＝90°﹣∠1，
∴∠3＝∠4，
∴AE＝BE，
∴BE＝AE＝CE＝BC＝5．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与判定和菱形的性质与直角三角形的性质，得出∠3＝∠4是解题关键．
22．我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新冠疫苗接种．为了解接种进度．该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类一一接种了只需要注射一针的疫苗；B类一一接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类一一接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类一一还没有接种．图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整）．

请根据统计图回答下列问题
（1）此次抽样调查的人数是 　200　人；m＝　40　；n＝　30　；
（2）请估计该小区所居住的18000名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种．
（3）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，请用列表或树状图的方法求恰好抽到一男和一女的概率．
【分析】（1）由A类的人数除以所占百分比即可求出此次抽样调查的人数，再由接种B类疫苗的人数除以此次抽样调查的人数得出此次抽样调查的人数所占的百分比，然后由此次抽样调查的人数乘以接种C类疫苗的人数所占的百分比即可；
（2）由该小区所居住的总人数乘以A、B、C三类所占的百分比即可；
（3）画树状图，共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）此次抽样调查的人数为：20÷10%＝200（人）；
则接种B类疫苗的人数的百分比为：80÷200×100%＝40%，接种C类疫苗的人数为：200×15%＝30（人），
∴m＝40，n＝30，
故答案为：200，40，30；
（2）18000×（1﹣35%）＝11700（人），
即估计该小区所居住的18000名居民中有11700人进行了新冠疫苗接种．
（3）画树状图如图：

共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，
∴恰好抽到一男和一女的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）
23．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⨀O上，当点P在⨀O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON．当AP与⨀O相切时，点B恰好落在⨀O上，如图2．
请仅就图2的情形解答下列问题．
（1）求证：∠PAO＝2∠PBO；
（2）若⨀O的半径为5，AP＝，求BP的长．

【分析】（1）连接切点与圆心，根据角之间的互余关系及等量代换代换求解即可．
（2）作出相关辅助线，构造相似三角形Rt△POD与Rt△OAP，利用相似三角形的性质求得PD＝3，OD＝4，最后根据直角三角形的勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：如图①，

连接OP，延长BO与圆交于点C，则OP＝OB＝OC，
∵AP与⨀O相切于点P，
∴∠APO＝90°，
∴∠PAO+∠AOP＝90°，
∵MO⊥CN，
∴∠AOP+∠POC＝90°，
∴∠PAO＝∠POC，
∵OP＝OB，
∴∠OPB＝∠PBO，
∴∠POC＝∠OPB+∠PBO＝2∠PBO，
∴∠PAO＝2∠PBO；
（2）解：如图②所示，

连接OP，延长BO与圆交于点C，连接PC，过点P作PD⊥OC于点D，
则有：AO＝＝，
由（1）可知∠POC＝∠PAO，
∴Rt△POD∽Rt△OAP，
∴，即，解得PD＝3，OD＝4，
∴CD＝OC﹣OD＝1，
在Rt△PDC中，PC＝＝，
∵CB为圆的直径，
∴∠BPC＝90°，
∴BP＝＝＝3，
故BP长为3．
【点评】本题考查切线的性质及圆周角定理，解此类型题目的关键是作出适当的辅助线，比如连接切点与圆心、将直径的两端与圆上某一点连接、过圆上某点作垂直于半径的线段等，根据辅助线构造直角三角形及相似三角形，再根据相关性质进行求解．
24．在矩形OABC中，点B（﹣2，﹣4），点E是AB的中点，反比例函数y1＝（k≠0且x＜0）的图象经过点E，交BC于点F，直线EF的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1＝的解析式和直线y2＝mx+n的解析式；
（2）在反比例函数y1＝的图象上找一点D，使△ADE的面积为1，求点D的坐标．
【分析】（1）根据题意得出点E的坐标，进而求出反比例函数的关系式，求出点F的坐标，再根据待定系数法求出一次函数的关系式即可；
（2）根据面积可得点D到直线AE的距离，进而分两种情况进行解答，即点D在直线AE左侧或右侧双曲线上，得出点D的横坐标，进而求出其纵坐标即可．
【解答】解：（1）如图，
∵矩形OABC中，点B（﹣2，﹣4），点E是AB的中点，
∴E（﹣2，﹣2），
又∵反比例函数y1＝（k≠0且x＜0）的图象经过点E，
∴k＝﹣2×（﹣2）＝4，
∴反比例函数的关系式为y1＝（x＜0），
当y＝﹣4时，x＝﹣1，
∴点F（﹣1，﹣4），
把E（﹣2，﹣2），F（﹣1，﹣4）代入直线EF的解析式y2＝mx+n得，
，
解得，
∴直线EF的解析式为y2＝﹣2x﹣6，
即反比例函数的关系式为y1＝（x＜0），直线EF的解析式为y2＝﹣2x﹣6；
（2）∵△ADE的面积为1，AE＝2，
∴点D到直线AE的距离为1，
当点D在直线AE左侧的双曲线上，则点D的横坐标为﹣2﹣1＝﹣3，
当x＝﹣3时，y＝﹣，
∴点D的坐标为（﹣3，﹣），
当点D在直线AE右侧的双曲线上，则点D的横坐标为﹣2+1＝﹣1，
当x＝﹣1时，y＝﹣4，
∴点D的坐标为（﹣1，﹣4），
∴点D的坐标为（﹣3，﹣）或（﹣1，﹣4）．

【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征是解决问题的前提，求出点的坐标代入函数关系式是解决问题的关键．
25．科学研究表明，人在运动时其心脏所能承受的最高心跳速度通常与其年龄有关，已知在一定年龄范围内，不同年龄的人在运动时其心脏所能承受的最高心欧速度如下表：
年龄n（岁）
…
15
21
27
33
39
45
…
…
最高心跳速度T（次/分钟）
…
164
160
156
152
148
144
…
定义：对于一个身体健康的人来说，．设其在运动时的心跳速度为t次/分钟，心跳安全系数S＝T﹣t，当S≤5时，为危险状态，当5＜S≤10时，为有安全风险状态，当S＞10时，为安全状态．
（1）通过观察图表，．猜想出T与n之间的函数关系式；
（2）试判断一个42岁的身体健康的人在运动时心跳速度达到什么范围时处于有安全风险状态；
（3）若李大爷今年年龄为54岁，他在一次长跑运动后测得的心跳速度为每10秒钟22次，那么此时他的心跳安全系数是多少？他的心跳安全状态是怎样的？
【分析】（1）由表格可知，T与n满足一次函数关系，设T＝kn+b，用待定系数法可得T＝﹣n+174；
（2）当n＝42时，求出T＝146，即得S＝146﹣t，由5＜146﹣t≤10，即可得一个42岁的身体健康的人在运动时心跳速度在136≤t＜141时处于有安全风险状态；
（3）当n＝54时，T＝138，根据他在一次长跑运动后测得的心跳速度为每10秒钟22次，可得t＝×22＝132（次/分钟），即得此时他的心跳安全系数S＝T﹣t＝6，故他的心跳安全状态是有安全风险状态．
【解答】解：（1）由表格可知，T与n满足一次函数关系，设T＝kn+b，
根据题意得：，
解得，
∴T＝﹣n+174；
（2）当n＝42时，T＝﹣×42+174＝146，
∴S＝146﹣t，
∵当5＜S≤10时，为有安全风险状态，
∴5＜146﹣t≤10，
解得136≤t＜141，
答：一个42岁的身体健康的人在运动时心跳速度在136≤t＜141时处于有安全风险状态；
（3）当n＝54时，T＝﹣×54+174＝138，
∵他在一次长跑运动后测得的心跳速度为每10秒钟22次，
∴t＝×22＝132（次/分钟），
∴此时他的心跳安全系数S＝T﹣t＝138﹣132＝6，
∵当5＜S≤10时，为有安全风险状态，5＜6≤10，
∴他的心跳安全状态是有安全风险状态，
答：他的心跳安全系数是6，他的心跳安全状态是有安全风险状态．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能用待定系数法求出T与n的函数关系式．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D、G分别在边BC上，BD＝4cm，点G在CD的中点上，以DG为边的矩形DEFG的顶点E在边AB上，动点M从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向C运动，过点M作MN∥AB交AC于点N．设点M的运动时间为t（s），矩形DEFG与△MCN重叠部分图形的面积为s（cm2）．
（1）在点M的运动过程中，当线段MN与矩形DEFG的边DE有交点，令交点为H，用含t的代数式表示线段DH的长．
（2）求s与t的函数关系式．
（3）点M出发的同时，动点P从点D出发，以acm/s的速度沿D﹣E﹣F﹣G﹣F运动，点Q是线段MN的中点．在点M的运动过程中，若点P、Q能够重合在矩形DEFG的边上，求动点P的速度a．

【分析】（1）由△ADG∽△ACB求出DG，再由△PDH∽ADG，求出DH，即可；
（2）分四段当0＜t≤2时，当2＜t≤4时，当4＜t≤6时，当6＜t≤8时分别求出面积即可；
（3）先判断出，只有点P在EF上时，点M与D重合，P，Q才能重合，此时t＝4，点P走的路程为at，依题意，由at＝8﹣或at＝8+．
【解答】解：（1）由题意得，BN＝t，BD＝4，
∴ND＝4﹣t，
∵△BDE∽△BCA，
∴，
∴DE＝3，
∵△NDH∽△BDE，
∴＝，
∴＝，
∴DH＝（4﹣t）＝（3﹣t）cm；

（2）如图1中，当0＜t≤2时，重叠部分是五边形DKJFG，

S＝S四边形DEFG﹣S△EKJ＝3×2﹣t×t＝6﹣t2，
如图2中，当2＜t≤4时，重叠部分是四边形DKJG

S＝S四边形DKJG＝×2[（4﹣t）+（6﹣t）]＝﹣t，
如图3中，当4＜t≤6时，重叠部分是△MJG，

S＝S△MJG＝×（6﹣t）×（6﹣t）＝t2﹣t+，
当6＜t≤8时，S＝0，
综上所述，S＝；

（3）由题意知，只有点P在GF上时，点M与D重合，P，Q才能重合，此时t＝4，
点P走的路程为at．依题意，由at＝8﹣或at＝8+，
∴a＝或a＝．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积，四边形的面积的计算方法，解本题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．