2023届甘肃省武威市凉州区高三上学期第二次质量检测考试数学（理）试题（解析版）

2023届甘肃省武威市凉州区高三上学期第二次质量检测考试数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，则（　　）

A．             B．  C．               D．

【答案】D

【分析】根据集合的交集运算求解.

【详解】因为，

所以，

故选：D

2．若，则复数可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，根据等式条件求出的值即可

【详解】设，

∵，

∴，

即，

即，

即，

故，

故选：A.

3．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】将全称命题否定为特称命题即可.

【详解】根据特称命题的否定形式可以得出命题“，”的否定为“，”.

故选：B

4．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据求函数定义域，列方程组解决即可.

【详解】由题知， ，

所以，解得

所以

所以定义域为，

故选：C

5．将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得图象的函数解析为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据平移过程写出解析式即可.

【详解】由题设，平移后的解析式为.

故选：B

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据及诱导公式即可求解.

【详解】∵，

∴.

故选:D．

7．如图，在中，是的中点，若，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】D

【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得，进而求得.

【详解】因为是的中点，所以．

所以，所以，所以．

故选：D

8．记数列的前项和为，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由列方程组求值即可.

【详解】因为，解得.

又因为，解得.

故选：A.

9．设，，，则下列不等关系成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别构造指数函数、幂函数、对数函数，利用函数单调性，引入中量比较大小即可.

【详解】因为在上递减，所以，

又因为在上单调递增，所以，

因为在上单调递减，所以，

所以.

故选：D

10．若，，且，则xy的最大值为（    ）

A．9 B．6 C．3 D．

【答案】D

【分析】由，，且为定值，利用基本不等式求积的最大值.

【详解】因为，，且，

所以，

当且仅当，即，时，等号成立，

即的最大值为.

故选：D.

11．已知中，､､分别是角､､所对的边，已知，若，，则的面积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件求出，结合余弦定理求出，的值，然后利用三角形的面积公式进行求解即可.

【详解】，可得：，即，

､均为三角形的边，，

，即，

，，

由余弦定理：，得：

再将代入式可得：，

得，，

又由，可得，

所以，三角形的面积是：.

故选：D

12．已知：，：.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求解不等式，再利用是充分不必要条件，即可得实数的取值范围．

【详解】解：，，

是的充分不必要条件，

，

实数的取值范围是.

故选：A．

二、填空题

13．已知实数满足，则的最小值为___________．

【答案】

【分析】画出可行域，再根据直线的截距与负相关求解最值即可

【详解】画出可行域，因为直线的截距与负相关，故取得最小值时，过的交点，此时

故答案为：

14．已知向量，若，则______.

【答案】

【分析】则坐标计算即可.

【详解】已知向量，所以.由，得，所以.

故答案为：.

15．已知等比数列满足，那么的公比__________．

【答案】2

【分析】利用公式法列方程求解即可.

【详解】设等比数列的通项公式为，

因为，

所以，

化简得，

解得.

故答案为：2.

16．已知函数​的图象关于直线​对称，则有如下四个命题：

①​是奇函数；

②​的最小正周期是​；

③​的一个对称中心是​；

④​的一个递增区间是​.

其中所有正确命题的序号是___________.

【答案】②④

【分析】根据题意可得，进而根据三角函数的性质结合选项即可逐一求解.

【详解】由于​的图象关于直线​对称，所以，由，所以​，所以​，

令,所以​的对称中心为 ​，令,

递增区间为，

①,故​是偶函数，①错误；

②.​的最小正周期,②正确；

③.​的对称中心为,，令无解，所以故③错误；

④.由于 ​， 在​单调递增，④正确.

故答案为：②④

三、解答题

17．在等比数列中，.

(1)求；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1) .（2）.

【详解】试题分析：(1)设的公比为q，依题意得方程组，

解得，即可写出通项公式.

（2）因为，利用等差数列的求和公式即得.

试题解析：(1)设的公比为q，依题意得

，

解得，

因此，.

（2）因为，

所以数列的前n项和.

【解析】等比数列、等差数列.

18．已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数的单调递增区间；

（3）当时，求的值域．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）利用三角恒等变换化简解析式，由周期公式即可求得最小正周期；

（2）由正弦定理的单调性即可求解；

（3）由正弦函数的性质即可求得值域.

【详解】（1），

所以函数最小正周期；

（2）令，

解得，

故函数的单调递增区间为；

（3）由得，

所以，

即，

故当时，求的值域为.

【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为或的形式，则最小正周期为，最大值为，最小值为；奇偶性的判断关键是解析式是否为或的形式．

19．已知数列是公比为2的等比数列，且是与的等差中项.

(1)求的通项公式及前项和；

(2)设，求数列 的前项和.

【答案】(1),

(2)

【分析】(1)利用等差中项的性质结合等比数列的通项公式和前项和的定义可求解;(2)利用裂项相消法求和.

【详解】（1）设数列是公比为,

因为是与的等差中项,

所以即,

因为,所以,解得,

所以,.

（2）由(1)知，，

所以

.

即数列 的前项和.

20．在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求角C的大小；

(2)若，且，求△ABC的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解；（2）根据余弦定理即可求解.

【详解】（1）由及正弦定理得    

    因为，故．    

    又∵ 为锐角三角形，所以．

（2）由余弦定理，    

    ∵，得

    解得：或   

∴ 的周长为．

21．定义在上的函数和，满足，且，其中.

(1)若，求的解析式;

(2)若不等式的解集为，求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题意求解析式，再由求参数a，即可得解析式；

（2）由（1）及题设得，结合解集列方程组求m、a，即可得结果.

【详解】（1）由题意知，，又，

所以，即．

所以函数的解析式．

（2）由，得，

由题意知，所以，

所以，即，所以．

22．已知函数

(1)当时，求曲线在点处曲线的切线方程；

(2)求函数的单调区间.

【答案】(1)

(2)答案见解析.

【分析】(1)利用导数的几何意义求解;(2)利用导函数研究函数的单调性.

【详解】（1）当时，，定义域为，

，所以切点为，

又因为，所以，即切线的斜率等于2，

根据点斜式得，整理得.

（2）,

当时，恒成立，所以在上单调递增，

当时，令即解得，

令即解得，

所以在单调递增，单调递减.