2023届广东省广州市第十七中学高三上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2023届广东省广州市第十七中学高三上学期12月月考数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届广东省广州市第十七中学高三上学期12月月考数学试题 一、单选题1．设集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用代入检验法，结合对数函数的单调性与对数运算即可求得.【详解】因为当时，，故；当时，，故；当时，，故；所以.故选：A2．已知复数z与都是纯虚数，则z的共轭复数为（    ）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后再动手，纯虚数的特征就是实部为0，虚部不为0的虚数，可用复数的代数形式解.【详解】设则为纯虚数，则有：，解得：，故，则.故选：D.3．已知甲、乙、丙三人均去某健身场所锻炼，其中甲每隔1天去一次，乙每隔2天去一次，丙每隔3天去一次．若2月4日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是（    ）A．2月10日 B．2月14日 C．2月16日 D．2月28日【答案】C【分析】根据给定条件，利用列举法列出甲、乙、丙从2月4日开始去锻炼的日期即可得到答案.【详解】甲去的时间：2月4日，2月6日，2月8日，2月10日，2月12日，2月14日，2月16日，2月18日；乙去的时间：2月4日，2月7日，2月10日，2月13日，2月16日；丙去的时间：2月4日，2月8日，2月12日，2月16日.所以下一次共同去锻炼的日期是2月16日.故选：C4．把函数图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图像；再将图像上所有点向左平移个单位，得到函数的图像，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数图像变化求解即可.【详解】函数图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数；将图像上所有点向左平移个单位，得到函数，故选：A5．设，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设（），由导数得其单调递增，从而得时，，即，从而由可得，再设，由导数得其单调性得时，，，从而可得，得出，结合起来可得结论．【详解】易知，，又，所以，，设（），则，所以在上单调递增，，，，∴，，设，，所以在上递减，时，，，，，所以，综上，．故选：C．6．己知A，B分别为x轴，y轴上的动点，若以AB为直径的圆与直线相切，则该圆面积的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由O向直线作垂线，垂足为D，当D恰为圆与直线的切点时，圆的半径最小，此时圆的直径为O（0,0）到直线的距离，由此能求出圆面积的最小值.【详解】设线段AB的中点为C，故点C为所求圆的圆心，作CE垂直直线于点E，如图所示，坐标原点为O，圆的半径为r，则，过点O作OD垂直直线于点，交AB于点，则当为线段OD的中点且为线段AB的中点时，所求圆以为圆心，半径最小，即面积最小.AB为直径的圆，由，∴O点必在圆上，如图所示，由O向直线作垂线，垂足为D，当D恰为圆与直线的切点时，圆的半径最小，此时圆的直径为O（0,0）到直线的距离 ∴此时圆的半径，圆面积最小值 故选：A．7．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线l与C在x轴上方的交点为A．若，则C的离心率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，可求出，由，余弦定理求出，则有，可求出离心率.【详解】如图所示，设， 由已知，则有， 又，在中，由余弦定理可得 ，，， 则离心率. 故选：C．8．在三棱锥中，平面BCD，，则已知三棱锥外接球表面积的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，，求得的外接圆的半径为，结合图形求得三棱锥外接球半径，然后换元利用基本不等式及不等式的性质得的最小值，从而可得面积的最小值．【详解】如图，设，，为的外心，为三棱锥外接球的球心，则平面，又平面，所以，平面，则，四边形是直角梯形，设，，，由平面，平面，得，则，，，即，又，则，，令，则，，，当且仅当，即时等号成立，所以三棱锥外接球表面积，故选：B．【点睛】结论与方法点睛：（1）三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上，由此易找到球心；（2）特殊的三棱锥，如有从同一点出发的三条棱两两垂直，或三棱锥的三对棱相等则可把三棱锥补形为一个长方体，长方体的对角线即为外接球的直径．（3）如果三棱锥的一条棱与一个面垂直，可把此三棱锥补形为一个直三棱柱，直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球． 二、多选题9．下列函数中最小值为8的是（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用均值不等式求和的最小值，注意等号成立与否.【详解】对A，，当且仅当或时取等号，A对；对B，，由无解，故不能取等号，B错；对C，，当且仅当时取等号，C对；对D，，当且仅当时取等号，D对.故选：ACD10．已知直线l与平面相交于点P，则（    ）A．内必有直线与l平行 B．内有无数条直线与l垂直C．内有无数条直线与l是异面直线 D．至少存在一个过l且与垂直的平面【答案】BCD【分析】利用线线，线面的位置关系逐项分析即得.【详解】直线与平面相交于点，则直线与平面相交，所以内不存在直线与平行，故A错误；如图，平面内与在平面内射影PO垂直的直线，平面内与平行的直线都与垂直，有无数条，故B正确；如图，由B得，与在平面内射影PO垂直的直线，平面内与平行的直线都与是异面直线，这样的直线有无数条，故C正确；如图，取直线上除斜足外一点A，过该点作平面的垂线AO，则平面POA就垂直于平面，故D正确.故选：BCD.15.115.215.315.415.515.415.413.415.114.214.314.414.515.414.415.42012131516141218 A． B． C．不是孤立点 D．是孤立点【答案】BC【分析】根据题目所给公式和表中数据计算即可.【详解】由表可知，A错误；，B正确；所以，因为，所以，则，，所以、不是孤立点，C正确，D错误；故选：BC12．已知正四面体ABCD的棱长为，其外接球的球心为O．点E满足，，过点E作平面平行于AC和BD，平面分别与该正四面体的棱BC，CD，AD相交于点M，G，H，则（    ）A．四边形EMGH的周长为是变化的B．四棱锥的体积的最大值为C．当时，平面截球O所得截面的周长为D．当时，将正四面体ABCD绕EF旋转后与原四面体的公共部分体积为【答案】BD【分析】将正四面体转化为正方体，利用正方体的性质分析运算.对A：根据面面平行的性质定理结合平行线的性质分析运算；对B：根据锥体体积公式，利用导数求其最值；对C：根据球的性质分析运算；对D：根据正方体分析可得：两个正四面体的公共部分两个全等的正四棱锥组合而成，利用锥体体积公式运算求解.【详解】对于边长为2的正方体，则ABCD为棱长为的正四面体，则球心O即为正方体的中心，连接，设∵，，则为平行四边形∴，又∵平面，平面，∴平面，又∵平面，，平面，∴平面平面，对A：如图1，∵平面平面，平面平面，平面平面，∴，则，即，同理可得： ，，，，∴四边形EMGH的周长（定值），A错误；对B：如图1，由A可知：，，，，∵为正方形，则，∴为矩形，根据平行可得：点A到平面的距离，故四棱锥的体积，则，∵，则当时，则，在上单调递增，当时，则，在上单调递减，∴当时，取到最大值，故四棱锥的体积的最大值为，B正确；对C：正四面体ABCD的外接球即为正方体的外接球，其半径，设平面截球O所得截面的圆心为，半径为，当时，则，∵，则，∴平面截球O所得截面的周长为，C错误；对D：如图2，将正四面体ABCD绕EF旋转后得到正四面体，设，∵，则分别为各面的中心，∴两个正四面体的公共部分为，为两个全等的正四棱锥组合而成，根据正方体可得：，正四棱锥的高为，故公共部分的体积，D正确；故选：BD.【点睛】思路点睛：对于正四面体的相关问题时，我们常转化为正方体，利用正方体的性质处理相关问题. 三、填空题13．如图所示，在由小正方形组成的的网格中，从A出发沿实线走到B的最短路线条数是__________．【答案】792【分析】每种最短路线走法，都是向右共走7格，向下共走5格，可以当作12步，最短路线条数即是从12步中选出7步向右，选出5步向下，由组合数和计数原理可得．【详解】从A到B最短的走法，无论怎样走，一定要走过12格，其中向右走7格，向下走5格，可以当作走12步，每种最短走法，即是从12步中选出7步向右，选出5步向下，故共有种走法．故答案为：792．14．己知是方程的两根，则__________．【答案】2【分析】由韦达定理可得间关系，再用表示即可得答案.【详解】因是方程的两根，由韦达定理有：，.，又易得，则对分子分母同时除以得：.故答案为：215．已知O为坐标原点，抛物线与抛物线在第一象限内的交点为，若点P在圆上，且直线OP与圆C相切，则__________．【答案】##0.15625【分析】由于点在圆上，所以可得，而点也在两抛物线上，代入抛物线方程可得，当与圆相切时，可得，然后前面的几个式子结合可求得答案【详解】解：因为，所以，因为，，所以，当与圆相切时，，所以，所以，所以.故答案为：16．如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当水深为时，酒杯中水升高的瞬时变化率__________．【答案】【分析】计算出当水深为时，水的体积，然后除以流速可得出时刻的值，设水的深度为，求出关于的函数表达式，利用导数可求得当水深为时，水升高的瞬时变化率.【详解】设时刻水的深度为，水面半径为，则，得，所以当水深为时，酒杯中水面的半径为，此时水的体积为，设当水深为的时刻为，可得，可得；又由题意可得，则，所以，所以当时，.故答案为：. 四、解答题17．在中，，点D在BC边上，，为锐角．(1)求BD；(2)若，求的值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据余弦定理进行求解即可；（2）根据两角和的正弦、余弦公式、余弦定理，结合同角的三角函数关系式、二倍角的正弦公式和余弦公式进行求解即可.【详解】（1）在中，由余弦定理可知：所以，或，当时，因为为锐角，所以，由余弦定理可知：，不符合题意；当时，因为为锐角，所以，由余弦定理可知：，符合题意，因此；（2）由（1）可知，因为为锐角，所以，因为，所以，，，因为，所以，因此，，所以.18．已知数列，满足，且．(1)若数列为等比数列，公比为q，，求的通项公式；(2)若数列为等差数列，，求的前n项和．【答案】(1) 或.(2) 【分析】(1)由已知条件求出等比数列的公比和通项，得到数列为等比数列，可求出通项公式；(2)由等差数列的通项利用累乘法求得数列的通项，再用裂项相消求的前n项和．【详解】（1）数列为等比数列，公比为q，且， ， 或， 由 ， 或 ，由，所以 ，又 ，即数列是以1为首项， 为公比的等比数列故 或.（2）依题意得等差数列公差，则，由，所以 ，从而， .19．如图所示，在梯形ABCD中，，四边形ACFE为矩形，且平面，．(1)求证：平面BCF；(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为．【答案】(1)证明见解析(2)当点与点重合时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为 【分析】（1）主要证明以及，从而证明线面垂直即可.（2）首先建立空间坐标，写出点的坐标，设出的值，利用空间向量求平面MAB与平面FCB所成的锐二面角，从而求解.【详解】（1）因为四边形为梯形，，则，又因为，所以，则，即.又因为平面，，则，因为、都在平面内，，所以面.（2）如图所示，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.设，，，则，、、.，，设为平面的法向量，则有可得，取，则.由题可知，是平面的一个法向量，所以，因为，所以当时，，即.所以当点与点重合时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为.20．已知双曲线，四点中恰有三点在C上．(1)求C的方程；(2)过点的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线的垂线，垂足为A．证明：直线AQ过定点．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由题意可分析得点，，在双曲线上，把三点坐标代入双曲线方程，联立即可求解；（2）设出直线的方程为，并与双曲线方程联立，再设出，的坐标，求出直线的方程，利用韦达定理化简即可证明．【详解】（1）由题意可知点，两点关于原点对称，所以，一定在双曲线上，而，因为，但，所以点不在双曲线上，所以点，，在双曲线上，则，解得，，所以双曲线方程为；（2）证明：设直线的方程为，代入双曲线方程可得：，设，，，，则，则，，所以直线的方程为：，即，令，则，由，，得，所以，综上，直线过定点．21．2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛，约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．己知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，甲赢的概率为，甲与丙比赛，甲赢的概率为，其中．(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金13万元，负队获奖金3万元；若平局，两队各获奖金4万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计万元，求的数学期望的取值范围．【答案】(1)业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛(2) 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解即可；（2）由题意可得的可能取值为16或8，分别求出和时的概率，再用数学期望的计算公式求解即可.【详解】（1）第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率：，第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率：，所以当时，，即，所以业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.（2）由题意的可能取值为16或8，由（1）知业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛，此时业余队获胜的概率，专业队获胜的概率，所以非平局的概率，平局的概率，所以，因为，所以.22．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若，证明：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【分析】(1)求出函数的导函数，再讨论或即可作答.(2)由(1)求出，把所证不等式分成两部分分别作等价变形，构造函数，利用导数探讨函数的单调性推理作答.【详解】（1）函数的定义域为，求导得：，当时，恒成立，则在上单调递增，当时，的解集为，的解集为，即的单调增区间为，单调减区间为，所以，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）因为，由(1)知，，且，解得，设，则，要证，即证，即证，即证，设，则，即在上单调递减，有，即，则成立，因此成立，要证，即证，即证，即证，即证，而，即证，令，则，设，求导得，即在上单调递增，则有，即，在上单调递减，而，当时，，则当时，成立，故有成立，所以，.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式造价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.