2023届福建省上杭县第一中学高三上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2023届福建省上杭县第一中学高三上学期12月月考数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届福建省上杭县第一中学高三上学期12月月考数学试题

一、单选题
1．已知集合，集合，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解对数不等式可求得集合，由并集概念可得结果.
【详解】由得：，解得：，即，
.
故选：D.
2．“函数的图象关于中心对称”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】分别求出与的对称中心，比较两个中心关系.
【详解】的对称中心为，的对称中心为，的对称中心不一定为的对称中心；的对称中心一定为的对称中心.
故选：B．
3．已知等差数列的前项和为,若,求=
A．130 B．65 C．70 D．140
【答案】A
【解析】用基本量 和 将已知中的、、表示出来,进而得到;再用基本量将表示出来,代入即可求.
【详解】解:
则
故选:A.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的前 项和.此类问题一般都可用基本量法,再结合整体代入的思想进行求解.难点在于计算,有的题目可能用基本量法时计算量比较大.因此对于等差、等比数列问题,首项考虑是否可用性质解决.
4．若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得： ，
故： ，即向量 与的夹角为 .
本题选择D选项.
5．某位同学经常会和爸爸妈妈一起去加油，经过观察他发现了一个有趣的现象：爸爸和妈妈的加油习惯是不同的.爸爸每次加油都说：“师傅，给我加250元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”.这位同学若有所思，如果爸爸､妈妈都加油两次，两次的加油价格不同，妈妈每次加满油箱；爸爸每次加250元的油，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（    ）
A．妈妈 B．爸爸 C．一样 D．不确定
【答案】B
【分析】由题意，先计算爸爸和妈妈两次加油的平均单价，再作差法比较大小，即可得解.
【详解】由题意，设第一次加油单价为元，第二次为元，油箱加满为升，则妈妈两次加油共需付款元，爸爸两次能加升油，
设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升，
则，且，，
所以，即，
所以爸爸的加油方式更合算.
故选：B
6．已知，，则（    ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【分析】由以及诱导公式求出，再利用两角和的正弦公式、二倍角公式以及同角公式将化为的形式，代入即可得解.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以或，
因为，所以，
所以，
所以





.
故选：D
7．已知四点均在以点为球心的球面上，且，.若球在内且与平面相切，则球直径的最大值为
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】D
【详解】如图所示:

取CD的中点O,连接AO,BO,如图，因为BC=BD=，,所以
因为，所以AO⊥CD,且AO=2，又因为OD=4，BO=4，所以故AO⊥OB，又BO∩CD=O,所以AO⊥平面BCD,所以在AO上，连接,设则
即解之得R=5，球的直径最大时，球与平面BCD相切且与球内切，A,O,四点共线，此时球的直径为R+=8.故选D.
点睛：本题是一个难题，只有通过计算，认清以A,B,C,D为顶点的三棱锥的图形特征，正确判断球心的位置，借助方程求出球的半径，直观判断球心的位置，才能迎刃而解.
8．若函数没有零点，则整数的最大值是（    ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【分析】首先将函数没有零点转化成方程没有实根，构造函数，确定的单调性与取值情况，可得的取值范围，则整数的最大值可得.
【详解】解：函数定义域为，函数没有零点可转化为方程
没有实根，
设，则
令，即①，
又函数，，所以恒成立，所以在单调递增，
所以方程①即，即，有唯一的实数解
且函数在上，单调递减，在上，单调递增，
所以有最小值,
又时，，所以方程没有实根，可得
则整数的最大值是1.
故选：C.
【点睛】本题难度较大，考查函数的零点问题，由于含有参数，将其参变分离转化为方程的根的问题，构造函数，确定新函数的单调性与取值情况，从而求解参数的范围.本题的解题关键是，新函数的导函数零点不可直接求得，用“隐零点求解”，并且影响导函数符号的部分是指对混合结构，需要结合指对互化思想，确定母函数在上的单调性，从而得导函数的零点所满足的式子，才能确定函数的最值,即可求得参数范围.

二、多选题
9．下列命题中，真命题有（    ）
A．若复数，满足，则且
B．若复数，则
C．若复数，满足，则或
D．若复数为实数，则为实数或纯虚数
【答案】BD
【分析】利用特殊值判断A、C，根据共轭复数与复数代数形式的乘法运算判断B、D.
【详解】解：对于A：令，，则，故A错误；
对于B：令，，则，所以，
所以，故B正确；
对于C：令，，则，，，
满足，故C错误；
对于D：令，，则，
因为为实数，所以，所以或，
当时为纯虚数，当时为实数，
当时为实数，故D正确；
故选：BD
10．若，，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】构造函数，利用导数可得；构造函数，利用导数可得，从而可的；构造函数，利用导数可得.
【详解】令，则，
当时，，所以在上为增函数，
所以，即，即，所以B正确；
令，则，
令，则，
当时，，，
所以，则在上单调递减，
则，则在上单调递减，
所以，即， 故C正确；
故，故D不正确；
令，
因为，所以，
当时，，所以在上单调递减，
所以，所以，即，即，故A正确；
故选：ABC
【点睛】构造函数并利用导数判断相应函数的单调性，利用单调性比较大小，这是本题的解题关键.
11．设圆，直线，为上的动点.过点作圆的两条切线，，切点为，，则下列说法中正确的是（    ）
A．当四边形为正方形时，点的坐标为
B．的取值范围为
C．当为等边三角形时，点坐标为
D．直线恒过定点
【答案】BD
【分析】对于A，当四边形为正方形时，利用，求出，再设，利用，解方程，可知A不正确；
对于B，设，利用， 以及二次函数知识可得；
对于C，根据为等边三角形，可得，，设出点的坐标，利用可求出结果；
对于D，设出点的坐标，求出以为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案.
【详解】对于A，当四边形为正方形时，，
又圆的圆心，半径，
所以，
设点，则，
所以，
化简得，该方程的判别式，该方程无解，
所以不存在点使得四边形为正方形，故A不正确；
对于B，由A可知，
，即的取值范围为，故B正确；
对于C，设点，则，
当为等边三角形时，可知，
又平分，所以，
在直角三角形中，由于,
所以，即，所以，
又点，所以，
化简得，解得，所以，则，故C不正确；
对于D，设点，则，，
以为直径的圆的圆心为，半径为，
所以以为直径的圆的方程为，
化简得，
联立，得，
所以直线的方程为：，
将代入直线的方程恒成立，
故直线恒过定点，故D正确.
故选：BD
12．如图，在正方体中，E，F是底面正方形四边上的两个不同的动点，过点的平面记为，则（    ）

A．截正方体的截面可能是正五边形
B．当E，F分别是的中点时，分正方体两部分的体积之比是25∶47
C．当E，F分别是的中点时，上存在点P使得
D．当F是中点时，满足的点E有且只有2个
【答案】BCD
【分析】A.若截面为五边形，则截面与正方体的5个面都相交，则必有两条交线平行，与正五边形的性质矛盾.
B．作出截面，分别求出两部分的体积，再求体积比.
C.作出截面，再在线段上找出P，证明.
D.分别从点在线段上去讨论是否成立.
【详解】A.若截正方体的截面为五边形，则五边形必有两条边位于正方体相对的平行平面上，此时该五边形必有两条边相互平行，但正五边形没有哪两条边平行，故截面不可能是五边形，选项A错误．
B.如图，延长分别交于点G，I，连接分别交于点H，J，

∴截面为五边形，记正方体棱长为6，，
截面下侧的体积为，
另侧体积为：，∴，故选项B正确.
C．截面为图中等腰梯形，此时取中点P，知，

平面,平面     ∴，故选项C正确．
D.当E在上时，设，
由，故上有一个点E；
当E在上时，，故上不存在这样的点E；
当E在上时，，故上也不存在；
当E在上时，设，∴，故上存在一个点E，   ∴共2个，选项D正确．
故选：BCD.
【点睛】作截面的三种方法：
①直接法：截面的定点在几何体的棱上
②平行线法：截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行
③延长交线得交点：截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上

三、填空题
13．已知椭圆的上、下焦点分别为、，椭圆上一点，则此椭圆的离心率为______.
【答案】##0.5
【分析】根据椭圆的焦点坐标得到，根据椭圆的定义求出，再根据离心率公式即可得解.
【详解】因为椭圆的上、下焦点分别为、，所以，
因为在椭圆上，所以，
所以，
所以此椭圆的离心率.
故答案为：.
14．写出一个同时满足下列三个性质的函数：______.
①为奇函数；②为偶函数；③在上的最大值为2.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据函数的三条性质，考虑选用三角函数可得答案.
【详解】分析函数的三条性质，可考虑三角函数，
因为为奇函数，在上的最大值为2，
所以函数的解析式可以为.
对于①，，因为，所以为奇函数，符合；
对于②，，因为，所以为偶函数，符合；
对于③，的最大值为，符合.
故答案为：（答案不唯一）
15．已知等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据等比数列的前项和公式求得，再结合的单调性，即可求得结果.
【详解】都是上的单调增函数，故为上的单调增函数，
根据题意，，
故当为奇数，且时，，
令，则，此时为单调增函数，则，
即当为奇数，且时，；
当为偶数，且时，，
同理，令，则，此时为单调增函数，则，
即当为偶数，且时，；
综上所述，当时，.
故答案为：.
16．已知点，，且平行四边形的四个顶点都在函数的图像上，则四边形的面积为______.
【答案】
【分析】根据奇偶性的判定可知为奇函数，由此可知关于原点对称，关于原点对称；利用直线方程的求法可求得直线，进而得到原点到直线的距离，利用两点间距离公式可求得，由可求得结果.
【详解】由得：或，即定义域为

为定义在上的奇函数
与关于原点对称，与关于原点对称    
又    直线方程为：，即
到直线距离，又

故答案为：
【点睛】本题考查四边形面积的求解问题，涉及到函数奇偶性与对称性的应用、直线方程的求解、两点间距离公式和点到直线距离公式的应用等知识；关键是能够根据对称性确定所求四边形面积为面积的四倍.

四、解答题
17．如图，在圆内接四边形ABCD中，，且依次成等差数列.

(1)求边AC的长；
(2)求四边形ABCD周长的最大值.
【答案】(1)
(2)10

【分析】（1）根据等差数列的性质求得，再根据余弦定理求得答案;
（2）利用圆内接四边形性质可得 ，再利用余弦定理结合基本不等式求得，即可求得答案.
【详解】（1）因为依次成等差数列，
所以，又，
所以,
又，则由余弦定理得:
，
所以.
（2）由圆内接四边形性质及，知，
在中，由余弦定理得
，
又因为（当且仅当时“=”成立），
所以，即，
则四边形ABCD周长最大值.
18．已知数列满足，且，若，的前项和为．
(1)求证：为等比数列，并求的通项公式；
(2)求，并求满足不等式的最小正整数的值．
【答案】(1)证明见解析；；
(2)；最小正整数.

【分析】（1）由可证得数列为等比数列；利用等比数列通项公式求得后即可推导得到；
（2）采用错位相减法可求得，代入可得；利用可知单调递增，则由可得结论.
【详解】（1）由题设得到an>0，
，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列；
，；
（2）由（1）得：，
则，
，
两式作差得：，
；
，
又，，
，单调递增，又，
满足不等式的最小正整数.
19．如图，已知三棱台中，二面角的大小为，点在平面内的射影在上，，，．

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）过作交于，连，则四点、、、共面，通过证明、可证平面；
（2）以为原点，分别为轴，过且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量公式计算可得结果.
【详解】（1）过作交于，连，

因为在三棱台中，，所以，
所以四点、、、共面，
因为，所以，所以，
因为点在平面内的射影在上，所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以平面，即平面.
（2）由（1）可知，平面，又平面，
所以，结合可知，是二面角的平面角，
所以，
在直角三角形中，，，所以，，
在直角三角形中，有，，
以为原点，分别为轴，过且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系：

则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，得，
令，则，所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为
.
20．十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要.纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流､大束流､高能､特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献.该企业使用新技术对某款芯片进行试生产.
（1）在试产初期，该款芯片的批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，.
①求批次芯片的次品率；
②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次的芯片智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.
（2）已知某批次芯片的次品率为，设个芯片中恰有个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产工艺后批次的芯片的次品率.某手机生产厂商获得批次与批次的芯片，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查.据统计，回访的名用户中，安装批次有部，其中对开机速度满意的有人；安装批次有部，其中对开机速度满意的有人.求，并判断是否有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关？
附：.












【答案】（1）①；②；（2），有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.
【分析】（1）①利用对立事件、相互独立事件概率乘法公式求得所求的次品率.
②根据条件概率计算公式，计算出所求概率.
（2）先求得的表达式，利用导数求得，填写列联表，计算，由此作出判断.
【详解】（1）①Ⅰ批次芯片的次品率为
.
②设批次Ⅰ的芯片智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，
由己知得，，
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，
.
（2）个芯片中恰有个不合格的概率.
因此，
令，得.
当时，；当时，.
所以的最大值点为.
由（1）可知，，，故批次芯片的次品率低于批次，故批次的芯片质量优于批次.
由数据可建立2×2列联表如下：（单位：人）
开机速度满意度
芯片批次
合计
I
J
不满意
12
3
15
满意
28
57
85
合计
40
60
100

根据列联表得

.
因此，有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.
【点睛】求解最值点有关的题目，是利用导数研究函数的单调性，由此来求得最值点.
21．已知椭圆的离心率为，且经过点，，过点作直线与椭圆交于点，（点，异于点，），连接直线，交于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)当点位于第二象限时，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).

【分析】(1)根据题意确定a、b、c的值，即可求出椭圆的标准方程；
(2)设，联立PQ直线方程与椭圆方程，由韦达定理表示出，利用两点坐标求出直线AQ、PB的斜率，结合两角差的正切公式和基本不等式即可求得的取值范围.
【详解】（1）由题意知，，又，
所以，故椭圆的标准方程为;
（2）设直线PB倾斜角为，斜率为，直线AQ倾斜角为，斜率为，
直线PQ的方程为：，

则，消去x，得，
，设，
，有，
所以，
即，
则，
因为点P位于第二象限，则，
所以，故.
22．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，①求的范围；②证明：.
【答案】(1)见解析

(2)①或.②证明见解析.

【分析】（1）求导后，按照和分类讨论导函数的符号可得结果；
（2）①分类讨论，得到函数的单调性，利用单调性求出的最小值，由可求出结果；②根据当时，对，有，即，得到，利用此不等式进行列项求和后可证不等式成立.
【详解】（1）因为，，
所以，，
当时，，，所以在上单调递减，
当时，令，得，得，(舍去)，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上所述：当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）①由（1）知，当时，在上单调递减，所以，
此时，因为当时，，所以，解得，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
若，则，，，，，，则在上单调递增，
所以，所以，
因为当时，，所以，解得.
若，则，，不满足当时，.
综上所述：的取值范围是或.
②由①知，当时，对，有，即，
又时，，，所以，
所以.
【点睛】（2）①将当时，，转化为求解是解题关键；②利用时， ，然后进行裂项求和证明不等式是解题关键.